Введение в топологию (для чайников и гуманитариев)

Не помню, когда я впервые узнал про топологию, но меня эта наука сразу заинтересовала. Чайник превращается в бублик, сфера выворачивается наизнанку. Многие слышали про это. Но у тех, кто хочет углубиться в эту тему на более серьёзном уровне, часто возникают трудности. Особенно это относится к освоению самых начальных понятий, которые по своей сути очень абстрактны. Более того, многие источники, как будто специально стремятся запутать читателя. Скажем русская вики даёт весьма туманную формулировку того, чем занимается топология. Там говорится, что это наука изучающая топологические пространства. В статье про топологические пространства читатель может узнать, что топологические пространства — это пространства снабжённые топологией. Такие объяснения в стиле лемовских сепулек не очень проясняют суть предмета. Я попробую далее изложить основные базовые понятия в более ясной форме. В моей заметке не будет превращающихся чайников и бубликов, но будут сделаны первые шаги, которые позволят в конце концов научиться этой магии.

Впрочем, так как я не математик, а стопроцентный гуманитарий, то вполне возможно, что написанное ниже — враньё! Ну, или по крайней мере часть.

Впервые я написал эту заметку, как начало цикла статей о топологии, для своих гуманитарных друзей, но никто из них читать ее не стал. Исправленную и расширенную версию я решил выложить на хабр. Мне показалось, что здесь существует определенный интерес к этой теме и статей как раз такого рода еще не было. Заранее благодарен за все комментарии об ошибках и неточностях. Предупреждаю, что я использую много картинок.

Начнем с краткого повторения теории множеств. Думаю, большинство читателей хорошо с ней знакомы, но тем не менее напомню основы.

Итак, считается, что определения у множества нет и, что мы интуитивно понимаем, что это такое. Кантор говорил так: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)». Конечно, это просто иносказательное описание, а не математическое определение.
Теория множеств известна (прошу простить за каламбур) множеством удивительных парадоксов. Например. С ней также связан кризис математики в начале XX-го века.

Теория множеств существует в нескольких вариантах, таких как ZFC или NBG и других. Вариантом теории являетсятеория типов, которая весьма важна для программистов. Наконец, некоторые математики предлагает вместо теории множеств в качестве фундамента математики использовать теорию категорий, о которой много написано на Хабре. Теория типов и теория множеств описывают математические объекты как бы «изнутри», а теория категорий не интересуется их внутренним строением, а только как они взаимодействуют, т.е. даёт их «внешнюю» характеристику.
Для нас важны только самые начальные основы теории множеств.

Множества бывают конечными.



Бывают бесконечными. Например, множество целых чисел, которое обозначается буквой ℤ (или просто Z, если у вас на клавиатуре нет фигурных букв).



Наконец, есть пустое множество. Оно ровно одно во всей Вселенной. Имеется простое доказательство этого факта, но я не буду его здесь приводить.



Если множество бесконечно, оно бывает счетным. Счетные — те множества, элементы которых можно перенумеровать натуральными числами. Само множество натуральных чисел, как вы догадались, тоже счетно. А вот как можно пронумеровать целые числа.



С рациональными числами сложнее, но и они поддаются нумерации. Этот способ называется диагональным процессом и выглядит, как на картинке внизу.



Мы зигзагом движемся по рациональным числам, начиная с 1. При этом каждому числу, которое у нас получается, присваиваем четный номер. Отрицательные рациональные числа считаются тем же способом, только номера нечетные, начиная с 3. Ноль традиционно получает первый номер. Таким образом видно, что все рациональные числа можно пронумеровать. Все числа вроде 4,87592692976340586068 или 1,00000000000001, или -9092, или даже 42 получают свой номер в этой таблице. Тем не менее, сюда попадают не все числа. Например, √2 не получит номера. Когда-то это очень огорчило греков. Говорят, того парня, который открыл иррациональные числа, утопили.

Обобщением понятия размера для множеств является мощность. Мощность конечных множеств равна числу их элементов. Мощность бесконечных множеств обозначается еврейской буквой алеф с индексом. Самая маленькая бесконечная мощность—это мощность 0. Она равна мощности счетных множеств. Как видим, таким образом, натуральных чисел, так же много, как и целых или рациональных. Странно, но факт. Следующая — мощность континуума. Она обозначается маленькой готической буквой с. Это мощность множества вещественных чисел ℝ, например. Существует гипотеза о том, что мощность континуума равна мощности 1. Т.е., что это следующая после мощности счетных множеств мощность, и нет никакой промежуточной мощности между счетными множествами и континуумом.

