Comments 31
Вы забыли присоединенную массу
Также, в силе сопротивления можно записать 
вместо 
, тогда не нужно будет писать 
Спасибо за комментарий про присоединённую массу. Мы действительно про неё забыли - сейчас будем вносить изменения в модель и в текст статьи.
Про– согласен, это позволит избежать знака ∓, но такую форму мы выбрали, так как с ней потом легче работать при разработке и отладке кода.
Лети, лети, мой стратооостаааттт
Скажем, самые простые шары, которые в моем детстве делались из бумаги, летали только за счет того, что заполнялись теплым воздухом. И как только он остывал, начинали опускаться. Если этим и можно пренебречь (для гелия, например), то такие допущения нужно озвучивать.
При этом типичная скорость полета как правило настолько мала (метры в секунду), что думая про аэродинамическое сопротивление, скорее стоило бы учитывать ветер, который бывает и 10 метров в секунду, и больше.
Ну да. Просто для моего вывода достаточно того, что вполне бытовая скорость ветра 10 м/сек это уже возможно на порядок выше скорости подъема аэростата. А с учетом того, что в сопротивлении скорость в квадрате — то мы уже два порядка имеем. А если речь про 11 км — то температуру станет просто обязательно учитывать (да там и плотность воздуха вовсе не константа уже). В общем, этой модели не хватает ограничений, в которых она применима.
При низких скоростях подъема и спуска, скорее всего, обтекание воздухом будет иметь ламинарный характер. В этом случае формула Ньютона с постоянным коэффициентом сопротивления неприменима. Кроме того, если речь идет о стратостате, нельзя пренебрегать изменением размера и формы, так как объем оболочки будет меняться в разы. Так что матмодель явно нуждается в доработке.
Кстати, изменение температуры и давления воздуха с высотой целесообразно принимать по ГОСТ 4401-81 Атмосфера стандартная. Параметры.
Вот есть карта ветров на высоте 12км: https://www.ventusky.com/?p=1;7;1&l=wind-200hpa
250км/ч там ооочень мнгого где. 370км/ч конечно должно повезти.
А пассажиры не испугались, увидев на внутрисалонных дисплеях такую скорость?
Изменение плотности и давления внешнего воздуха с высотой и давления внутри оболочки мы учитываем. Об этом как раз был комментарий [6] в статье, и значительная часть следующего поста будет о том, как именно мы эти изменения учитываем при вычислениях. Формула же (9) описывает именно мгновенное ускорение. Она нужна, чтобы перейти к дифференциальным уравнениям для вычисления высоты, скорости и ускорения в каждый момент времени.
Ветер на первом этапе мы в расчёт не берём, чтобы не усложнять задачу, но по сути комментария согласен - в будущем добавим его в модель как входное воздействие.
Насчёт скоростей - в одной из статей на Хабре я видел в комментариях обсуждение, стоит ли учитывать сопротивление воздуха для воздушного шара, так как характерная скорость достаточно мала. Расчёты показали, что стоит (детали будут в следующем посту): ускорение свободного падения примерно -9,8 м/с2; ускорение, создаваемое архмедовой силой, по модулю приблизительно такое же, но направлено вверх. Их равнодействующая по модулю имеет значения порядка 1 м/с2 и меньше (вплоть до высоты, где сила тяжести сравняется с архимедовой). Но примерно такого же порядка ускорение, создаваемое лобовым сопротивлением. Так что в итоге его вклад в суммарное ускорение шара оказывается существенным.
>Насчёт скоростей — в одной из статей на Хабре я видел в комментариях обсуждение, стоит ли учитывать сопротивление воздуха для воздушного шара, так как характерная скорость достаточно мала.
Да я помню тут статью, и даже вроде участвовал в обсуждении. Насколько я помню, сошлись примерно на том, что вклад сопротивления хоть и мал, но в основном именно он ограничивает рост скорости подъема.
