Теорема Бошерницана

  • Tutorial
В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.



Отображение $f:E\rightarrow E$ метрического пространства с метрикой $\rho (\cdot ,\cdot )$ называют изометрией, если для любых $x,y\in E$ справедливо равенство $\rho (x,y)=\rho (f(x),f(y))$. Мы докажем здесь следующее утверждение:

Теорема. Если $f:E\rightarrow E$ отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

$\rho (x,y)\leq \rho (f(x),f(y))(1)$

для любых $x,y\in E$, то отображение $f$ — изометрия.

Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Через $|A|$ будем обозначать количество элементов конечного множества $A$.

Для $x\in E$ и $\varepsilon >0$ множество $Q_{x,\varepsilon }=\{y:y\in E,\rho (x,y)<\varepsilon \}$ назовем $\varepsilon$-окрестностью точки $x$ (или открытым шаром с центром в точке $x$ и радиусом $\varepsilon$).

Конечное множество $A\subset E$ назовём $\varepsilon$-сетью в $E$ (или просто $\varepsilon$-сетью), если для любой точки $x\in E$ найдётся точка $y\in A$ такая, что $\rho (x,y)<\varepsilon$. Множество $B\subset E$ назовём $\varepsilon$-разреженным, если $\rho (x,y)\geq \varepsilon$ для любых $x,y\in B$, таких, что $x\neq y$.

Для любого конечного множества $A=\left\{a_1,\ldots ,a_m\right\}\subset E$ обозначим через $l(A)$ сумму $\sum _{i\leq j} \rho \left(a_i,a_j\right)$. Величину $l(A)$ назовём длиной множества $A$.

1. Пусть последовательности $\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$ элементов множества $E$ сходятся соответственно
к точкам $a,b\in E$. Тогда $\rho \left(a_n,b_n\right)\rightarrow \rho (a,b)$ при $n\rightarrow \infty$.

Доказательство. Рассмотрим очевидные неравенства

$\rho \left(a_n,b_n\right)\leq \rho (a,b)+\rho \left(a_n,a\right)+\rho \left(b_n,b\right)(2)$

$\rho \left(a_n,b_n\right)+\rho \left(a_n,a\right)+\rho \left(b_n,b\right)\geq \rho (a,b)(3)$

Так как $a_n\rightarrow a$, $b_n\rightarrow b$ при $n\rightarrow \infty$, то для $\varepsilon >0$ найдется такое натуральное $N$, что для всех $n>N$ будет

$\rho \left(a_n,a\right)<\frac{\varepsilon }{2},\rho \left(b_n,b\right)<\frac{\varepsilon }{2}(4)$

Из $(2),(3),(4)$ следует, что $\left|\rho (a,b)-\rho \left(a_n,b_n\right)\right|<\varepsilon$ для всех $n>N$.

2. Для каждого $\varepsilon >0$ в $E$ существует конечная $\varepsilon$-сеть.

Доказательство. Семейство открытых шаров $\left\{Q_{x,\varepsilon }\right\}$, где $x$ пробегает $E$, является покрытием $E$. Т. к. $E$ компактно, выберем конечное семейство шаров $\left\{Q_{x_1,\varepsilon },\ldots ,Q_{x_m,\varepsilon }\right\}$, также покрывающих $E$. Ясно, что множество $A=\left\{x_1,\ldots ,x_m\right\}$ — конечная $\varepsilon$-сеть.

3. Пространство $E$ ограничено. А именно, существует такое число $d>0$, что $\rho (x,y)<d$ для любых $x,y\in E$.

Доказательство немедленно следует из 2. Действительно, положим $g=\underset{i\neq j}{\max }\left(x_i,x_j\right)$, где $x_i$, $x_j$ — элементы $\varepsilon$-сети $A$. Ясно, что $\rho (x,y)\leq g+2\varepsilon$.

4. Если $B=\left\{a_1,\ldots ,a_n\right\}$ — конечная $\frac{\varepsilon }{2}$-сеть в $E$, то для любого $\varepsilon$-разреженного множества $K$ будет $|K|\leq |B|$, т. е. $|K|\leq n$.