Над множествами можно проводить различные операции и получать новые множества.

1. Множества можно объединять.



2. Множества можно «вычитать». Эта операция называется дополнением.



3. Можно искать пересечение множеств.



Собственно это все о множествах, что нужно знать для целей этой заметки. Теперь мы можем приступить к самой топологии.
Топология — это наука, которая изучает множества с определенной структурой. Эта структура также называется топологией.
Пусть у нас есть некоторое непустое множество S.
Пусть же у этого множества будет некоторая структура, которая описывается с помощью множества, которое мы назовем Т. Т представляет собой множество подмножеств множества S такое, что:

1. Само S и ∅ принадлежат T.
2. Любое объединение произвольных семейств элементов T принадлежит T.
3. Пересечение произвольного конечного семейства элементов T принадлежит T.

Если эти три пункта выполняются, то наша структура является топологией T на множестве S. Элементы множества T называются открытыми множествами на S в топологии T. Дополнением к открытым множествам являются замкнутые множества. Важно отметить, что если множество открыто, это еще не означает, что оно не замкнуто и наоборот. Кроме того в данном множестве относительно некоторой топологии могут быть подмножества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми.

Приведем пример. Пусть у нас есть множество, состоящее из трех цветных треугольников.



Самая простая топология на нем называется антидискретной топологией. Вот она.



Эту топологию, также называют топологией слипшихся точек. Она состоит из самого множества и из пустого множества. Это действительно удовлетворяет аксиомам топологии.

На одном множестве можно задать несколько топологий. Вот еще одна очень примитивная топология, которая бывает. Она называется дискретной. Это топология, которая состоит из всех подмножеств данного множества.



А вот еще топология. Она задана на множестве из 7 разноцветных звезд S, которые я обозначил буквами. Убедитесь, что это топология. Я в этом не уверен, вдруг я пропустил, какое-то объединение или пересечение. На этой картинке должно быть само множество S, пустое множество, пересечения и объединения всех остальных элементов топологии также должны быть на картинке.



Пара из топологии и множества на котором она задана называется топологическим пространством.



Если в множестве много точек (не говоря уже о том, что их может быть бесконечно много ), то перечислить все открытые множества может быть проблематично. Например, для дискретной топологии на множестве из трех элементов, надо составить список из 8 множеств. А для 4-элементного множества дискретная топология будет насчитывать уже 16, для 5 — 32, для 6 —64 и так далее. Для того, чтобы не перечислять все открытые множества используется как бы сокращенная запись — выписываются те элементы, объединения которых могут дать, все открытые множества. Это называется базой топологии. Например, для дискретной топологии пространства из трех треугольников — это будут три треугольника взятые в отдельности, потому, что объединяя их, можно получить все остальные открытые множества в данной топологии. Говорят, что база генерирует топологию. Множества, элементы которого генерируют базу, называют предбазой.

Ниже пример базы для дискретной топологии на множестве из пяти звезд. Как видите, в данном случае база состоит всего из пяти элементов, в то время как в топологии целых 32 подмножества. Согласитесь, использовать базу для описания топологии — гораздо удобнее.



Для чего нужны открытые множества? В каком-то смысле они дают представление о «близости» между точками и о различии между ними. Если точки принадлежат двум разным открытым множествам или если одна точка находится в открытом множестве, в котором не находится вторая, то они топологически различаются. В антидискретной топологии все точки в этом смысле неразличимы, они как бы слиплись. Наоборот, в дискретной топологии все точки имеют различие.

С понятием открытого множества неразрывно связано понятие окрестности. Некоторые авторы дают определение топологии не через открытые множества, а через окрестности. Окрестность точки p — это множество, которое содержит открытый шар с центром в этой точке. Например, на рисунке ниже показаны окрестности и не окрестности точек. Множество S1 является окрестностью точки p, а множество S2 нет.



Связь между открытым множеством и октестностью можно сформулировать так. Открытое множество — такое множество, каждый элемент которого имеет некоторую окрестность, лежащую в данном множестве. Или наоборот можно сказать, что множество открыто, если оно является окрестностью любой своей точки.

