0! = 1? или почему факториал нуля равен единице

Давным давно, еще в классе 10-ом (лет 8 назад) я случайно обнаружил довольно нехитрое объяснение того, почему факториал нуля равен единице.

Я рассказывал про это многим учителям, но никого не торкнуло. Поэтому я просто выложу это знание здесь, а то вдруг кому-то пригодится или наведет на определенные мысли. Сразу скажу я не математик, наткнулся на это случайно, когда игрался с числами. Я тогда даже не знал что такое факториал :)

Для начала вспомним общую теорию:

Факториа́л числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:



По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

На самом же деле факториал нуля вполне вычислим!
Для этого нам нужно проделать простую последовательность обычных математических операций.

Попробуем в действии на примере факториала n = 4 (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24)

• Сначала берем последовательность из n + (1 или больше) чисел, где каждое последующее число больше предыдущего на 1.
  
  Например:
  

  1 2 3 4 5
  
  

• Затем возводим каждое число в степень n и ниже записываем результаты
  
  Получаем:
  

  1⁴ 2⁴ 3⁴ 4⁴ 5⁴
  
  
  1 16 81 256 625

• Теперь вычитаем из последнего числа предпоследнее, и так далее
  
  На выходе получаем ряд чисел количество которых меньше на 1:
  

  (16 — 1) (81 — 16) (256 — 81) (625 — 256)
  
  15 65 175 369

• Повторяем предыдущий шаг уже на полученном ряде до тех пор пока не останется одно число (или ряд одинаковых чисел, если кол-во больше чем n + 1)
  

  (65 — 15) (175 — 65) (369 — 175)
  
  50 110 194
  (110 — 50) (194 — 110)
  
  60 84
  (84 — 60)
  
  24

  
  В результате мы получаем факториал числа четыре.
  

Попробуем вычислить этим способом факториал 3 (3! = 1 * 2 * 3 = 6)

Берем четыре числа в степени 3 и вычисляем «пирамидальную разность» (сам придумал)

1³ 2³ 3³ 4³
1 8 27 64
(8 — 1) (27 — 8) (64 — 27)

7 19 37
(19 — 7) (37 — 19)

12 18
(18 — 12)

6
Все сходится!

Ну и для 1 попробуем (1! = 1)

1¹ 2¹
1 2
(2 — 1)

1

Вы уже догадались? :)

Все очень просто и для нуля:

Берем n + 1 чисел в степени 0, тоесть достаточно и одного

1^o
1

Вуaля! Любое число в степени 0 равно 1. В этом, кстати, слабость моего способа, он использует определение.

Но тем не менее, я считаю, что это здорово :)

Спасибо за внимание!

P.S.:
Как многие подметили это не доказательство, а всего лишь забавная закономерность.