Доказательство. Объединение шаров $inline$\underset{i=1}{\overset{n}{\unicode{222a}}}Q_{a_i,\frac{\varepsilon }{2}}$inline$ покрывает $E$. Если $|K|>n$, то два различных элемента из $K$ окажутся в одном из шаров $Q_{a_i,\frac{\varepsilon }{2}}$, что противоречит тому, что $K$ — $\varepsilon$-разреженное множество.

5. Каждому $\varepsilon$-разреженному множеству $A\subset E$ поставим в соответствие число $l(A)$ — его длину. Мы уже доказали, что функция, которая ставит любому $\varepsilon$-разреженному множеству $A$ в соответствие число $|A|$, ограничена. Отметим, что функция, которая каждому $\varepsilon$-разреженному множеству $A\subset E$ ставит в соответствие его длину $l(A)$, также ограничена.

6. Пусть $c=\sup l(A)$, где $\sup$ берется по всем $\varepsilon$-разреженным множествам $A\subset E$. Тогда справедлива

Лемма 1. Существует $\varepsilon$-разреженное множество $C=\left\{a_1,\ldots ,a_k\right\}$, такое что $l(C)=c$, $C$ является $\varepsilon$-сетью в $E$, $f(C)$ также является $\varepsilon$-сетью в $E$ и для любых $a_i,a_j\in C$ будет $\rho \left(a_i,a_j\right)=\rho \left(f\left(a_i\right),f\left(a_j\right)\right)$.

7. Лемма 2. Отображение $f$ непрерывно на $E$. Более точно: если $\rho (x,y)<\varepsilon$ для любых $x,y\in E$, то $\rho (f(x),f(y))<5\varepsilon$.

Доказательство. Рассмотрим $\varepsilon$-сеть $C$ из Леммы 1. Если $x$ не принадлежит шару $Q_{a_i,\varepsilon }$, то $x$ не принадлежит $Q_{f\left(a_i\right),\varepsilon }$. Это значит, что найдётся такое $i$, что $x\in Q_{a_i,\varepsilon }$ и $f(x)\in Q_{f\left(a_i\right),\varepsilon }$. Аналогично существует такое $j$, что $y\in Q_{a_j,\varepsilon }$ и $f(y)\in Q_{f\left(a_j\right),\varepsilon }$. Оценим $\rho (f(x),f(y))$. Ясно, что $\rho (f(x),f(y))<\rho \left(f\left(a_i\right),f\left(a_j\right)\right)+\varepsilon +\varepsilon =\rho \left(a_i,a_j\right)+2\varepsilon$. А так как $\rho (x,y)<\varepsilon$, и $x\in Q_{a_i,\varepsilon }$, $y\in Q_{a_j,\varepsilon }$, то $\rho \left(a_i,a_j\right)<3\varepsilon$. Следовательно, $\rho (f(x),f(y))<5\varepsilon$.

Итак, мы доказали, что $f$ непрерывно отображает $E$ в $E$. Из Леммы 1 следует, что для каждого $\varepsilon >0$ существует $\varepsilon$-сеть в $E$ такая, что $f$ сохраняет расстояния между элементами этой сети. Значит, для любых точек $x,y\in E$ можно найти последовательности $x_n\rightarrow x$, $y_n\rightarrow y$ такие, что $\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)=\rho \left(x_n,y_n\right)$. Но $\rho \left(x_n,y_n\right)\rightarrow \rho (x,y)$ при $n\rightarrow \infty$. Из непрерывности отображения $f$ следует, что $f\left(x_n\right)\rightarrow f(x)$, $f\left(y_n\right)\rightarrow f(y)$ при $n\rightarrow \infty$. Следовательно, $\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)\rightarrow \rho (f(x),f(y))$ при $n\rightarrow \infty$. А т. к. для любого $n$ выполняется равенство $\rho \left(x_n,y_n\right)=\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)$, то $\rho (x,y)=\rho (f(x),f(y))$.

