Критический взгляд на аттрактор Лоренца

    1. Об аттракторе Лоренца


    image

    Эдвард Нортон Лоренц (1917 – 2008) является основателем теории хаоса, очень популярной в науке на сегодняшний день. Он учился в колледже Дартмут штата Нью-Гемпшир США и Гарвардском университете в Кембридже. Во время Второй мировой войны служил метеорологом в авиационном корпусе армии США, потом до конца своих дней работал профессором в Массачусетском технологическом институте.

    В 1963 году в журнале «Journal of the Atmospheric Sciences» вышла его статья «Deterministic Nonperiodic Flow» (русский перевод: Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы. — М.: Мир, 1981, с. 88-117), заложившая не только основы теории хаоса, но и изменившая представления о моделировании погодных явлений. В этой работе из системы уравнений Навье-Стокса впервые была получена нелинейная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка (динамическая система), описывающая движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:

    (1) image

    где s, r и b — некоторые положительные числа, параметры системы. Обычно исследования системы Лоренца проводят при s = 10, r = 28 и b = 8/3 (классические значения параметров).

    Вообще, теория хаоса — раздел математики, изучающий поведение детерминированных динамических систем, где решения имеют достаточно сложную структуру, поэтому кажется, что во времени они ведут себя случайным образом. Детерминированная система — система, уравнения движения, параметры и начальные условия которой известны и не являются случайными (Мун Ф. Хаотические колебания. — М.: Мир, 1990).

    Динамическая система (1) также возникает и в других процессах:

    1. Конвекция в тороидальной трубе (Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. — М: ЛИБРОКОМ, 2010, с. 454-455);
    2. Одномодовый лазер (Покровский Л.А. Решение системы уравнений Лоренца в асимптотическом пределе большого числа Релея. I. Система Лоренца в простейшей квантовой модели лазера и приложение к ней метода усреднения // Теоретическая и математическая физика, 1985, т. 62, №2, с. 272-290);
    3. Осциллятор с инерционным возбуждением (Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М: ЛИБРОКОМ, 2009, с. 288-295).

    Для любого решения системы Лоренца существует такой момент времени, когда соответствующая фазовая траектория навсегда погружается в сферу фиксированного радиуса. Поэтому существует предельное множество — аттрактор Лоренца, — к которому притягиваются все траектории динамической системы при image (Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 357-359). Таким образом, аттрактор определяет поведение решений системы (1) на больших отрезках времени.

    Из-за отсутствия точных методов решения нелинейных динамических систем общего вида для анализа структуры аттрактора часто применяют численные методы такие, как, например, сочетание явной схемы Эйлера с центрально-разностной схемой, Адамса, использование старших производных, а также Рунге-Кутта 4-ого порядка. В случае классических значений параметров системы наблюдается неустойчивость ее решений, поскольку положения равновесия системы имеют седловой тип. Это ограничивает применение указанных методов, поскольку растет общая ошибка с увеличением отрезка интегрирования. Таким образом, небольшие изменения в начальных условиях системы (1) (т.е. атмосферы) могут привести со временем к значительным последствиям.

    В 70-х гг. 20-ого века Гукенхеймер, Уильямс и Йорке на основе результатов численных экспериментов сформулировали гипотезу о структуре аттрактора Лоренца при классических значениях параметров системы, однако, соответствие этой гипотезы структуре притягивающего множества системы (1) строго не доказано. В 2000 году Стивен Смейл составил список из 18 наиболее значительных математических проблем 21-ого века. Проблема структуры аттрактора Лоренца была включена в этот перечень под номером 14. Считается, что она была решена Уориком Такером в 2002 году при помощи интервальной арифметики, но многие математики так и не приняли его доказательства хотя бы потому, что строго не показано наличие периодических решений в системе (1).

    В литературе, посвященной численному исследованию системы Лоренца при классических значениях ее параметров, очень часто делаются заключения о структуре аттрактора на основе данных, полученных из вычислительного эксперимента (например, что аттрактор содержит циклы). При этом нет достаточных обоснований о выборе шага, с какими типами вещественных чисел приходилось работать, и на каком отрезке времени производились расчеты.

    image
    Рис. 1. Дуга траектории, построенная на отрезке времени [0;6.827] для x(0)=13.41265629, y(0)=13.46430003, z(0)=33.46156416.

