Pull to refresh

Загадка элементарной арифметики

Mathematics *
Sandbox
Математика — царица всех наук,
арифметика — царица математики.
К.Ф.Гаусс

Как связаны между собой четыре арифметических действия? Вы будете смеяться, но отсутствие всестороннего ответа на этот вопрос существенно замедляет развитие физики, химии и связанных с ними наук. Ученые, к сожалению, могут только догадываться об этом торможении. Если бы этот вопрос был своевременно исследован, у нас не возникло бы проблем с развитием идей Д.И. Менделеева, а по результатам работы адронного коллайдера, вероятнее всего, создавались бы компьютерные модели элементарных частиц и ядер атомов.

В статье английской Википедии, посвященной арифметике, кратко характеризуются арифметические действия, приводятся их свойства, но об их взаимосвязи информации практически нет. В русскоязычном варианте указывается, что у всех действий арифметики есть обратные: у сложения — вычитание, у умножения — деление, и в дополнение приводятся только идеи Непера, которые будут рассмотрены далее. В англоязычном описании арифметики и для такой скудной информации не нашлось места, при этом арифметика снисходительно характеризуется как старейшая и наиболее элементарная часть математики. Даже в литературе, посвященной истории арифметики, трудно найти информацию об исследованиях взаимосвязи арифметических действий. Сама история арифметики в основном посвящена теории чисел, которую иногда называют высшей арифметикой.

Поиски взаимоотношений арифметических действий шли в эпоху Возрождения [1]. В 1515 году в первом немецком учебнике арифметики, составленным Якобом Кёбелем, подчеркивается равноценность всех четырех действий. В 1518 г. Г. Грамматеус в сочинении «Новая легкая и точная книга о счете, о решении разных вопросов по тройному правилу и проч.» отмечает взаимозависимость сложения с умножением, вычитания с делением. В «Книге числа» Э. Мизрахи, вышедшей в Стамбуле в 1533 году, умножение рассматривается как частный случай сложения и не включается в число арифметических действий. В книге «Логистическое искусство», изданной в 1839 году по заметкам Непера 70-х годов XVI века, арифметические действия различаются по ступеням: умножение и деление характеризуются как действия более высшего порядка относительно сложения и вычитания.

Указанные идеи были началом исследования проблемы взаимосвязи арифметических действий. Но, вероятно, из-за недостаточного внимания к элементарной арифметике, решение не было найдено. Продолжим же поиски давно ушедшей эпохи и подсчитаем число солдат в колонне. Решение задачи сложением заключается в последовательном увеличении на единицу числа учтенных воинов до получения результирующей суммы. Подсчет можно ускорить, сосчитав число солдат в шеренге и умножив его на число шеренг в колонне. Теперь давайте разделим колонну на половины. При помощи вычитания можно последовательно отделять по одному солдату в каждую из двух новых колонн. Для ускорения счета можно разделить число шеренг пополам и пересчитать отделяемые шеренги.

Решение этих двух задач позволяет предположить, что умножение и деление при определенных условиях (в нашем случае это организация объектов счета в матрицу) являются обобщением соответственно сложения и вычитания. Обычно обобщения (назовем их обобщениями A) связываются с расширением какой-либо математической операции на ранее не используемую область. Следует ли говорить об обобщениях, если единственным результатом их использования является убыстрение вычислений (обобщения B)? Давайте скажем да и проанализируем результат.

Обобщения B проще обнаружить и их известно достаточно много. Предполагается, что изучение их свойств позволит предсказывать существование и свойства связанных с ними еще неизвестных обобщений A. Здесь можно использовать аналогию с геохимическими поисками месторождений. Рудные тела небольших размеров (тела A) включены в достаточно обширные тела повышенных содержаний химических элементов относительно фона. Первоначально задача нахождения тела A заменяется более легкой задачей нахождения тела B, в пределах которого и проводятся дальнейшие поиски.

В качестве обобщения умножения известен факториал натурального числа n, который интерпретируется как количество перестановок множества из n элементов. Факториал определен в комбинаторике, но широко используется в математике. Существует также обобщение факториала для положительных вещественных чисел – гамма-функция, известная в математической статистике. Гамма-функция определена как расширения факториала для всех комплексных чисел, исключая отрицательные целые числа. Обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является также пи-функция. Перечень можно продолжить двойным факториалом, суперфакториалом и др.