Все это самые базовые понятия топологии. Отсюда еще не ясно как выворачивать сферы наизнанку. Возможно в будущем, я смогу добраться и до такого рода тем (если сам разберусь).

UPD. Из-за неаккуратности моей речи, возникло некоторое недоумение относительно мощностей множеств. Я несколько исправил свой текст и здесь хочу дать пояснение. Кантор, создавая свою теорию множеств, ввел понятие мощности, которое позволяло сравнивать бесконечные множества. Кантор установил, что мощности счетных множеств (например, рациональных чисел) и континуума (например, вещественных чисел) различны. Он предположил, что мощность континуума является следующей после мощности счетных множеств т.е. равна алеф-один. Кантор пытался доказать эту гипотезу, но безуспешно. Позже стало ясно, что эту гипотезу нельзя ни опровергнуть, ни доказать.
AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 30

    +5
    Окрестность точки p — это множество, которое содержит открытый шар с центром в этой точке.

    Вы, сударь, поосторожнее — если речь только о топологии, то какой же открытый шар?

    На деле — есть два подхода. Одни начинают с топологических пространств и самых общих свойств, а потом начинают эту общность урезать: вводят метрические пространства, нормированные пространства, банаховы пространства, гильбертовы пространства.

    А другие идут в обратную сторону. Вот у нас есть скалярное произведение — оно нам даёт норму, которая даёт метрику, которая даёт топологию. А если ввести норму без скалярного произведения? А если — метрику без нормы? А если топологию без метрики?

    P.S. В топологическом пространстве окрестность точки — это любое открытое множество, содержащее точку.
      0
      И еще насколько я понимаю, поправте, если я заблуждаюсь, окрестность в общем случае не является открытым множеством, хотя открытое множество окрестностью своих точек является.
        0
        Пересечение любого конечного количества открытых множеств — открыто. Поэтому я лично не понимаю, как окрестность может не быть открытым множеством сама :). Как её ни понимай.

        Обратное верно — в метрических пространствах за окрестности обычно принимаются именно открытые шары с точкой в центре. То есть у нас может быть открытое множество, которое вовсе не является окрестностью большинства своих точек. Им хорошо, у них есть метрика :).
        Но в топологическом пространстве в общем случае нет расстояния, и понятие «шар» и «центр шара» там лишены смысла.
          0
          Т.е. вы говорите, что окрестность — полный синоним открытого множества? Ну смотрите, вот какое определение окрестности даёт, например,
          «Топология без слез»: «Let (X,T) be a topological space, N a subset of X and p a point in N. Then N is said to be a neighbourhood of the point p if there exists an open set U such that p∈U⊆N». Здесь ничего не говорится о том, каким множеством является N. Собственно дальше там приводится пример: «The closed interval [0;1] in R is a neighbourhood of the point 1/2 since 1/2∈(1/4;3/4)⊆[0;1]». Замкнутый интервал—это, очевидно, замкнутое множество.
          Вот, что написано в вики: «Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность V была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.» Насчет, шара я согласен. Но опять же я думал, что это более ясный пример, чем давать определение окресности, как я написал выше, через открытые множества. И раз уж так пишет Уоллес, то я подумал, что и для моих целей сойдет.
      0
      Про шар, я и сам удивляюсь. Но я воспроизвел определение Уоллеса из его «Дифференциальна топология. Первые шаги». Точнее меня смутил не шар, а то что он открытый, хотя определение открытого множества Уоллес дает только в следующей главе таким образом:
      «Множество U нзывается открытым в E [...], если U является окрестностью для любой точки p принадлежащей U»

      Ну и потом, у меня, конечно, может быть много разных глупых ошибок. Математика очень тонкая вещь, а я в ней очень грубый любитель.
        +1
        Самая маленькая бесконечная мощность—это мощность ℵ0. Она равна мощности счетных множеств.

        Следующая — мощность континуума. Она обозначается ℵ1.

        Существует гипотеза о том, что мощность континуума и мощность алеф-один — одно и то же.

