Pull to refresh

Теорема Бошерницана

Reading time 3 min
Views 4.2K
В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.



Отображение $f:E\rightarrow E$ метрического пространства с метрикой $\rho (\cdot ,\cdot )$ называют изометрией, если для любых $x,y\in E$ справедливо равенство $\rho (x,y)=\rho (f(x),f(y))$. Мы докажем здесь следующее утверждение:

Теорема. Если $f:E\rightarrow E$ отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

$\rho (x,y)\leq \rho (f(x),f(y))(1)$

для любых $x,y\in E$, то отображение $f$ — изометрия.

Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Через $|A|$ будем обозначать количество элементов конечного множества $A$.

Для $x\in E$ и $\varepsilon >0$ множество $Q_{x,\varepsilon }=\{y:y\in E,\rho (x,y)<\varepsilon \}$ назовем $\varepsilon$-окрестностью точки $x$ (или открытым шаром с центром в точке $x$ и радиусом $\varepsilon$).

Конечное множество $A\subset E$ назовём $\varepsilon$-сетью в $E$ (или просто $\varepsilon$-сетью), если для любой точки $x\in E$ найдётся точка $y\in A$ такая, что $\rho (x,y)<\varepsilon$. Множество $B\subset E$ назовём $\varepsilon$-разреженным, если $\rho (x,y)\geq \varepsilon$ для любых $x,y\in B$, таких, что $x\neq y$.

Для любого конечного множества $A=\left\{a_1,\ldots ,a_m\right\}\subset E$ обозначим через $l(A)$ сумму $\sum _{i\leq j} \rho \left(a_i,a_j\right)$. Величину $l(A)$ назовём длиной множества $A$.

1. Пусть последовательности $\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$ элементов множества $E$ сходятся соответственно
к точкам $a,b\in E$. Тогда $\rho \left(a_n,b_n\right)\rightarrow \rho (a,b)$ при $n\rightarrow \infty$.

Доказательство. Рассмотрим очевидные неравенства

$\rho \left(a_n,b_n\right)\leq \rho (a,b)+\rho \left(a_n,a\right)+\rho \left(b_n,b\right)(2)$

$\rho \left(a_n,b_n\right)+\rho \left(a_n,a\right)+\rho \left(b_n,b\right)\geq \rho (a,b)(3)$

Так как $a_n\rightarrow a$, $b_n\rightarrow b$ при $n\rightarrow \infty$, то для $\varepsilon >0$ найдется такое натуральное $N$, что для всех $n>N$ будет

$\rho \left(a_n,a\right)<\frac{\varepsilon }{2},\rho \left(b_n,b\right)<\frac{\varepsilon }{2}(4)$

Из $(2),(3),(4)$ следует, что $\left|\rho (a,b)-\rho \left(a_n,b_n\right)\right|<\varepsilon$ для всех $n>N$.

2. Для каждого $\varepsilon >0$ в $E$ существует конечная $\varepsilon$-сеть.

Доказательство. Семейство открытых шаров $\left\{Q_{x,\varepsilon }\right\}$, где $x$ пробегает $E$, является покрытием $E$. Т. к. $E$ компактно, выберем конечное семейство шаров $\left\{Q_{x_1,\varepsilon },\ldots ,Q_{x_m,\varepsilon }\right\}$, также покрывающих $E$. Ясно, что множество $A=\left\{x_1,\ldots ,x_m\right\}$ — конечная $\varepsilon$-сеть.

3. Пространство $E$ ограничено. А именно, существует такое число $d>0$, что $\rho (x,y)<d$ для любых $x,y\in E$.

Доказательство немедленно следует из 2. Действительно, положим $g=\underset{i\neq j}{\max }\left(x_i,x_j\right)$, где $x_i$, $x_j$ — элементы $\varepsilon$-сети $A$. Ясно, что $\rho (x,y)\leq g+2\varepsilon$.

4. Если $B=\left\{a_1,\ldots ,a_n\right\}$ — конечная $\frac{\varepsilon }{2}$-сеть в $E$, то для любого $\varepsilon$-разреженного множества $K$ будет $|K|\leq |B|$, т. е. $|K|\leq n$.