А как же деление? На его основе обобщения неизвестны, но один случай просто нельзя оставить без внимания. Это деление одного числа на другое, когда они имеют одинаковую размерность или безразмерны. Случай разной размерности хорошо интерпретируются. Например, если путь в 6 км преодолен за 1 час, то, разделив путь на время, можно утверждать, что скорость движения равна 6 км/ч. Перейдем далее к пропорциональным величинам.

Принято считать, что две взаимозависимые величины являются пропорциональными, если отношение их значений не изменяется. Результат деления называется коэффициентом пропорциональности. Отношение содержаний золота и серебра в золотосеребряных месторождениях может служить примером коэффициента пропорциональности для величин одной размерности. Это важная геологическая информация. Руды мексиканского месторождения Пачука на 1 т золота содержат примерно 200 т серебра, то есть соотношение золота к серебру на этом месторождении составляет 1:200. Почему содержание золота необходимо делить на содержание серебра, а не наоборот? Потому что так принято и устраивает многих, но не автора статьи. Причина несогласия с принятым правилом деления кроется в необходимости как дальнейшего перехода к изучению пропорциональности безразмерных величин, так и увеличения числа величин, для которых вычисляется коэффициент пропорциональности.

В этих случаях результат деления чисел не понравится уже всем без исключения. Коэффициент пропорциональности атомной массы водорода и гелия можно вычислить по-разному: в виде дробей 1.008/4.0026 и 4.0026/1.008. Результат по степени неопределенности превосходит старый анекдот об умножении, в котором полковник утверждает, что дважды два примерно равно пяти и точнее для данных расчетов не надо. Фантазируйте с коэффициентами нашего примера! Воображения явно не хватит для вычисления одного коэффициента пропорциональности для трех и более чисел, например, атомных масс водорода, гелия и лития.

Более того, представляется необоснованным требование постоянства значения для коэффициента пропорциональности. Взаимозависимость величин тоже является отдельной проблемой. Распространение вычислений коэффициентов пропорциональности на множества из одного и более чисел было получено при помощи информационного коэффициента пропорциональности [2],[3],[4]. Его роднит с обычным коэффициентом пропорциональности важнейшее свойство сохранять свое значение при умножении исходных чисел на одно и то же число. Для вычислений используются уравнения теории информации и квадратная матрица 3×3, подобная полю для игры в крестики-нолики.

Если три исходных числа a, b и c взять по три раза и расположить в такой матрице так, чтобы все они присутствовали в каждой строке и столбце, то можно избавиться от необходимости «назначать» числители и знаменатели для расчетов. Например, три строки могут быть представлены как a, b, c; b, c, a и c, a, b. При перемене мест любых двух триад одних и тех же чисел информационный коэффициент пропорциональности не изменится. Вычисления коэффицента можно выполнить при помощи калькулятора пропорциональности, доступного для свободного использования в Интернете.

По аналогии для четырех чисел необходима матрица 4×4, для пяти – 5×5 и т.д. При этом возникает проблема: при использовании разных матриц невозможно совместно обрабатывать результаты расчетов. Универсальные расчеты можно делать с матрицей 3×3, вычисляя большое множество информационных коэффициентов пропорциональности. Числа в матрице распологаются случайно, а в качестве девятого элемента используется сумма восьми других. Исходные числа вместо одного коэффициента характеризуются распределением вероятностей множества информационных коэффициентов пропорциональности. Это привычно для математической статистики, в которой рассматриваются подобные распределения.

Две статьи, посвященные практическим приложениям информационных коэффициентов пропорциональности, вышли на русском языке в 2008 году в научном журнале Сибирского федерального университета и с момента выхода доступны в интернете для свободного ознакомления. Научные статьи на английском языке можно найти на сайте Корнельского университета (www.arxiv.org).