Замечание


Это доказательство теоремы Бошерницана основано на беседах с моим студенческим товарищем, ныне американским математиком Леонидом Люксембургом, в один из его приездов в Москву и является моим изложением предложенной им идеи.


Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы

Trinity Digital & Баласс Group

50,28

Компания

Поделиться публикацией
Комментарии 17
    +2

    Что-то здесь нечисто… Эдак если каждый курсант Романова вставит по одной курсовой, то Хабр будет уже не ИТ-ишным. Колитесь — на что это вляет, на количество научных публикаций? :-D

      0
      Ну или наоборот — в научный журнал статью не приняли, а на хабр, да ещё и с чужого аккаунта, да ещё и с фотографией — норм.
        +1
        Это всё ваши домыслы.

        Это один из наших разработчиков контента, который имеет множество научных наработок, которыми мы можем делиться в своём корпоративном блоге на Хабре.

        Несколько ближайших статей будут ближе к тематике Хабра (хотя что «ближе» — это в принципе вопрос вкуса) и будут посвящены в основном нашей работе над приложением "Репетитор: математика" и его контенту.
          0

          Интересно, были ли эти (конкретно эти) наработки опубликованы где-то? Ну или как-то иначе представлены профессиональному сообществу?

            0
            Уважаемый Arastas, по поводу Вашего вопроса (цитата) «Интересно, были ли эти (конкретно эти) наработки опубликованы где-то? Ну или как-то иначе представлены профессиональному сообществу?»
            Первое, что вспоминается. Это доказательство несколько лет назад докладывалось на научном семинаре учителей математического анализа школы №179 г. Москвы. А уж поверьте, это очень неслабый уровень.
            –1
            Единственное, что я понял из этой статьи — это то, что её автор знаком с Леонидом Люксембургом, американским математиком. И поскольку автор позиционирует себя как учитель и репетитор — это большой провал с его стороны. Ведь он даже и не попытался пояснить — кто такой Леонид Люксембург Бошерницан, почему эта теорема важна, в чём разница рассматриваемого подхода от прочих, и почему мы должны тратить своё время на вникание в суть этого доказательства.

            Программисты же себе такого не позволяют — никто под видом статьи не вываливает исходный код типа «разбирайтесь сами, там всё написано и даже комментарии есть» — наоборот, чем меньше кода, тем ценнее статья, а сам код часто либо прячется в спойлерах (когда его много), либо в ссылке на гитхаб даётся. И это при том, что хабр в первую очередь — сайт для профессиональных программистов, а не программирующих домохозяек.
              +1
              Кичиться тем, что вы чего-то не понимаете все же не стоит. Рассуждения в духе «Я не понимаю, поэтому автор идиот» безусловно хороши.

              Математическое доказательство чаще всего само по себе крайне ценно (а чаще даже ценнее утверждения). В отличие от программирования, где приводить код часто бессмысленно. Ваш пример чистой воды передергивание и подмена понятий.

              Утверждение, что «Хабр — сайт для профессиональных программистов» также не выдерживает никакой критики.

              Эта статья находится в хабе «Математика», а не «Javascript», скажем. И её смысл находится в первом абзаце. Думаю, Рубин А. Г. добавит пару слов к моим о ценности статьи с точки зрения математики.

              Наконец — ничто не мешает вам пройти мимо, вместо того, чтобы тратить время на споры ни о чем.
                0
                Ничто не мешает вам пройти мимо
                Ну это просто — написано OsipovRoman, читаешь — Wolfram Mathematica. Поэтому и зашёл. А тут обман совсем другой человек.
                  0
                  Компания Wolfram Research (вернее её менеджеры по России) нагло предала меня, так что на Хабре я для неё больше ничего не делаю. Хотя я как был так и остаюсь одним из главных экспертов Wolfram в России и продолжаю активно применять Wolfram Language.

