Comments 72
4 детальки:
у вас дорога из четного числа сегментов, а в задании - из нечетного.
Не прокатило (с)
Дело не в нечетности, а в том что 13 простое число. Если составное, берём максимальный делитель (пусть он равен Х), и к каждой Х-й детальке добавляем по две новые.
Будет ли это минимум - строго доказать пока не могу. Понятно только, что в любом случае добавить можно лишь четное количество деталей, половина из которых будут "минусы", т.е. перевёрнутые.
Да, задачи надо четко формулировать. Особенно математикам. Стоило в вопросе пропустить "кольцевую" и... Решение в корне меняется. Браво.
Задачка в стиле ТРИЗ, когда у автора изобретения немного побольше информации, чем у читающего книгу :)
спасибо за хорошую формулировку.
Меня как-то убидили почитать ТРИЗ - и всё время чтения чувствовал, что меня неё... что-то не так, но сформулировать кроме как "фигня какая-то" не мог.
Этот как читаешь книгу про детектива и думаешь, кто убийца. А потом, в самом конце всплывает какой-нибудь факт, который знал только сыщик и этот факт ставит всё на свои места. Очень раздражает...
Если чётко формулировать, то надо бы уточнить, что речь про минимальное дополнительное количество. Иначе ответов много.
Почему тогда не 8?
4 - ответ для "сколько еще, минимум, таких элементов надо докупить". Я вот сразу подумал про бесконечное, потому что "более длинную" прочитал как "максимально длинную".
Но да, как уже указали, пропущено ещё одно слово - "кольцевую".
Кстати, по поводу внуков. Этот набор из IKEA на самом деле полностью совместим с его оригинальной (?) идеей от BRIO. Там есть много других интересных вариантов и наборов, которые можно добавить.
И, конечно, IKEA -- не единственные, кто делает совместимые наборы. Даже на Aliexpress есть свои варианты.
Школьная задача...решение надо искать на комплексной плоскости.
А что, такие школы ещё где-то остались?
+ЗФТШ
+ ютюб
ЗФТШ насколь я помню всегда оставалась в рамках школьной программы. Задачи там были повышенной сложности, но без заходов в ТФКП и общую алгебру.
Допустим в школе могут вскользь упомянуть формулу Эйлера. Но откуда школьник даже из крепкого физмат класса может знать критерии неприводимости многочленов и вообще что это такое? Савватеев преувеличивает по поводу того, что задача школьная.
Делать (со стороны производителя) кольцо из 13 секторов — это какая-то содомия.
Зато есть реальный пример: железка из Lego Duplo, у которой кольцо собираются из (вчера посчитал) 12 элементов.
В подсказке ошибка на рисунке: должен быть корень тринадцатой степени из единицы (оно же $e^{2\pi/13}$), а не из минус единицы.
Измените условие на "сколько минимально еще таких элементов надо докупить".
А то вот решение для 39 доп.элементов я придумал просто в уме, без всяких комплексных плоскостей.
Решил не математическим, а логическим способом.
Раз у нас нечетное кол-во, то просто разъединить две половинки дороги и удлинить не получится. Тогда нужно удлинять сектора. Если взять два одинаковых сектора и соединить их наоборот (волнистой линией), то начало и конец будут параллельны. Подсоединяем эту часть к еще одному сектору и получается более длинная часть дороги с тем же углом. Соединяем эти длинные части воедино и получаем 3*13=39 частей (26 докупить). Можно еще удлинить и получим 5*13=65 (52 докупить), и т.д.
Когда у вас есть кольцо из 39 частей, далее достаточно добавлять по 6 сегментов, по 2 сегмента в каждую из трех равных частей. Да, дорога будет меньше походить на кольцо, но будет собираться.
Для решения текущей задачи достаточно логики и базовой геометрии. Решать через комплексные числа интересно, но это уже универсальное решение для задачи с n-числом сегментов.