Насколько важны коэффициенты пропорциональности? Без них наше общение было бы невозможным, так как гравитационная постоянная Ньютона представляет собой коэффициент пропорциональности, обеспечивающий наше присутствие на Земле. Коэффициенты пропорциональности можно рассматривать и как важную характеристику химических соединений. Число химических элементов, встречающихся в природе, предельно возможные числа минералов, неорганических и органических химических соединений, вероятно, определяются соответственно как сочетания по 1, 2, 3 и 4 из 95 природных химических элементов. Предложена гипотеза, что распределения информационных коэффициентов пропорциональности для атомных масс химических элементов минералов и других химических соединений соответствуют распределениям указанных множеств для сочетаний по 2, 3 и 4 атомных масс 95 природных химических элементов [2],[3].

Такое странное соотношение химических элементов и химических соединений иначе невозможно объяснить. Минералы, например, содержат в своем составе до 12 химических элементов без учета примесей. Почему можно говорить об их количестве как о сочетании по 2 из 95? Объяснение такой закономерности связано с тем, что распределение вероятностей информационных коэффициентов пропорциональности атомных масс более двух химических элементов совпадают с таковым распределением для каких-то двух химических элементов.

Ответ на вопрос о важности использования информационных коэффициентов пропорциональности дает также представление структуры ядра атома любого химического элемента в виде куба, состоящего из 27 элементарных кубов [5], в сущности – кубика Рубика. В таком кубе содержатся целые числа от 1 до 8, в сумме составляющие 9. Эта структура подводит нас к объяснению числа изотопов каждого химического элемента и разной встречаемости изотопов в природе. Она также объясняет причины совместного нахождения химических элементов в природе, появления самородков одних химических элементов, например, золота и практического отсутствия других, например, олова. Программа, предназначенная для таких расчетов, также является доступной для любого исследователя.

Потенциал прикладного использования информационных коэффициентов пропорциональности громаден. С их помощью получены данные о возможном существовании в кварцевой жиле Васильевского месторождения золота Енисейского кряжа двойной спиральной структуры — возможного аналога ДНК [2]. Открытая программа Agemarker может быть использована для классификации горных пород и руд по результатам их химического анализа с одновременным определением их относительного возраста [6] (важнейшая задача в геологии).

При помощи этой программы минералы могут быть также объединены в пакеты периодической системы химических соединений [7]. Такое объединение минералов является ключом к аналогичной периодической систематизации всех неорганических и органических соединений в пакеты численностью по 95. Классификационный показатель вычисляется только на основе атомных масс химических элементов, а атомные массы в свое время позволили создать и Периодическую систему химических элементов.

Я заканчиваю статью утверждением, что в математике необходимы как практические, так и теоретические исследования информационных коэффициентов пропорциональности и разработка теории математических обобщений. Стартовой площадкой указанной теории может стать арифметика с проблемой обобщения действий сложения и вычитания. В математике известны обобщенные функции — возможно, пришло время определять обобщённые и обобщающие математические действия. Если обойти молчанием эти вопросы, то загадка арифметических действий может обернуться нарастающими проблемами, так как предлагаемые расчеты показателей пропорциональности, вероятно, незаменимы в медицине и экологии, как, впрочем, и в других естественных науках.

Литература


  1. Депман И.Я. История арифметики. 2-е изд., испр. — М.: Просвещение, 1965. 416с.
  2. Лабушев, М.М. Борзых О.С. Использование информационных коэффициентов пропорциональности для анализа распределения золота в рудном теле Васильевского месторождения. Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 1 (2008) 40-46
  3. Лабушев, М.М. О предельно возможном числе минералов, неорганических и органических химических соединений. Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 3 (2008) 221–233
  4. Labushev, M. M. (2011). The Periodic Table as a Part of the Periodic Table of Chemical Compounds, 18. Retrieved from arxiv.org/abs/1103.3972
  5. Labushev, M. M. (2012). Computer Simulation of Atoms Nuclei Structure Using Information Coefficients of Proportionality, 14. Retrieved from arxiv.org/abs/1207.4671
  6. Labushev, M. M., Khokhlov A.N. (2012). Relative Dating and Classification of Minerals and Rocks Based on Statistical Calculations Related to Their Potential Energy Index, 19. Retrieved from arxiv.org/abs/1212.2628
  7. Labushev, M. M. (2013). Three Packets of Minerals of the Periodic Table of Chemical Elements and Chemical Compounds, 15. Retrieved from arxiv.org/abs/1304.1280
Tags:
Hubs:
Total votes 58: ↑21 and ↓37 -16
Views 21K
Comments Comments 29