    По теореме Биркгофа (Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 402) аттрактор Лоренца содержит рекуррентные траектории, а каждое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону. Это означает, что найдутся сколь угодно большие значения моментов времени, что точка траектории системы оказывается в любой окрестности своего начального положения. Таким рекуррентным движением может быть и цикл, но делать вывод об этом, исходя из найденного возврата траектории в некоторую окрестность начальных условий, нельзя. Как показали расчеты (рис. 1), в системе Лоренца динамика поведения решений на аттракторе достаточно сложна — рекуррентные траектории, содержащиеся в нем, могут, например, описываться почти периодическими решениями или иметь более сложную структуру. Мной построен пример неавтономной системы с таким поведением решений.

    2. Моделирование динамики системы Лоренца


    image
    Рис. 2. Схема генератора колебаний, описывающих динамику системы Лоренца.

    Для генерации сигналов (хаотических колебаний), описывающих траектории на аттракторах динамических систем с определенными видами нелинейностей правых частей, на практике также применяют физическое моделирование с помощью электрических схем /или аналоговых вычислительных машин/ (Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. — М.: Физматлит, 2002).

    Рассмотрим электрическую схему генератора колебаний, представленную на рис. 2, как альтернативу численному моделированию. Поскольку система Лоренца имеет третий порядок, то для создания динамики изменения напряжений в цепи необходимы три интегратора на базе операционных усилителей, поскольку с дифференциаторами связаны проблемы шума. При этом для построения схемы и записи интегральных уравнений использовалась базовая схема включения современного аналогового умножителя MPY634, приведенная на рис. 3 в официальной документации производителя микросхемы. Имеем:

    image

    где image, image и image — мгновенные значения напряжений, соответствующие функциям x(t), y(t) и z(t) (пара из этих напряжений может быть подана на пластины осциллографа — полученная сложная фигура является проекцией траектории системы Лоренца на соответствующую плоскость), image и image — начальные напряжения на конденсаторах image, image и image соответственно, SF = 10 В — масштабный коэффициент умножителя.

    Первоначально производится зарядка конденсатора image от источника питания E; резистор image предусмотрен для перезарядки (состояние ключа K показано на рисунке в цепи генератора). Остальные конденсаторы имеют нулевой начальный заряд. По сути мы задаем начальные условия для системы (1). Схему начальной зарядки можно изменить (например, заряжать два конденсатора), за исключением ситуации, когда image. Это объясняется тем, что image, image и image — частное решение системы (1), где image — произвольная постоянная. Понятно, что в этом случае никаких колебаний не будет.

    Сделаем замену image и продифференцируем по времени обе части каждого интегрального уравнения. Получим

    (2) image

    Будем моделировать динамику при классических значениях параметров системы (1). Положим величины сопротивлений и емкостей равными

    image

    Тогда система (2) примет вид

    (3) image

    Делая в (3) замену

    image

    получим систему Лоренца. Поскольку

    image

    то из введенной замены следует, абсолютная величина напряжения не превысит величины 7.44 В, что предусматривается документацией умножителя MPY634. Значение E можно выбрать равным 1.5 В (ЭДС пальчиковой батарейки).

    Точность представленной модели определяется погрешностями реальных емкостей и сопротивлений, а также частотными характеристиками интеграторов и умножителей.

    P.S.


    Недавно мной был сделан доклад по данной теме на математической конференции. Посмотреть его можно здесь (заранее прошу прощения за качество видео). Там же можно загрузить и материалы доклада (лучше просматривать презентацию синхронно с докладом, поскольку из-за качества видео ее нечетко видно).
    Share post

    Similar posts

    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More
    Ads

    Comments 31

      +16
      Жёстко Вы…
        +1
        В самом деле хаотично. Жесткость (en: stiff), хаотичность, устойтивость, регулярность это разные характеристики для систем ОДУ. У меня во время учебы был забавний пример системы, которая перетекала из жесткой в хаотическую, численно решать ее просто печалька.
        +2
        Спасибо за статью, вызвала большой интерес к этой области! Но во время прочтения возникли следующие недопонимания:

        1)
        Вообще, теория хаоса — раздел математики, изучающий поведение детерминированных динамических систем, где решения имеют достаточно сложную структуру

        Не ясно лишь как отличить сложные решения от простых.

        2)
        Еще немного не понял про геометрическую структуру аттрактора. Правда ли, что все решения из всех точек попадают на одну и ту же сферу? Или для каждого решения будет своя сфера? И есть ли формула для выражения центра сферы через коэффициенты s, b и r?

        3)
        По теореме Биркгофа (Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 402) аттрактор Лоренца содержит рекуррентные траектории, а каждое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону. Это означает, что найдутся сколь угодно большие значения моментов времени, что точка на траектории системы оказывается в любой окрестности своего начального положения.

