Международная математическая олимпиада школьников 2015. Могу ли я? Хочу ли я? Решу ли я?

Пишу статью для того самого себя, когда был школьником.



15 июля в Чианг-Мае (Таиланд) завершилась 56-я Международная математическая олимпиада. Первое место заняли США, второе — Китай, третье — Южная Корея, четвертое — Северная Корея, пятое — Вьетнам, шестое — Австралия, седьмое — Иран.

На Международной математической олимпиаде каждую страну представляют не более шести школьников. Они должны решить шесть задач, за каждую из которых можно получить максимум семь баллов. Медали получает примерно половина участников, между ними золотые, серебряные и бронзовые награды распределяются в соотношении 1:2:3. Последний раз первое место на этой олимпиаде российские школьники занимали в 2007 году.

Есть мнение, что задача 6 «была самая сложная задача за всю историю Международной математической олимпиады, которая впервые была проведена в 1959 году».

Кто-нибудь сможет решить хоть что-нибудь?

Презентационный ролик:



День прибытия:



Церемония открытия:



Лекции:



Россия


image

image



На Олимпиаде 2015 года Россию представляли Иван Бочков — набрал 25 баллов за задачи, Иван Фролов — 22, Никита Гладков — 25, Александр Кузнецов — 21, Руслан Салимов — 23, Александр Зимин — 25.

Индивидуальные результаты




Zhuo Qun (Alex) Song (Канада) — 42 балла за задачи, Chenjie Yu (КНР) — 41, Junghun Ju (Республика Корея) — 40, Alexander Gunning (Австралия) — 36, Jaehyung Kim (Республика Корея) — 35, Allen Liu (США) — 35, David Stoner (США) — 35

Задачи


Авторство задач:

Problem 1 proposed by Netherlands
Problem 2 proposed by Serbia
Problem 3 proposed by Ukraine
Problem 4 proposed by Silouanos Brazitikos and Vangelis Psychas, Greece
Problem 5 proposed by Dorlir Ahmeti, Albania
Problem 6 proposed by Ross Atkins and Ivan Guo, Australia

Оригинал задач на английском тут (PDF).

День 1






Задача 1. Конечное множество S точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек A и B из множества S найдется точка C из множества S такая, что AC = BC. Множество S будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек A, B и C из множества S не существует точки P из множества S такой, что PA = PB = PC.

(а) Докажите, что для любого целого n ≥ 3 существует сбалансированное множество, состоящее из n точек.

(б) Найдите все целые n ≥ 3, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек.

Задача 2. Найдите все тройки (a; b; c) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел
ab — c, bc — a, ca — b является степенью двойки.

(Степенью двойки называется число вида 2n, где n — целое неотрицательное число.)

Задача 3. Пусть ABC — остроугольный треугольник, в котором AB > AC. Пусть Г — окружность, описанная около него, H — его ортоцентр, а F — основание высоты, опущенной из вершины A. Пусть M — середина стороны BC. Пусть Q — точка на окружности Г такая, что ∠HQA = 90°, а K точка на окружности Г такая, что ∠HKQ = 90°. Пусть точки A, B, C, K и Q различны и лежат на окружности Г в указанном порядке.

Докажите, что окружности, описанные около треугольников KQH и FKM, касаются друг друга.

Время на работу: 4 часа 30 минут
Каждая задача оценивается в 7 баллов


День 2



(Боксеры в тему)



Задача 4. Пусть Ω — окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O — ее центр. Окружность Г с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B, D, E и C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G — точки пересечения окружностей G и Ω, при этом точки A, F, B, C и G лежат на Ω в указанном порядке. Пусть K — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF, и отрезка AB. Пусть L — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA. Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X.

Докажите, что точка X лежит на прямой AO.

Задача 5. Пусть ℝ — множество всех действительных чисел. Найдите все функции f: ℝ → ℝ,
удовлетворяющие равенству

f(x + f(x + y))+ f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)

для всех действительных чисел x и y.

Задача 6. Последовательность a1, a2,... целых чисел удовлетворяет следующим условиям:
(i) 1 ≤ aj ≤ 2015 для всех j ≥ 1;
(ii) k + ak ≠ L+ aL для всех 1≤ k < L.

Докажите, что существуют два положительных целых числа b и N таких, что:



Для всех целых чисел m и n, удовлетворяющих условию n > m ≥ N.

Время на работу: 4 часа 30 минут:
Каждая задача оценивается в 7 баллов


Оригинал задач на русском в виде скриншотов (чтобы сверить все спецсимволы)
День 1:



День 2:




П.С. Всем школьникам-математикам-олимпиадникам привет.

Only registered users can participate in poll. Log in, please.