        Другими словами, мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. Википедия

        Вы с индексами ℵ не перепутали, часом, ничего?
          0
          Вроде нет. Или я туплю и не понимаю, что вы имеет в виду. У счетных множеств мощность алеф-ноль. Континуум больше, чем счетные множества, следовательно у него какой-то другой индекс. Ну и по континуум гипотезе С=ℵ1
          • UFO just landed and posted this here
              +2
              Я рискну позанудствовать и привести цитату из замечательной книги «Начало теории множеств» Н.К. Верищагин, А.Шень:
              Цитата со страницы 39:
              Мощность счетного множества символически обозначается ℵ0, мощность континуума (отрезка или множества бесконечных последовательностей нулей и единиц) обозначается как с, так что c=2^ℵ0.
              Естественный вопрос: какой смысл индекса 0 в ℵ0? Что такое, скажем, ℵ1? Обычно ℵ1 обозначают наименьшую несчетную мощность (как мы увидим, такая существует). Гипотеза континуума, о которой мы упоминали на с.30, утверждает, что c=ℵ1.

              Ну и со страницы 30:
              Между счетными множествами и множествами мощности континуум нет промежуточной мощности.

              Ну и в догоночку определение континуума:
              Мощность множества всех действительных чисел называют мощностью континуума.


              Собственно, я хочу, во-первых сказать автору спасибо.
              Во-вторых, я считаю, что вы молодец, будучи гуманитарием, пытаетесь разобраться в таких вещах. Так держать.
              В-третьих, могу посоветовать цикл книг Н.К. Верещагин, А. Шень: «Начало теории множеств», «Языки и исчисления», «Вычислимые функции». Данный цикл написан для школьников-олимпиадников и студентов первых курсов мех.мата. Язык легкий и понятный, без заумий, думаю, вам понравится.
                0
                Спасибо. У меня довольно большая коллекция книг по математике, но большинство из них мне пока не доступны дальше введения. Так что за книги спасибо.
            0
            Введение про множества прикольно написано. Вполне подойдёт для детей.
            Из замечаний: разность обозначается чертой с противоположным наклоном, как у бекслеша \.
            Ещё я бы не стал отождествлять разность с дополнением. Обычно говорят о дополнении, когда есть какое-то универсальное множество элементов, но известно, что все рассматриваемые множества содержатся в некотором его фиксированном подмножестве A (которое может совпадать с универсальным множеством). И тогда говорят, что дополнение некоторого множества B (обозначают B с чертой сверху) это множество тех элементов, которые лежат в A, но не в B (можно уточнять: дополнение B относительно A). Отличие записи A\B в том, что не предполагается, что B лежит в A.
            Открытое множество — такое множество, каждый элемент которого имеет некоторую окрестность.

            Поправьте, пожалуйста. Любой элемент имеет некоторую окрестность, например всё топологическое пространство. Здесь надо уточнить, что окрестность должна лежать в данном открытом множестве.
            Не встречал вроде, чтобы окрестностям (без явного указания) разрешали быть замкнутыми, однако (при условии, что она должна содержать открытое множество, содержащее точку) такое определение не должно как правило приводить к проблемам. А поскольку оно сложнее и не меняет сути, в таких заметках для начинающих лучше не парить людям мозги и требовать открытости.
              0
              Вроде исправил, если опять не перепутал ничего.
              0
              Интересно, скольким хабражителям сея дивная дискуссия разорвала шабло? :)
                +1
                Продолжайте, пожалуйста, дальше! Очень интересно и полезно. (Пока правда универский матан и матлогика только(для меня)).
                  0
                  Этот способ называется диагональным процессом
                  Тонкий момент — рассказать, какие же номера будут присвоены числам 1/3 и 2/6. Эти две записи обозначают одно и то же число. Если этого не уточнять, у вас буквально неверное построение отображения. Чтобы избежать таких проблем, обязательно нужно уточнить, что в диагональном процессе пропускаются числа, которые были посчитаны раньше. Это может быть очевидно, но слушатель не может знать, что именно вы подразумевали на самом деле.
                  гипотеза о том, что мощность континуума равна мощности ℵ1
                  По определению ℵ1=2^ℵ0. ℵ2 и все остальные определяются именно через предыдущую. Континуум-гипотеза предполагает другое, а именно, что между ℵ0 и ℵ1 нет никаких других бесконечностей.

