company_banner

О гипотезе Пуанкаре. Лекция в Яндексе

  • Tutorial
Еще в XIX веке было известно, что если любую замкнутую петлю, лежащую на двумерной поверхности, можно стянуть в одну точку, то такую поверхность легко превратить в сферу. Так, поверхность воздушного шарика удастся трансформировать в сферу, а поверхность бублика – нет (легко вообразить себе петлю, которая в случае с бубликом не стянется в одну точку). Гипотеза, высказанная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, гласит, что аналогичное утверждение верно и для трехмерных многообразий.

Доказать гипотезу Пуанкаре удалось только в 2003 году. Доказательство принадлежит нашему соотечественнику Григорию Перельману. Эта лекция проливает свет на объекты, необходимые для формулировки гипотезы, историю поиска доказательства и его основные идеи.



Читают лекцию доценты механико-математического факультета МГУ к. ф-м. н. Александр Жеглов и к. ф.-м. н. Федор Попеленский.

Если не вдаваться в математические подробности, то вопрос, поднимаемый гипотезой Пуанкаре можно следующим образом: как охарактеризовать (трехмерную) сферу? Чтобы правильно понять этот вопрос, нужно познакомиться с одним из важнейших понятий в топологии – гомеоморфизмом. Разобравшись с ним, мы сможем точно сформулировать гипотезу Пуанкаре.



Чтобы совсем уж не залезать в математические подробности формального определения, мы скажем, что две фигуры считаются гомеоморфными, если можно установить такое взаимно-однозначно соответствие между точками этих фигур, при котором близким точкам одной фигуры соответствуют близкие точки другой фигуры и наоборот. Пропущенные нами подробности состоят как раз в адекватной формализации близости точек.

Легко понять, что две фигуры гомеоморфны, если одну из другой можно получить произвольной деформацией, при которой запрещено «портить» поверхности (рвать, сминать области в точку, делать дырки и т.п.).



Например, чтобы получить из диска полусферу, как показано на картинке выше, нам потребуется просто нажать сверху в его центр, придерживая внешний обод. Можно представлять себе, что поверхности сделаны из идеальной резины, так что все фигуры могут сжиматься и растягиваться как угодно. Нельзя делать только две вещи: разрывать и склеивать.



Более точное (но все же не окончательное с точки зрения строгости) представление о гомеоморфных фигурах мы будем иметь, если разрешим еще одну операцию: можно сделать на фигуре разрез, перекрутить, завязать, развязать и т.п., но потом обязательно заклеить разрез как было.



Приведем еще один пример. Представим себе яблоко, в котором червяк прогрыз ход в виде узла и небольшую пещеру.



С точки зрения топологии поверхность этого яблока все равно останется сферой, т.к. если стянуть все это определенным образом, мы получим поверхность яблока в том же виде, как было до того, как червяк начал его есть.

Для закрепления попробуйте классифицировать буквы латинского алфавита с точностью до гомеоморфизма (т.е. выясните, какие буквы гомеоморфны, а какие — нет). Ответ зависит начертания букв (от типа шрифта или от гарнитуры), и для простейшего варианта начертания он приведен на следующем рисунке:



Из 26 букв у нас получается всего 8 классов.

На следующей картинке изображены гиря, кофейная чашка, бублик, сушка и кренделек. С топологической точки зрения поверхности гири, кофейной чашки, бублика и сушки одинаковы, т.е. гомеоморфны. Что касается кренделька, то он приведен здесь для сравнения с поверхностью, которую в топологии часто называют кренделем (он изображен в правом нижнем углу рисунка). Как вы, наверное, уже понимаете, и топологический крендель, и съедобный крендель отличаются от тора.



Формальная постановка вопроса


Пусть M – замкнутое связное многообразие размерности 3. Пусть на нем любая петля может быть стянута в точку. Тогда M гомеоморфно трехмерной сфере.

Наибольшую трудность для неподготовленного человека здесь вызывает понятие «многообразия размерности 3» и свойства, выраженные словами «замкнутое» и «связное». Поэтому мы попробуем разобраться со всеми этими понятиями и свойствами на примере размерности 2, в этом случаем многое кардинально упрощается.