Доказательство. Объединение шаров $inline$\underset{i=1}{\overset{n}{\unicode{222a}}}Q_{a_i,\frac{\varepsilon }{2}}$inline$ покрывает $E$. Если $|K|>n$, то два различных элемента из $K$ окажутся в одном из шаров $Q_{a_i,\frac{\varepsilon }{2}}$, что противоречит тому, что $K$ — $\varepsilon$-разреженное множество.

5. Каждому $\varepsilon$-разреженному множеству $A\subset E$ поставим в соответствие число $l(A)$ — его длину. Мы уже доказали, что функция, которая ставит любому $\varepsilon$-разреженному множеству $A$ в соответствие число $|A|$, ограничена. Отметим, что функция, которая каждому $\varepsilon$-разреженному множеству $A\subset E$ ставит в соответствие его длину $l(A)$, также ограничена.

6. Пусть $c=\sup l(A)$, где $\sup$ берется по всем $\varepsilon$-разреженным множествам $A\subset E$. Тогда справедлива

Лемма 1. Существует $\varepsilon$-разреженное множество $C=\left\{a_1,\ldots ,a_k\right\}$, такое что $l(C)=c$, $C$ является $\varepsilon$-сетью в $E$, $f(C)$ также является $\varepsilon$-сетью в $E$ и для любых $a_i,a_j\in C$ будет $\rho \left(a_i,a_j\right)=\rho \left(f\left(a_i\right),f\left(a_j\right)\right)$.

7. Лемма 2. Отображение $f$ непрерывно на $E$. Более точно: если $\rho (x,y)<\varepsilon$ для любых $x,y\in E$, то $\rho (f(x),f(y))<5\varepsilon$.

Доказательство. Рассмотрим $\varepsilon$-сеть $C$ из Леммы 1. Если $x$ не принадлежит шару $Q_{a_i,\varepsilon }$, то $x$ не принадлежит $Q_{f\left(a_i\right),\varepsilon }$. Это значит, что найдётся такое $i$, что $x\in Q_{a_i,\varepsilon }$ и $f(x)\in Q_{f\left(a_i\right),\varepsilon }$. Аналогично существует такое $j$, что $y\in Q_{a_j,\varepsilon }$ и $f(y)\in Q_{f\left(a_j\right),\varepsilon }$. Оценим $\rho (f(x),f(y))$. Ясно, что $\rho (f(x),f(y))<\rho \left(f\left(a_i\right),f\left(a_j\right)\right)+\varepsilon +\varepsilon =\rho \left(a_i,a_j\right)+2\varepsilon$. А так как $\rho (x,y)<\varepsilon$, и $x\in Q_{a_i,\varepsilon }$, $y\in Q_{a_j,\varepsilon }$, то $\rho \left(a_i,a_j\right)<3\varepsilon$. Следовательно, $\rho (f(x),f(y))<5\varepsilon$.

Итак, мы доказали, что $f$ непрерывно отображает $E$ в $E$. Из Леммы 1 следует, что для каждого $\varepsilon >0$ существует $\varepsilon$-сеть в $E$ такая, что $f$ сохраняет расстояния между элементами этой сети. Значит, для любых точек $x,y\in E$ можно найти последовательности $x_n\rightarrow x$, $y_n\rightarrow y$ такие, что $\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)=\rho \left(x_n,y_n\right)$. Но $\rho \left(x_n,y_n\right)\rightarrow \rho (x,y)$ при $n\rightarrow \infty$. Из непрерывности отображения $f$ следует, что $f\left(x_n\right)\rightarrow f(x)$, $f\left(y_n\right)\rightarrow f(y)$ при $n\rightarrow \infty$. Следовательно, $\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)\rightarrow \rho (f(x),f(y))$ при $n\rightarrow \infty$. А т. к. для любого $n$ выполняется равенство $\rho \left(x_n,y_n\right)=\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)$, то $\rho (x,y)=\rho (f(x),f(y))$.

Замечание


Это доказательство теоремы Бошерницана основано на беседах с моим студенческим товарищем, ныне американским математиком Леонидом Люксембургом, в один из его приездов в Москву и является моим изложением предложенной им идеи.


Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы
Tags:
Hubs:
If this publication inspired you and you want to support the author, do not hesitate to click on the button
+11
Comments 17
Comments Comments 17

Articles