        Аналогичным свойством обладают гамильтоновы потоки, и у них это являлось следствием сохранения фазового объема. Но в нашем случае, в силу наличия аж аттрактора, в общем речи о сохранении фазового объема даже быть не может. А вот если рассматривать такую динамическую сис-му в ограничении на аттрактор, то будет ли она являться гамильтоновой? Скорее вопрос стоит так: почему нет?
          +4
          2. Там нет сферы. Совсем. Все точки лежат на очень хитрой поверхности, которая имеет фрактальную размерность что-то вроде 2.4 (точно не помню). Резкий изгиб у нее как раз в области перетекания траектории от одного предельного цикла к другому. Это как бы плоскость, которую слегка сложили, а края закрутили. Попробуйте посмотреть это дело в 3D. Эти типичный странный аттрактор.

          3. Система Лоренца явно сводит свою динамику к ограниченному подмножеству фазового пространства. Вообще, повторяемость состояний — фундаментальное свойство детерминированных динамических систем и типично для нелинейных и хаотических систем. Явление обнаружил еще Пуанкаре в конце 19-го века. Потом это назвали «теоремой рекуррентности». Почитать можно, например, тут: A. Katok, B. Hasselblatt, L. Mendoza. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, 1997
            0
            Для любого решения системы Лоренца существует такой момент времени, когда соответствующая фазовая траектория навсегда погружается в сферу фиксированного радиуса.

            Не о том погружении подумал. Не сразу понял, что имеется ввиду именно ограниченность. Спасибо.

              0
              Потом это назвали «теоремой рекуррентности»

              Как раз Биркгоф ввел понятие рекуррентной траектории.
              2. Там нет сферы. Совсем. Все точки лежат на очень хитрой поверхности, которая имеет фрактальную размерность что-то вроде 2.4 (точно не помню).

              Сфера — это компакт, В который навсегда погружаются все траектории системы Лоренца. Она ограничивает наш аттрактор. Указанная размерность аттрактора Лоренца получена в численном эксперименте, о чем серьезно говорить не приходится. В работе Геннадия Алексеевича Леонова в 2000 году впервые были получены формулы ляпуновской размерности аттракторов Хенона и Лоренца. Все, что было до этого, — это численные эксперименты. Он за нее, по-моему, даже премию получил (точно не могу сказать).
                0
                Резкий изгиб у нее как раз в области перетекания траектории от одного предельного цикла к другому.

                Существование циклов в системе Лоренца при классических значениях ее параметров до сих пор не доказано, и, как мне думается, в ближайшее время это не будет сделано. Здесь нужен специальный математический аппарат. На сегодняшний день удалось доказать лишь существование предельного цикла при больших значениях параметра r методом усреднения. Как говорил один знакомый математик, «если считается, что в системе Лоренца есть хотя бы один цикл, то укажите мне его начальную точку и период».
                0
                Не ясно лишь как отличить сложные решения от простых.

                Сложное решение — это когда поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами.
                Еще немного не понял про геометрическую структуру аттрактора. Правда ли, что все решения из всех точек попадают на одну и ту же сферу? Или для каждого решения будет своя сфера? И есть ли формула для выражения центра сферы через коэффициенты s, b и r?

                Не НА одну, а В одну и ту же (это доказывается построением функции Ляпунова). Формула есть — например, ее можно посмотреть в упомянутой книге Юрия Исааковича Неймарка и Полины Соломоновны Ланды «Стохастические и хаотические колебания» (с. 185). Да, Вы правы — там как раз положение центра и радиус сферы зависят от параметров системы.
                Аналогичным свойством обладают гамильтоновы потоки, и у них это являлось следствием сохранения фазового объема. Но в нашем случае, в силу наличия аж аттрактора, в общем речи о сохранении фазового объема даже быть не может. А вот если рассматривать такую динамическую сис-му в ограничении на аттрактор, то будет ли она являться гамильтоновой? Скорее вопрос стоит так: почему нет?

                Система Лоренца является диссипативной (объем аттрактора равен нулю, поскольку дивергенция векторного поля постоянна и отрицательна). Там фазовый объем меняется со временем (в отличие от гамильтоновых систем). Поэтому и нет.
                +8
                Простите, немного о личном:

                Старый серый ослик Иа-Иа стоял один-одинешенек в заросшем чертополохом уголке Леса, широко расставив передние ноги и свесив голову набок, и думал о Серьезных Вещах. Иногда он грустно думал: «Почему?», а иногда: «По какой причине?», а иногда он думал даже так: «Какой из этого следует вывод?».
                  +2
                  Вообще, теория хаоса — раздел математики, изучающий поведение детерминированных динамических систем, где решения имеют достаточно сложную структуру, поэтому кажется, что во времени они ведут себя случайным образом. Детерминированная система — система, уравнения движения, параметры и начальные условия которой известны и не являются случайными (Мун Ф. Хаотические колебания. — М.: Мир, 1990).


