Магия тензорной алгебры: Часть 3 — Криволинейные координаты

Жду практики, уж очень интересно, какие вы прикладные задачи рассмотрите!

Где же ссылки на предыдущие части? Придется лезть искать.

Замечательно!

Ну и ладно, эта производная тоже будет вектором

Вот как раз и не будет (в тензорном смысле).

Вообще, вы тут несколько умалчиваете такой тонкий момент, как дифференцирование вектора (по координате) — ведь вычитать придется два вектора в разных точках, что не имеет математического обоснования, пока не заданы правила параллельного переноса (т.е. связности).
Поскольку рассказ вы начинаете с декартовых координат и понятия радиус-вектора, это некритично, и все в итоге получится правильно (в частности, связности окажутся симметричными). Но тогда получается, что вы не рассматриваете пространства с неустранимой кривизной или, тем более, кручением. Ведь в кривом пространстве нет, вообще говоря, радиус-вектора. Можно провести направленный отрезок геодезической от начала до интересующей точки, но это не будет вектор.

Но тогда получается, что вы не рассматриваете пространства с неустранимой кривизной или, тем более, кручением.

Долго думал, прежде чем ответить на Ваш комментарий. Вы совершенно правы в том, что круг рассмотренных в статье вопросов не охватывает многих вещей и носит частный характер. Но для наглядности, довольно часто, приходится отталкиваться от привычных понятий, в ущерб общности рассуждений. Хотя я и не сторонник такого подхода.

Тут надо сделать оговорку — статья носит популярный а не академический характер. Её цель — дать начальное представление, которое, заинтересовав читателя даст ему первоначальный толчок к самостоятельному, более углубленному изучению рассматриваемого и сопутствующего материала. Ведь нельзя, согласитесь, охватить столь широкий круг вопросов в одной статье или в двух.

Представленный здесь материал выработан из самостоятельных копаний автора с привлечением специальной литературы и на академичность изложения не претендует

В этой строчке что-то не так:

Выписав соотношения (9) и (10) мы подразумевали, что матрицы g_{ij} и g_{ij} взаимно обратимы.

Относительно симметричности компонент символа Кристоффеля 2-го порядка я думаю тут стоило бы упомянуть такое условие, как отсутствие кручения связности, потому как кручение и есть разность между символами с переставленными индексами и при отсутствии кручения оно попросту оказывается равным нулю. И у вас там немного сместились индексы после 28-го.