,где Hn = 10.4 км
Формула приведена в статье о плотности воздуха в английской Википедии. Вроде бы, формула учитывает изменение температуры с высотой
Так вроде температура сама нам не особо нужна. Тут и архимедова сила, и сопротивление — они от самой плотности зависят.Температура не нужна, но плотность от температуры зависит. По ссылке указано, почему для этой формулы температурой можно пренебречь
Если не ошибаюсь, еще у Пикара он солнцем нагревался, и когда солнце село, пошел на снижение
Я читал, что у Пикара за счёт нагрева солнечными лучами планировалось осуществлять терморегуляцию гондолы (что не очень сработало, температура в «салоне» поднялась до +38 °C). Насчёт нагрева и остывания оболочки за счёт солнечного излучения / его отсутствия – здесь прокомментировать не могу. Такой информации мне не попадалось, но и опровержения её я тоже не видел )
Там с температурой, давлением и плотностью всё непросто. Подробно об этом будем рассказывать во второй статье. Если вкратце, то падение давления и плотности атмосферы нужно обязательно учитывать (оно значительное), причём для каждого слоя атмосферы свои коэффициенты, которые описывают эту зависимость.
Газ внутри оболочки, конечно же, отличается от газа снаружи - либо по составу (молярная масса), либо по температуре, либо всё вместе. И один вопрос, который мы пока для себя так и не выяснили - что считать температурой газа в оболочке. Допустим, у нас в гондоле установлена горелка, и мы нагреваем воздух до 100 °C. Но оболочка - вещь немаленькая, это десятки метров в поперечнике. Понятно, что до температуры 100 °C воздух прогреется далеко не сразу. В текущей версии модели мы не углублялись в тонкости теплообмена, происходящего в оболочке, но возможно, всё-таки придётся.
постоянно? Выписал дифференциальное уравнение, придумал подходящие параметры, порешал — получилось, что, достигнув некоторой высоты, аэростат начинает совершать небольшие плавные колебания вверх-внизДа, всё верно, после достижения максимальной высоты аэростат будет совершать небольшие колебания по высоте, амплитуда которых будет постепенно затухать. Например, для массы гондолы 200 кг, радиуса оболочки 7 м, газ в оболочке - воздух, нагретый до 100 °C, максимальная высота у нас получилась около 950 м, амплитуда колебаний - сначала ±10 м, к концу первого часа затухает до ±10 см.
Что касается ρП, то, строго говоря, она не постоянно, так как объём оболочки с высотой возрастает. Однако для примерных оценок для тропосферы (высота до 11 км) его можно принять постоянным, но, оговоримся - для примерных оценок.
Однако для примерных оценок для тропосферы (высота до 11 км) его можно принять постоянным, но, оговоримся - для примерных оценок.
До 11 км должно быть довольно грубо. Характерная высота атмосферы Земли оценивается как 6-8.5 км - при таком изменении плотность падает примерно в 
раз.
А такой вопрос для любопытства - вы дифур решали аналитически или численно? Спрашиваю, так как мы сразу же отказались от идеи аналитического решения (в следующей статье расскажу, почему), но интересно, если кто решит аналитически, какие уравнения получатся.
А такой вопрос для любопытства — вы дифур решали аналитически или численно?Численно, конечно, используя вот эту свою собственную программу для численного интегрирования диффуравнений. Кстати, система оказалась жесткой, пришлось применять численный метод для жестких систем. Для плотности воздуха использовал формулу, приведенную в моём комментарии выше. Параметры были такие:
Картинки получились такие:
Квадратичная зависимость силы сопротивления от скорости - это только при больших скоростях. А при малых работает формула Стокса с линейным законом. Чтобы понять какой у вас случай реализуется, надо прикинуть число Рейнольдса
UPD. Прикинул, кажется что линейный режим там в лучшем случае при 
реализуется
Интересно. Но все же сделаю пару незначительных замечаний:
1) Архимедову силу сначала лучше назвать выталкивающей;
2) При формулировке уравнения движения следует сразу говорить в какой системе координат оно записывается.
Интересно, а действует ли на воздушный шар и полезную нагрузку ветер? Теоретически воздушный шар летит со скоростью ветра, соответственно он не должен испытывать ветровой нагрузки даже в ураган, теоретически. А на практике воздухплаватели замечали такое? Что относительная скорость ветра всегда нулевая. Или бывают резкие порывы ветра, завихрения?
При чтении новостей об атмосфере Юпитера например, периодически пишут что дуют ужас-ужас какие ветра в 1000 м/с. Представляется что такой ветер мгновенно разрушит зонды. Но относительная скорость ветра относительно зонда, в виде аэростата нулевая же будет... ему все равно какая скорость относительно виртуальной поверхности или других слоев атмосфера на расстоянии в тысячи километров расположенных.
Сферический БПЛА в воздухе