Comments 24
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Infinity_and_the_Mind
Рекомендую. Там и древние греки (с их апейроном), и Кантор, и Гедель
Начнем с очевидного равенства 2 × 0 = 5 × 0. Если на ноль делить можно, то разделим на него обе части равенства. Вуаля, 2 = 5
0 / 0 = R
2 × 0 / 0 = 5 × 0 / 0
2 × R = 5 × R
R = R
R - множество всех чисел
Извините. Вся статья сплошное словоблудие и попытка объяснить на пальцах то, что так не объясняется. Все наглядные примеры - с деревьями, и т. п... сильно субъективны.
Как исторический экскурс - очень интересно.
Замечания.
"Методы математического анализа работали «магически», зачастую приводили к неверным результатам и подвергались саркастической критике видных философов того времени."
"Несмотря на всю критику, полезность математического анализа была очевидна. С его помощью решались задачи из геометрии, физики, астрономии".
Так всё таки? Где магия? Какие результаты неверны?
Мне навскидку приходит в голову только попытка считать длину диагонали квадрата как сумму ступенек.
Где магия?
Пусть y = x² тогда:
Теперь, если мы просто делим обе стороны на dx , получаем:
Деление на «бесконечно малое», которое формально равно нулю — нелогично и математически некорректно по меркам строгой математики.
Но ведь работает - Магия!
Какие результаты неверны?
Рассмотрим абсолютно классический дивергентный ряд:
Найдём сумму элементов этого ряда:
А если так:
И что теперь? Ряд равен 0 или 1?
А статья интересная. Ждём с нетерпением продолжения. Как я недавно читал, математики придумали 4 вида бесконечности. Уже. Или даже 5.
Бесконечно малое не равно нулю. Тем более формально.
Бесконечно малое не равно нулю. Тем более формально.
Это верно.
Но какое-то оно странное. "Мерцающая величина" некая. - "как можно говорить о величине, которая не равна нулю, но меньше любого положительного числа?"
Вот все и старались избавиться от этого "dx". Так или иначе.
Но в 60-тые прошлого века внезапно появился Абрахам Робинсон и решил что "dx" всё же число. Логично и красиво это обосновал и создал "Нестандартный анализ", который проще и логичнее "Стандартного анализа".
Но люди не оценили этот "Нестандартный Анализ", Робинсон получил только одну медаль, недавно утверждённую, под номером 1 - и всё! - Универы не стали преподавать "Нестандартный Анализ" - ибо столько уже написано, решено, доказано с использованием "Стандарного Анализа", что всем просто лень изучать и тем более переписывать и даже переходить на "Нестандартный Анализ" как бы он не был логичнее. - Что-то мне это напоминает. :-0
P. S.
В мире с "Нестандартным анализом" знакомятся разве только аспиранты, а энтузиастов, типа Сергея Кутателадзе в Новосибирске, можно пересчитать на пальцах, поди.
"Сергей С. Кутателадзе — организатор коллектива авторов монографии и активный пропагандист нестандартных методов в Сибирском отделении РАН."
P. P. S.
"Для большинства математиков того времени логика была "слишком абстрактна", а логические конструкции Робинсона казались искусственными или избыточными.
Математики с недоверием отнеслись к реанимации понятий, которых сами же отказались 100 лет назад.
В XX веке весь анализ был уже воспитан на предельных определениях Вейерштрасса.
НА казался "излишне сложной перестройкой" без реальных преимуществ
"Если всё и так работает, зачем менять?"
Преодолеть методологическую привычку — особенно в математике — очень трудно.
НА «не добавляет новых результатов», а только «новый язык»."
Вот такие были "отмазки математиков" на "Нестандартный Анализ" Робинсона.
Особенно, поди, поражает НЕ математиков то что "Преодолеть методологическую привычку — особенно в математике — очень трудно."
И наверное не только в математике. Поди.
Если d принять за бесконечно малое число, то чему должно быть равно их отношение d/d? Суть матана как раз в том, что dx/dy является инвариантом для любого шага последовательности и зависит от формулы, как x зависит от y.
В целом, актуализация бесконечности неизбежно приводит к логическим парадоксам. Так что и "трансцендентные числа" по хорошему числами бы не называть - это математический объект, являющийся не более чем бесконечной последовательностью сужающихся рациональных диапазонов.
Так что и "трансцендентные числа" по хорошему числами бы не называть - это математический объект, являющийся не более чем бесконечной последовательностью сужающихся рациональных диапазонов.
В любом случае Робинсону удалось уйти от пределов и "втянуть" бесконечное малое в "гипердейсвительное число".
Всё стало очень красивым но никому так и не нужным.
Забыли сказать самое интересное: во вселеной не бывает деления на ноль, тк ноля не существует. Неопределённость Гейзенберга отменяет нулевую температуру. И "кипение вакуума" Исключает полную пустоту пространства)
Расскажите про несуществование нуля частицам без массы)
Которые настолько "без массы", что нарушают закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса не может нарушаться. Это противозаконно)
Арестуйте фотон за подделку импульса.
Отсутствие массы покоя мешает только тем учёным, которые прогуливали физику в школе.
Нет массы === нет материи. Фотон существует? Значит и масса есть. Удивительно, правда?)
Забавно, что вы умудрились в одной фразе дважды войти в противоречие с учебником по физике.
В учебнике по физике написано, что электрический ток течет от минуса к плюсу. Какие еще упрощения из школьной программы я должен помнить?
И на что это у вас реакция, что я школьную программу не знаю? Что энергия это масса, а материя - всё, что обладает энергией? И прошу больше не хамить, а несогласие выражать тезисно.
Ух, какая буря благородного негодования от человека, который прогуливал физику в школе, раз не знает даже, что в учебнике по физике написано про направление тока.
Что, даже как точки отсчёта нуля не существует?)
А сколько во вселенной нулей?
(например, неверно, что (1 + 1) × 1 = 2)
Но разве до тех пор, пока мы не работаем с ∞, ⊥ или делением на 0, колёса не будут работать как и классическая алгебра?
Ну, то есть вроде бы, в отличие от классики,
, то есть требуется дополнительное
, но ведь как бы и стоит понимать, что
, то есть как бы
, что, впринципе, по итогу, противоречит сказанному.
Ну или, банально, нет препятствий просто посчитать прямо:
Из всего, что можно говорить о бесконечности, колёса мне кажутся самыми красивыми, ибо они полностью определены аксиоматически, при этом в них нет пресловутой "неопределённости", а так же не используют странные понятия вроде "бесконечно больших/малых" или пределов. И, сравнивая с похожими системами, эта кажется самой какой-то реалистичной, как бы не хотелось говорить о "реализме" в отношении математики.
Можно меня поправить или дополнить, если что.
Дополнение:
Хотя, думаю, ту формулу можно переписать как 
, так что нет необходимости вставлять влево лишнее слагаемое и это можно можно сделать на этаме суммы произведений…
Дополнение 2:
Нет, нельзя. Потому что
И с другой же стороны,
, что, по идее, должно быть уже верным.
К тому, что 
, нужно ещё привыкнуть…
Краткая история бесконечности. Часть 1