Гипотеза Пуанкаре для поверхностей


Пусть M – замкнутая связная поверхность (многообразие размерности 2). Пусть на ней любая петля может быть стянута в точку. Тогда поверхность M гомеоморфна двумерной сфере.

Сначала определим, что такое поверхность. Возьмем конечный набор многоугольников, разбиваем все их стороны (ребра) на пары (т.е. всего сторон у всех многоугольников должно быть четное число), в каждой паре выбираем, каким из двух возможных способов будем их склеивать. Склеиваем. В результате поучается замкнутая поверхность.

Если полученная поверхность состоит из одного куска, а не из нескольких отдельных, то говорят, что поверхность связна. С формальной точки зрения это значит, что после склейки из любой вершины любого многоугольника можно по ребрам пройти в любую другую вершину.



Вот простой пример: если считать, что на картинке выше все треугольники правильные, то после склеивания у нас должен получиться правильный тетраэдр, поверхность которого также гомеоморфна сфере.

Формально нужно требовать, чтобы из любой вершины любого многоугольника после склейки можно было пройти в любую вершину любого многоугольника (по ребрам).

Нетрудно сообразить, что связную поверхность можно склеить и из одного многоугольника. На рисунке видна идея, как это обосновывается:



Рассмотрим примеры простейших склеек:



В первом случае у нас получится сфера:



Во втором случае у нас получится тор (поверхность бублика, мы встречались с ним раньше):



В третьем случае получится так называемая бутылка Клейна:



Если склеивать не все стороны многоугольника, то получится поверхность с краем:



Важно отметить, что после склейки «шрамы» от нее носят чисто «косметический характер. Все точки поверхности равноправны: у любой точки имеется окрестность гомеоморфная диску.

Две поверхности считаются гомеоморфными, если схемы склейки каждой из них можно так разрезать на схемы склейки из более мелких многоугольников, что схемы склейки станут одинаковыми.

Разберем это утверждение на примере разбиения поверхности куба на части, из которых можно сложить развертку тетраэдра:



Верен и более общий факт: поверхности всех выпуклых многогранников – это сферы.

Теперь подробнее остановимся на понятии петли. Петял — это замкнутая кривая на рассматриваемой поверхности. Две петли называются гомотопными, если одну из них можно продеформировать в другую без разрывов и склеек, оставаясь на поверхности. Ниже приведен простейший случай стягивания петли на плоскости или сфере:



Даже если петля на плоскости или сфере имеет самопересечения, ее все равно можно стянуть:



На плоскости можно стянуть любую петлю:



А вот какие петли бывают на торе:



Стянуть такие петли невозможно. (К сожалению, доказательство выходит довольно далеко за рамки нашего рассказа.) Более того, показанные петли на торе не гомотопны. Предлагаем слушателям или читателям найти еще одну петлю на торе, не гомотопную этим двум — это очень простой вопрос. После этого попробуйте найти на торе четвертую петлю, не гомотопную этим трем — это будет несколько сложнее.

Эйлерова характеристика


Теперь, когда мы познакомились со всеми основными понятиями из формулировки гипотезы Пуанкаре, попробуем приступить к доказательству двумерного случая (лишний раз отметим, что это многократно проще трехмерного случая). А поможет нам в этом эйлерова характеристика.

Эйлеровой характеристикой поверхности M назовем число B−P+Г. Здесь Г — число многоугольников, Р — это число ребер после склейки (в случае рассматриваемых поверхностей это половина числа сторон всех многоугольников), B — это число вершин, которое получается после склейки после склейки.

Если две схемы склейки задают гомеоморфные поверхности, то у этих схем числа B−P+Г одинаковы, т. е. B−P+Г является инвариантом поверхности.

Если поверхность уже как-то задана, то надо нарисовать на ней какой-нибудь граф, чтобы после разрезания по нему поверхность распалась на куски гомеоморфные дискам (например, кольца запрещены). Затем подсчитываем величину B−P+Г — это и есть эйлерова характеристика поверхности.