Тут достаточно сообразить, что кол-во дополнительных сегментов всегда чётно, т.к. сумма углов должна остаться неизменной. Минимальное количество изменяемых сегментов также является наименьшим делителем, так как дорога кольцевая. Вот только 13 - это простое число, соответственно изменять нужно все 13 сегментов. Поправьте, если я не прав.
w= e^(2p/13)Тут для не математиков явно требуется пояснение, что это такое и откуда взялось.
Тут у автора ошибка, должно быть w = e^( 2π·i / 13).
Каждый сегмент дороги представляется в виде вектора единичной длины (комплексного числа с модулем 1), повёрнутого на угол 360°/13. Последующие сегменты — это произведение комплексных w всех предыдущих сегментов, т.к. текущий прицеплен к их концу.
А вся цепочка дороги — есть сумма всех сегментов. Её замыкание означает равенство данной суммы нулю. Коэффициенты 'a' зависят от того, в какую сторону мы завернули каждый последующий сегмент, вправо или влево — "в плюс" или в "минус",
а нам с сыном вот этот способ помог в решении логических задач https://nauka.club/informatika/krugi-eylera.html
А можно помедленнее и поподробнее, пожалуйста? Теорема Гаусса — это про основную теоремму алгебры? Как из нее получается неприводимость многочлена 1+...+x^12? И особенно, как из этой неприводимости получается, что все a должны быть равны?
Далее тоже ничего непонятно.
если мы посчитаем суммарный угол, на который повернулся наш вектор, то он должен быть нечетным
Что за суммарней угол тут считается? Если это про поворот вектора вдоль контура, то он, при всех a_i равных будет a, будет 2*pi*a. Чем тут a=2 не подходит — я тоже непонимаю.
Что за суммарней угол тут считается? Если это про поворот вектора вдоль контура, то он, при всех a_i равных будет a, будет 2pia. Чем тут a=2 не подходит — я тоже непонимаю.
Там подразумевалось, что поезд, полностью объехав дорогу, должен повернуться на 360 градусов - т.е. на полный круг. Повернуться на N кругов (N > 1) он не может, тогда будут самопересечения пути. Потому добавленные детали должны дать в сумме нулевой поворот. Каждая деталь может дать либо 1/13 круга, либо -1/13 круга, то есть их должно быть четное количество - поровну плюсов и минусов.
У некоторого султана было два мудреца: Али-ибн-Вали и Вали-ибн-Али. Желая убедиться в их мудрости, султан призвал мудрецов к себе и сказал: «Я задумал два числа. Оба они целые, каждое больше единицы, но меньше ста. Я перемножил эти числа и результат сообщу Али и при этом Вали я скажу сумму этих чисел. Если вы и вправду так мудры, как о вас говорят, то сможете узнать исходные числа».
Мудрецы задумались. Первым нарушил молчание Али.
— Я не знаю этих чисел, — сказал он, опуская голову.
— Я это знал, — подал голос Вали.
— Тогда я знаю эти числа, — обрадовался Али.
— Тогда и я знаю! — воскликнул Вали.
И мудрецы сообщили пораженному царю задуманные им числа.
Назовите эти числа.
Обожаю такие задачи, где еще и фигурирует «полнота информации» как переменная. Это наполовину арифметика, наполовину теория информации, наполовину что-то еще :)
Ещё в чем то похожая на эту задача про кофе с молоком:
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
Тоже сначала кажется, что недостаточно информации для решения задачки.
Я думаю, эта задача существенно легче, чем про мудрецов, ту, я помню, в институте на протяжении целой пары решал.
