(и при чём здесь Бендер – нет, не Остап!)

\mathcal{PT}-симметрия – класс необычных квантовых моделей, в которых гамильтониан может быть неэрмитовым, но при этом сохранять вещественный спектр. Идея звучит почти парадоксально, но с конца 1990-х стала активно развиваться благодаря работам Бендера (да, Бендера – но, если вы на секунду подумали про Остапа Ибрагимовича, то увы разочарую: этот Бендер не занимался охотой за двенадцатью стульями и биографией Александра Ивановича Корейко; его область интересов – квантовая механика) – Карла Бендера.

Свежая статья продолжает линию исследований Карла Бендера и коллег, но в неожиданном направлении – квантовой термодинамики открытых систем.

Авторы показывают, что для определённого подкласса \mathcal{PT}-симметричных гамильтонианов можно построить специальную метрику – модифицированное скалярное произведение, в котором система становится формально эрмитовой. Это позволяет определить корректные проекторы, обобщённую плотность состояния и, главное, вычислить эрготропию (ergotropy) – максимальную работу, которую можно извлечь из квантового состояния.

Что такое эрготропия и зачем она нужна

Эрготропия — это максимальная работа, которую можно извлечь из квантового состояния с помощью допустимой (унитарной) эволюции, не увеличивая энтропию. В отличие от энергии или теплового содержания, эрготропия измеряет именно упорядоченную, доступную работу, а не полную энергию системы.

Понятие было введено сравнительно недавно – в 2004 году в работе Allahverdyan, Balian & Nieuwenhuizen (Phys. Rev. E 69, 066119),
где авторы впервые показали, что квантовое состояние может содержать скрытый «ресурс работы», который не виден в обычных термодинамических величинах.

С тех пор эрготропия стала ключевым инструментом квантовой термодинамики и теории квантовых батарей: она позволяет различать ту часть энергии, которую можно превратить в работу, и ту, которая фундаментально недоступна.

В \mathcal{PT}-симметричных моделях она особенно важна: изменение метрики меняет норму, проекторы и даже само понятие «доступной энергии», так что без эрготропии корректное определение максимальной работы просто невозможно.

Для обычных квантовых систем эрготропия давно изучена, но для \mathcal{PT}-симметричных моделей такая формулировка была неясной.

Формально важно, что \mathcal{PT}-симметричный гамильтониан здесь выступает как эффективное описание открытой системы – результат интегрирования или исключения окружения. Однако анализ дальше проводится в псевдо-эрмитовой метрике, где динамика становится унитарной. То есть система «открытая» по происхождению, но изучается как бы «замкнутая» с новым скалярным произведением.

Исследователи переходят от замкнутых систем к открытым, где потери, обмен информацией с окружающей средой и неунитарность становятся частью динамики. Именно здесь \mathcal{PT}-симметрия проявляет себя особенно тонко: в «симметричной» фазе система ведёт себя почти как обратимая квантовая машина, а при разрушении \mathcal{PT}-симметрии эрготропия резко падает. По сути, такой \mathcal{PT}-переход становится термодинамическим маркером того момента, когда эффективная обратимость перестаёт работать.

Важно, что при аккуратном учёте новой метрики никакие законы термодинамики не нарушаются. Они просто приобретают слегка изменённую формулировку – это ещё раз подчёркивает, что \mathcal{PT}-симметричная динамика не отменяет квантовую механику, а лишь требует новой геометрии пространства состояний.

Особенно интересна связь \mathcal{PT}-симметричной динамики со стрелой времени. В стандартной квантовой механике эволюция замкнутой системы остаётся обратимой, и никакой встроенной «стрелы времени» в уравнениях нет. Необратимость появляется только тогда, когда мы выделяем подсистему и игнорируем окружение. \mathcal{PT}-симметричные модели наглядно показывают этот момент: в «симметричной» фазе система ведёт себя почти обратимо, а при разрушении \mathcal{PT}-симметрии необратимость проявляется явно – через появление комплексных собственных значений, а значит, экспоненциально затухающих или растущих мод. Это необратимость, закодированная в самом спектре. \mathcal{PT}-переход становится физически наблюдаемой границей между формальной обратимостью и эффективной стрелой времени – моментом, когда сам спектр гамильтониана «решает», что путь назад закрыт, а эрготропия при этом резко падает.

Чтобы показать, что это не абстрактная конструкция, авторы подробно разбирают простой пример – \mathcal{PT}-симметричную двухуровневую систему с усиливающим и затухающим каналами (gain/loss), для которой эрготропия вычисляется в явном виде. Это подчёркивает практичность подхода: даже такие модели допускают строгий термодинамический анализ.

Работа демонстрирует, что идеи Бендера – изначально выглядевшие математической экзотикой – постепенно переходят в фундаментальные разделы современной физики. Теперь \mathcal{PT}-симметрия становится инструментом не только в оптике и в управлении квантовыми системами, но и в квантовой термодинамике, где вопросы работы и необратимости, ведущей к появлению стрелы времени, выходят на первый план.