Будут ли гомеоморфны поверхности с одинаковыми эйлеровыми характеристиками, мы узнаем позже. Но совершенно точно можно утверждать, что если эйлеровы характеристики у поверхностей разные, то поверхности не гомеоморфны.

Знаменитое соотношение B−P+Г=2 для выпуклых многоугольников (теорема Эйлера) является частным случаем этой теоремы. В данном случае речь идет о конкретной поверхности — о сфере. Замечание Обозначение: Эйлерову характеристику поверхности M будем обозначать через χ(M): χ(M) = B − P + Γ

Если поверхность M связна, то χ(M) ≤ 2, причем χ(M) = 2 тогда и только тогда, когда M гомеоморфна сфере.

Посмотрев лекцию до конца, вы узнаете, как же все-таки доказывается гипотеза Пуанкаре в размерности 2, и как Григорию Перельману удалось доказать ее в размерности 3.
Яндекс
600.71
Как мы делаем Яндекс
Share post

Comments 14

    +2
    Ну как всегда, на самом интересном месте…
      0
      www.youtube.com/watch?v=p8zPx41oxwE
      www.youtube.com/watch?v=eyNhhRCCMiI
      Познавательные видео, давно смотрел и не раз, очень наглядно.
        +1
        Минутку-минутку! Я вот смотрел видео, как вывернуть сферу наизнанку (Chijikson приложил ссылки на две части), и там нельзя было выполнять такое преобразование, как вот у вас тут:


        Разве изломы допустимы? Или это зависит, простите дилетанта, от уровня «строгости»?

        Ну и к превращению сферы в полусферу такой же вопрос — если у краев получившейся «миски» конечная кривизна, т.е. это не излом, то тогда это и не полусфера, а если края являются именно изломами — то было ли корректным такое преобразование?
          +3
          Излома нет. Эту восьмерку можно нарисовать касательными, т.е. два круга соприкасающиеся в точке.
          +4
          В парадоксе Смейла (видео про сферу) речь идет о так называемой регулярной гомотопии. Требование гладкости (отсутствия изломов) для регулярной гомотопии вытекает ровно из того факта, что оно дает интересные для изучения классы погружений.

          В данном случае рассматривается вполне обычная гомотопия петель, которая которая определяет гомотопические классы и, соответственно, фундаментальную группу. Такая конструкция опять же рассматривается ровно потому, что она дает интересную информацию о структуре — позволяет классифицировать многообразия.

          Надо понимать, что нет никакого «высшего смысла» в изучении какого-либо конкретного типа гомотопий или каких-либо объектов вообще. Их изучают ровно потому, что они интересны. Каждый из них имеет свое право на существование (но фундаментальная группа, в некотором смысле, более фундаментальна).
            +2
            Спасибо!
          0
          [offtop]
          О Перельмане есть довольно интересный документальный фильм, называется: «Иноходец. Урок Перельмана». Советую посмотреть.
          [/offtop]
            +2
            Огромное спасибо Яндексу (и всем преподавателям в частности) за интересные лекции, а также комментаторам за полезные ссылки.
              –5
              Я ничего не имею против математики, даже за её развитие, но мне тяжело понимать некоторые вещи. Например, то, какое практическое применение носит теорема Пуанкаре.

              За видео спасибо!
                0
                Практическая польза такая же, как и от Гипотеза Таниямы — Симуры — Вейля. Развитие фундаментальной науки прежде всего.
                  0
                  Это где-то крутилось в голове, но я немного о другом спрашивал. Наверное не верно сформулировал вопрос. Я хотел узнать, нашло ли доказательство данной гипотезы, применение где-нибудь в практике, в уже существующих технологиях. Т.е. такое событие очень пригодилось кому-то прямо здесь и сейчас, просто раньше на гипотезу лишь ссылались, а теперь можно быть уверенным в её верности.
                +4
                О как…
                Фёдор Юрьевич на хабре o_0
                  +1
                  Очень интересно, спасибо.

                  Есть одна маленькая просьба: захватывайте лазерную указку и отправляйте её на правую сторону экрана. Для этого нужна веб-камера с ИК фильтром и несложная програмка.

                  Only users with full accounts can post comments. Log in, please.