                  Строго говоря, этот раздел называется «Нелинейная динамика» и посвящен он колебаниям вообще и нелинейным в частности

                  Можно еще добавить про то, что фрактальная структура с дробным значением размерности появляется лишь в динамических системах с диссипацией энергии. В гамильтониановых системах без диссипации исследовать можно лишь, используя показатели ляпунова и энтропию Колмогорова

                  Что касается примеров систем, демонстрирующих хаотическое поведение, то их очень много и они не обязательно могут быть выражены в виде системы ОДУ. Это, например, классическая модель «Хищник — жертва», которая выражена при помощи дискретного отображения. Это отображение крайне просто моделируется и очень эффективно для изучения, его можно запрограммировать за 4 минут, скажем в матлабе и получить довольно интересные картинки. Это и движение ротора с контактом статора и различными дефектами (тема моего дисера). Это и системы с трением, а так же некоторые модели турбулентности пытаются строить с позиций теории хаоса.

                  По-поводу использования численных методов. У себя в дисере я использовал метод Адамса — Башфорта с адаптивным шагом и он прекрасно работает. Вы контролируете погрешность на каждом шаге и уменьшаете ее до требуемого предела.

                  Касаемо непредсказуемости системы при изменении начальных условий. Состояние хаотической системы, даже если вы получите аналитическое решение будет не предсказуемо (это фундаментальное свойство таких систем и оно не зависит от использованного метода расщетов). Оценить время, на котором система ведет себя предсказуемо можно, используя старший показатель Ляпунова — T ~ 1/L.

                  Любопытно было бы сравнить показатели Ляпунова Вашей системы, полученные из экспериментальных данных (Например методом Вольфа) и из модельных урованений
                    0
                    По-поводу использования численных методов. У себя в дисере я использовал метод Адамса — Башфорта с адаптивным шагом и он прекрасно работает. Вы контролируете погрешность на каждом шаге и уменьшаете ее до требуемого предела.

                    А есть оценки для общей ошибки интегрирования? Как работали с вещественной арифметикой? Когда строим приближение к неустойчивому решению, то из-за погрешности представления вещественного числа на больших интервалах времени набегает значительная ошибка.

                    Состояние хаотической системы, даже если вы получите аналитическое решение будет не предсказуемо

                    Автономная система дифференциальных уравнений является динамической системой, а по определению динамической системы мы можем двигать точку по траектории в обратном направлении по времени. Поэтому здесь нет непредсказуемостей. Попробуйте запустить Ваш численный метод назад по времени — он сразу улетит в бесконечность. Мне, когда программировал свою схему, удавалось настраивать метод с проходом назад, правда при этом вещественные числа нужно брать с мантиссой не меньше 180 бит, и удалось отловить возврат в окрестность начальной точки (т.е. точки, от которой ушли вперед по времени).
                      +1
                      Автономная система дифференциальных уравнений является динамической системой, а по определению динамической системы мы можем двигать точку по траектории в обратном направлении по времени. Поэтому здесь нет непредсказуемостей.


                      Тут следует уточнить. Когда я писал «будет непредсказуема», я имел ввиду, «неустойчива» и «запутана». То есть при малейших изменениях начальных условий вы получите значительное расхождение в процессе эволюции системы. И от метода вычисления это не зависит — это фундаментальное свойство системы

                      А есть оценки для общей ошибки интегрирования? Как работали с вещественной арифметикой? Когда строим приближение к неустойчивому решению, то из-за погрешности представления вещественного числа на больших интервалах времени набегает значительная ошибка.


                      Оценка общей ошибки интегрирования крайне сложна и почти невозможна численно. Про это можно прочитать у Самарского, если не изменяет память у него даже есть выкладки по оценке общей вычислительной погрешности. Но все-так мы можем ее минимизировать, используя контроль шага интегрирования. Да и в хаотических процессах, как я уже писал, можно сделать оценку времени, на котором траектория более-менее предсказуема. (Хотя, да для этого нам надо показатели Ляпунова считать численно, но тем не менее для оценки этого достаточно) Про это, кстати у Малинецкого Г.Г. хорошо написано.