                  И конечно я развиваю теперь новый проект, IT-директором которого являюсь. В будущем статьи по математике будут публиковаться от имени нашего контент-директора. Так что зайдя в мой аккаунт вы увидите или статьи по программированию или по программной обработке контента. Хотя я и математик, я всё же больше программист и от комментариев математического толка я бы воздержался.
                +1
                Интересный у вас комментарий, уважаемый Refridgerator…

                Цитата: «Ведь он даже и не попытался пояснить — кто такой Леонид Люксембург (зачёркнуто) Бошерницан, почему эта теорема важна, в чём разница рассматриваемого подхода от прочих, и почему мы должны тратить своё время на вникание в суть этого доказательства.»

                Неужели, по-Вашему, в математических результатах самое важное, кто такие математики, занимавшиеся данными задачами? Вам станет легче от того, что Бошерницана зовут Михаид Давыдович, что он закончил 18 интернат при МГУ (ныне СУНЦ МГУ) в конце шестидесятых годов прошлого века, а затем уехал в США и работал в Хьюстоне?
                По-настоящему интересно другое — что рассмотренная в статье теорема о метрических компактах, которая по всем естественным ожиданиям должна была быть доказана ещё в 20-х или 30-х годах XX века, насколько нам (Люксембургу, Слободнику и мне) известно, впервые появилась в ослабленной версии на студенческих математических олимпиадах в 70-е годы.
                Её доказательство (совсем другое) имеется в книге Д.Ю.Бураго, Ю.Д.Бураго и С.В.Иванова «Курс метрической геометрии», Москва — Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.
                В статье же приведено простое доказательство, рассчитанное на матшкольников-старшеклассников.
                А уж почему Вы (цитата) «должны тратить своё время на вникание в суть этого доказательства»… право, не знаю, что и сказать… Естественно, не должны. Но если кому-нибудь это интересно, он сначала попробует сам доказать этот очень красивый результат, потратит на это время с удовольствием, а затем с интересом почитает доказательство в статье.
                  +1
                  Неужели, по-Вашему, в математических результатах самое важное, кто такие математики, занимавшиеся данными задачами?
                  Конечно нет. Однако автор упомянул Люксембурга, но ничего не сказал о Бошерницане — что несколько несправедливо по отношению к нему. Многие слышали о теореме Ферма, но не каждый из них назовёт имя человека, которой её доказал.

                  простое доказательство
                  Не так давно на хабре было опубликовано простое доказательство теоремы Ферма без привлечения эллиптических кривых. Но есть подозрение, что то доказательство только выглядит похожим на доказательство — иначе почему научное сообщество его отвергает?

                  рассчитанное на матшкольников-старшеклассников
                  Извините, не верю. И в школе, и в техническом колледже, и в институте я математику не прогуливал и учил хорошо. Никаких компактов там не было и в помине.

                  Но если кому-нибудь это интересно
                  Я сам учитель по образованию и прекрасно понимаю, что один и тот же материал можно преподнести очень по-разному. Можно так, что даже далёкому от математики человеку станет интересно и хоть что-нибудь в голове останется. Можно так, что понять его сможет только другой математик. А можно так, что даже коллеги-математики ничего понять не могут. Так вот, конкретно эта статья — интереса не вызывает. Я лучше про тензоры ещё раз почитаю.
          +3
          Не так я представлял себе научно-популярные статьи о математике…
            +2
            Хабр вряд ли испортится от математики.
            доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией

            когда я прочитал это, мне это чуть ли не очевидным показалось…
            из каких-то интуитивных ощущений пределов.
              +2
              Интуиция в случае с пределами может приводить к неверным результатам.
              Есть парадоксы про площади и объёмы объектов, почитайте, например, про сапог Шварца (на Вики не очень понятно написано, лучше у Зорича или где-нибудь ещё найти).
                0
                Вы совершенно правы! Первая реакция — это же очевидно! Затем пробуешь доказывать, и как-то почему-то сразу не получается… Затем пытаешься придумать контрпример — и вот почти уже придумал! — ан нет… И наконец понимаешь, что задачка совсем непростая.
                0
                На 5-м шаге имеется в виду ограниченность для конкретного значения эпсилон?
                  0
                  Да, и в 6-м шаге непонятно почему справедлива Лемма 1. Супремум может и не достигаться.

                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                Самое читаемое