Pull to refresh

Comments 7

«такие решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы». А расскажите, пожалуйста, что такое оператор сдвига в этом контексте и почему его неподвижные точки определяют периодические решения. И нельзя ли тогда, собственно, вывести этот оператор из системы (1), выбрать произвольное начальное C, найти решение x(t) для этого С и применять этот оператор, пока мы не сойдемся к его неподвижной точке (т.е. периодической траектории)?
1. Оператор сдвига. Строгое определение можете посмотреть, например, в книге Марка Александровича Красносельского «Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений» (1966). Оно похоже на определение фазового потока. Отличие в том, что оператор сдвига зависит ещё и от выбора начального момента времени t_0 (хотя в определении последнего лучше отсчитывать время не от нуля, а от t_0). Чтобы представить, что такое фазовый поток или оператор сдвига, представьте частичку, которую перемещают силы из одной точки пространства в другую за время t. В теории динамических систем ещё говорят, что фазовый поток, действуя на начальную точку x_0, перемещает ее в другую току пространства. Кривая, по которой точка будет двигаться, называют траекторией. Если время действия равно нулю, то фазовый поток переходит в оператор тождественного преобразования — после его действия точка остается на месте. Еще могу посоветовать книгу Владимира Игоревича Арнольда по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
2. Неподвижная точка оператора. Общее определение — это такая точка, которую оператор переводит в нее же. Примерами неподвижных точек оператора сдвига положения равновесия системы (1). Напомню, что положения равновесия — это такие точки фазового пространства, в которых правая часть системы (1) равна нулю для любого t. Как связаны с неподвижные точки оператора сдвига с периодическими решениями системы (1), посмотрите у Красносельского.
3. Очень часто решение системы (1) нельзя решить в квадратурах. Поэтому применяют приближенные методы. В этом топике как раз это и делается для построения периодических решений.
Очень рад, что вопреки всему, есть люди занимающиеся фундаментальной наукой. Вопрос по статье: увеличив размерность системы на один, мы можем перейти к автономному ОДУ, для которого теория переодических решений достаточно неплохо разработана, что здесь принципиально нового? И еще, переодические решения у системы (1) могут возникнуть, если подставить в уравнение h(t) = 0, как эти периоды влияют на отыскание общего периода?
Если порядок системы >=3, то здесь как раз возникают проблемы — предельным решением у неавтономной системы с периодической правой частью может быть периодическое решение другого периода или, вообще, почти периодическое решение (или решение с еще более сложной структурой). Для плоского случая теория как раз хорошо разработана — там есть, например, теорема Массера (аналог теоремы Пуанкаре-Бендиксона для автономного случая). Я занимаюсь не существованием периодических решений системы (1), а тем, когда мы знаем точно, что периодическое решение есть (с периодом = периоду правой части; как раз это можно установить из теорем существования), и нужно его построить. Это можно делать по-разному. Например, в системах с конвергенцией оно является аттрактором, поэтому, применяя, например, численный метод Эйлера, можно размотать траекторию до предельного цикла и получить приближенную начальную точку периодической траектории. Однако, когда перед производной в обыкновенном дифференциальном уравнении стоит достаточно малый коэффициент, вычислительный процесс затягивается. Да не даст при этом разложение периодического решения на гармоники.
«Папа, ты сейчас с кем разговаривал?»
Хоть бы какой прикладной пример показали, а то для непосвящённых выглядит так: прибежали, нарисовали кучу формул, убежали.
Советую посмотреть применение аттракторов динамических систем (например, маятник с трением о воздух при наличии внешней периодической силы). Здесь аттрактором является периодическое решение, к которому со временем притягиваются остальные решения (можно сказать по-другому — наматываются на предельный цикл). Таким образом, такие решения определяют поведение решений системы, поэтому и важно их искать.
… Траектория системы наматывается на предельный цикл.
Sign up to leave a comment.

Articles