                      С вещественной арифметикой я работал очень просто — для начала обезразмеривал параметры для минимизации ошибки и использовал long double (80 бит) в вычислениях

                        0
                        То есть при малейших изменениях начальных условий вы получите значительное расхождение в процессе эволюции системы. И от метода вычисления это не зависит — это фундаментальное свойство системы

                        Конечно, не зависит, полностью согласен, но значительное накопление ошибок численных методов — это прямое следствие этого свойства.
                          0
                          использовал long double (80 бит) в вычислениях

                          А я использовал класс mpreal C++-интерфейса библиотеки MPFR для работы с вещественными числами произвольной точности. Рекомендую! Прога без проблем портируется на новый тип, поскольку в этом классе перегружены арифметические операции, и там есть математические функции.

                          Подготовлена к публикации большая статья, как выйдет, надо будет здесь написать топик (приложение к статье), где поподробнее рассмотреть, как проводились вычислительные эксперименты, уделив внимание расчетной программе.
                      0
                      Не ясно лишь как отличить сложные решения от простых.


                      Надо рассчитать спектр показателей Ляпунова. И если один из них больше 0, то можно говорить о неустойчивой системе с хаотическим поведением
                        +1
                        Да, правильно. Только спектр для линеаризованной системы, поскольку для исходной системы максимальный показатель Ляпунова равен нулю из-за ограниченности всех решений. Положительный показатель Ляпунова делает решения неустойчивыми, но чтобы они не разбежались, нелинейности ограничивают их.
                        0
                        Да, правильно. Только спектр для линеаризованной системы, поскольку для исходной системы максимальный показатель Ляпунова равен нулю из-за ограниченности всех решений. Положительный показатель Ляпунова делает решения неустойчивыми, но чтобы они не разбежались, нелинейности ограничивают их


                        Почему для линеаризованной? Для приведенной Вами системы Лоренца эти показатели вполне рассчитываются. Это же инвариант системы
                        Другое дело, что для его расчета, например, алгоритмом Беннетдина вы вычисляете показатель Ляпунова в окрестности какой-либо точки, и делаете это много раз для разных точек для получения статистически верного результата. Конечно, вы по определению не сможете посчитать показатель ляпунова для нелинейной системы. Но их наличие следует из теоремы Оселедца, как я всегда думал
                          0
                          Почему для линеаризованной?

                          Если у исходной системы хотя бы один показатель Ляпунова был бы положительным, то ее решения «улетали» бы в бесконечность. По сути, положительный показатель Ляпунова — это наличие положительного коэффициента перед t в степени экспоненты.
                            0
                            Если для линеаризованной считать, то да, улетят. Но у нас система нелинейная и для нее существует весь спектр показателей. (А иначе как бы вычислялись эти показатели для временных рядов?) Просто посчитать его по _определению_ невозможно в силу ограниченности решения. Но если вы будет вычислять показатели в окрестностях определенных точек, вы получите некую статистическую оценку этих показателей. Про это так же у малинецкого хорошо написано
                          +3
                          Хм. Почему бы не выкладывать (на хабр или в другой общенаучный проект) в общий доступ все отчеты о наших дипломных работах. Сделать доступный аналог государственной инициативы об открытии диссертаций
                            +2
                            Не понял, а какое отношение Ваш комментарий имеет к моему топику? У меня тоже пожелание: хорошо бы, чтобы на Харбахабре появилась поддержка LaTeX — есть статья по периодическим решениям дифференциальных уравнений, там куча формул. Я «пучканусь» переводить их в картинки. :)
                              0
                              «Недавно мной был сделан доклад по данной теме на математической конференции.»
                              Прямое отношение, если это ваш доклад конечно.
                                0
                                Да, только это недипломная работа (кстати, я сам студентов учу). В докладе были представлены результаты исследований последних лет по системе Лоренца.
                            –3
                            только мне одному кажется что статья пропитана желанием показать какой автор крутой и какие все остальные ламеры?
                            хотя по сути, можно написать не выпендриваясь, чтобы было понятно.
                              0
                              Таким желанием статья не пропитана. Топик был написан в терминах, применяемых в качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамике. Посмотрите выше написанные комментарии, зачем Вы так пишите, и в мыслях у меня такого не было.
                              0
                              Рекомендую посмотреть здесь интересную статью о генераторе Чуа.
                                +1
                                Моя статья, упоминаемая в топике, свободно доступна здесь (на русском языке).
                                  0
                                  Появилась буквально вчера.
                                  0
                                  Уже недоступна :(
                                    0
                                    И опять появилась :)
                                      0
                                      Моя новая статья, посвященная численному и физическому моделированию динамики системы Лоренца. Там подробно описана модификация численного метода, позволяющая гибко управлять ошибкой интегрирования и уменьшить объем вычислений.

                                      Only users with full accounts can post comments. Log in, please.