                  Ну а вообще смысла рассказывать первую четверть первой лекции очень мало. Хорошие тексты рождаются, когда вы берете что-то посложнее, и излагаете так, чтобы кто-нибудь это понял. Если вы (или не вы) расскажете, например, продолжая тему топологии, про расслоения, кобордизмы и когомологии, не используя картинок с готическими буквами и объяснив, где в реальности это возникает, вы совершите весьма ценный труд. Пока что вы только показали инструменты, не объяснив, что вы ими вообще делаете.
                    +1
                    По определению ℵ1=2^ℵ0


                    Странное определение. Насколько я помню, ℵ1 — первая несчетная мощность, 2^ℵ0=C, а ℵ1=2^ℵ0 — формулировка континуум-гипотезы. Вики со мной согласна :) У вас есть ссылки на альтернативную нумерацию (где ℵ1 — континуум)? Как в них обозначается первая несчетная мощность?
                    0
                    На мой взгляд отсутствие примеров практического использования — фатальная ошибка. Именно поэтому матан и не пользуется популярностью в университетах — потому что большая часть преподавателей даже не пробует объяснить зачем все это нужно и как круто это знать. Я вот после прочтения этой статьи (как и после статьи в википедии) не понял какие применения у топологии. И под практическими примерами я подразумеваю не трансформацию кубика в чайник, а что то действительно полезное и используемое.
                      0
                      А может мне кто-нибудь рассказать, что означает слово топология в понятии топология интегральных микросхем?
                      апд: не туда, да(
                        0
                        Ну топология, вообщем показывает что с чем связано (или как связано). Например, топология компьютерной сети — это способ связи между компьютерами и т.д. Я в схемах, конечно, не понимаю, но предполагаю, что суть та же самая, сспособ связи между элементами схемы, которые определяют ее функциональные особенности.
                          0
                          Если кратко, то есть большая и понятная схема на бумаге. Теперь нужно нарисовать эту схему в виде дорожек на реальной подложке, чтобы получилось компактно и без ошибок.
                          0
                          Говорят, топология очень важна в физике, химии, биологии. Но мне трудно привести примеры.
                            0
                            отсутствие примеров практического использования — фатальная ошибка

                            Обратная сторона медали в том, что любой пример — это частный случай.
                              0
                              Обратная сторона обратной стороны медали в том, что без частных случаев из жизни интерес к конечному множеству математических абстракций стремится к нулю, равно как и скорость познания. Иначе говоря, мозг человека работает ассоциативно, поэтому приводить примеры просто необходимо, если действительно хочешь что-нибудь объяснить не только задротам, которым уже интересна тема. В качестве примера правильного подхода могу указать книгу «Эгоистичный ген» Ричарда Докинза.
                                0
                                Для того, чтобы привести пример необходимо сначала освоить базовые понятия, я так думаю. Вот как объяснить важность оператора набла, прежде чем изучены интегралы и производные и т.д.? Только сказать «он нужен в физике»
                            +1
                            Про выворачивание сферы очень понравилось вот это видео: часть 1 часть 2
                              0
                              Интересно) У нас в универе была высшая математика, но ни топологии, ни выворачивания сфер не было. А если бы топология и была, была бы моей нелюбимой темой, наверно.
                              Про то, что кривую можно характеризовать количеством витков вообще впервые слышу. Познавательно.
                              Со сферами ясно в случае нарезки на полоски и крышечками, но в случаях c нарезкой сферы на полосы и выворачиванием окружности путем разбиения на сегменты… смотрю и глаза разбегаются, никак картинка не складывается в голове)
                              0
                              V называется окрестностью точки x, если существует открытое мн-во U: x \in U \subseteq V.
                              Шаров в топологическом пространстве нет, есть только в метрическом!

                              Однако на матанализе обычно подразумевают пространство Rn, которое метрическое, а топологию как таковую учат ровно постольку, поскольку нужна непрерывность. И вообще, топология — наука, которая изучает непрерывность.
                                0
                                И да, любое метрическое пространство является топологическим.
                                  0
                                  Простите, во второй части вы, кажется, поправились.
                                    0
                                    Знаю. Знаю. Меня ввел в заблуждение Уоллес, на книгу которого я в основном ориентировался в данной главе. Там он как-то очень свободно опреировал шарами, для определения окрестностей в топологическом пространстве, причем про метрику и расстояния не сказал ни слова. Может я его не правильно понял.

                                  Only users with full accounts can post comments. Log in, please.