Что-то сложное решение у них получилось, мне кажется, что так быстро мудрецы могли бы только к такому прийти, но возможно я чего-то не учитываю. И так у нас два уравнения:
a + b = c
a * b = dИ 4-ре неизвестных. Первый мудрец отметил, что не знает чисел, и второй сказал, что знал это. Конечно, пар чисел очень много, значит нужно упрощать:
a + a = c
a * a = dТеперь у нас 3 неизвестных, два уравнения, и допущение, что султан загадал одинаковые числа. Дальше первый мудрец сказал, что теперь он знает, эти числа, то есть допустил, что c и d равны, тогда:
Решение
a + a = a * a;
2 = a*a/a
a = 2
К такому решению очень легко прийти, и это то что вполне могут выдать в процессе разговора мудрецы.
Читая существующие ответы возникает вопрос: для чего все эти усложнения, если мудрость в простоте.
Так они пришли к одному ответу обменявшись парой фраз, вряд ли они усложняли все с каждой фразой, скорее к общему знаменателю шли, понятному и очевидному, Keep it simply stupid.
Ваше "решение" можно использовать как иллюстрацию к синдрому Даннинга-Крюгера.
Ошибка здесь:
"Дальше первый мудрец сказал, что теперь он знает, эти числа, то есть допустил, что c и d равны,"
"Знать" и "допустить" - совсем не одно и тоже. Мудрец сказал что знает эти числа только когда он смог однозначно их вычислить по имеющимся данным, безо всяких предположений.
Если можно будет использовать молоток и напильник то только 1 детальку нужно докупить.
} молоток и напильник
Как проходивший "допуски и посадки", примерно за год до начертательной геометрии на 3-ем или 4-ом курсе ( код специальности - 22.04 ) и обладатель ГДР-овской железной дороги, возьму на себя смелость утверждать, что это излишне: паровозик повезёт три пассажирских вагончика даже "при расширенном диапазоне качества" строительных работ.
Отчасти, напоминает задачу из статьи Э.Дейкстры, любезно опубликованной в книге "Простое и сложное в программировании". И реакцию на ход её решения представителей разных профессий, в том числе "чистых математиков".
"Дети делятся на умных и сильных". © )))
Негодная халтура!
Савватеев всё красочно рассказал. Если уж вы взялись подготовить текстовый вариант, то хотя бы разъясните решение, сделайте поясняющие рисунки в комплексной плоскости. Да хотя бы без ошибок перепишите из Ютуба решение! w = e^( 2π·i / 13). А вы даже не потрудились нормальную букву пи вставить!
Я в шоке, вроде @MagisterLudiнормальным автором всегда был.
Не читай статью, камент пиши!
Столько же, сколько для двух кругов — 26 рельсинок.
P.S. Построил на салфетке нечто похожее на это.
о блин, я угадал решение, но на доказательство минимальности меня не хватило
Напрашивается ответ а=2, но если мы посчитаем суммарный угол, на который повернулся наш вектор, то он должен быть нечетным, поэтому а=3
честно говоря, не понял
a0+a1w+a2w2+a3w3+a4w4+ a5w5+a6w6+a7w7+a8w8+a9w9+a10w10+a11w11+a12w12=0
А почему он так выглядит, автор материала может объяснить?
И что такое
w = e^( 2π·i / 13)
?
И почему?
P.S. Пост ради поста, да?
Скажу честно, я бы эту задачу и сейчас с ходу не решил бы... тем более, школьником.
Мне понравилась задачка про озеро. Мозг сломал, но решить смог только графически, логики не хватило. Как всегда, зная ответ кажется примитивной.
Посмотрел видос, глянул комменты, нашел там ссылку , после этого стало понятно что к чему. В частности, откуда берется требование на одинаковые "а". Они могут быть разными, но тогда хотя бы одно из них будет иррациональное, а вот чтобы все были целыми - никак. Ну и всё прочее.
Насколько я понимаю, можно составить замкнутую "волнистую" кривую как в решении, взяв 3,5,7,9,11,13... сегментов и расположив из по принципу "один вверх, один вниз, один вверх...".
Для случая 13 у меня есть другая замкнутая конфигурация.
То есть элементов столько же, но расположены по-другому.
«Лучшая задача по математике для школьников, которую я встречал в своей жизни» (Алексей Савватеев)