Сколько времени вы потратили на эти задачки

Share post

Comments 30

    –13
    Легче всего решается вторая:
    Заголовок спойлера
    >>> for a in range(1,1000):
    … for b in range(1,1000):
    … for c in range(1,1000):
    … abc = a*b-c
    … bca = b*c-a
    … cab = c*a-b
    … if bin(abc).count(«1»)==1 and bin(bca).count(«1»)==1 and bin(cab).count(«1»)==1:
    … print a, b, c

    1 1 2
    1 1 3
    1 1 5
    1 1 9
    1 1 17
    1 1 33
    1 1 65
    1 1 129
    1 1 257
    1 1 513
    1 2 1
    1 3 1
    1 3 11
    1 5 1
    1 5 13
    1 9 1
    1 11 3
    1 13 5
    1 17 1
    1 19 27
    1 25 41
    1 27 19
    1 33 1
    1 41 25
    1 65 1
    1 113 145
    1 129 1
    1 145 113
    1 257 1
    1 481 545
    1 513 1
    1 545 481
    2 1 1
    2 2 2
    2 2 3
    2 2 5
    2 3 2
    2 5 2
    2 6 11
    2 11 6


      0
      это ж математическая олимпиада, а не пргограммистская, вряд ли у них что-то сложнее калькулятора была )
        0
        спасибо за «слив» «спойлера» :) а то решил 1а и начал думать как вторая задача может быть проще…
        тут указание на подсказку для 1а
        условие пункта «б» явно намекает на вид решений пункта а :)
        думаю, что и б решил, но как-то слишком «просто»
          –2
          вообще, это был тролололинг в связи с публикацией на хабре.
          но, похоже, слишком толстый…
          0
          А -1 это степень двойки? А -2?
            –2
            а вообще использование bin+count по полученной строке не смутило, не?

            код писался специально под newbie, через stackoverflow-driven.
            0
            Зачастую в таких задачах подразумевается, что разные числа обознаются разными буквами, поэтому решив данную задачу, вы поймете, что тройка чисел, удовлетворяющая условию второй задачи, всего одна.
              +4
              Так он вообще не то понаходил. У него -1 вдруг стал степенью двойки. Программер-индус. Не иначе.
                0
                За три минуты программистское решение «влоб»:
                Заголовок спойлера
                #!/usr/bin/perl -w
                
                findSol();
                
                sub findSol
                {
                  my $m = 1000;
                  for (my $a = 1; $a < $m; $a++)
                  {
                    for (my $b = $a + 1; $b < $m; $b++)
                    {
                      for (my $c = $b + 1; $c < $m; $c++)
                      {
                        print "$a $b $c\n" if(IsPower2($a*$b - $c) && IsPower2($b*$c - $a) && IsPower2($c*$a - $b));
                      }
                    }
                  }
                }
                sub IsPower2
                {
                  my ($t) = @_;
                  return 0 if ($t <= 1);
                  return 1 if ($t == 2);
                  return (0 == ($t & ($t - 1)));
                }
                

                Ну а математическое, покажет почему тройка единственная.
                  0
                  не, а правда, а 2,6,11 чем не понравилась решению?
                    0
                    К сожалению, в невнимательности. Почему-то понял «неотрицательное число», как положительное. С другой стороны, из-за этого оценка сверху увеличивается. Ну и решать, немного, проще, если n > 0.
                    0
                    У вас IsPower2 возвращает ложь на единицу, но в задаче единица степенью двойки является (2^n, где n — не отрицательное)
                    Поэтому удивляет минус datacompboy, 2 6 11 подходит.
                  +2
                  Есть такие тройки, как 3,5,7 и 2,6,11. Ну, и 2,2,2, конечно.
                  Шестая задача мне сложной не показалась. А со второй пока справиться никак не могу. В общем, пока за 3 часа — 2 задачи (1 и 6).
                    0
                    да, именно поэтому их три:
                    2,2,2
                    2,6,11
                    3,5,7
                  +3
                  Надеюсь, у нас когда-нибудь таки появится Хаб, посвящённый образованию, ну хотя бы на GT!
                    +3
                    5 июля в Чианг-Мае (Таиланд) завершилась 56-я Международная математическая олимпиада. Первое место заняли США, второе — Китай, третье — Южная Корея, четвертое — Северная Корея, пятое — Вьетнам, шестое — Австралия, седьмое — Иран.

                    А место России?
                      +1
                      восьмое
                        +2
                        А не 24-е?
                          +2
                          Забавно, безобидный вроде вопрос, а заминусили:
                          Команда России заняла 8 место
                          В индивидуальном зачете 25 (я посчитал с нуля почему-то, поэтому получилось 24 :) ) место занял представитель России Sergei Norine
                        –2
                        Впервые за пол века ни одной золотой медали…
                          –2
                          Российская Федерация столько не существует, ей всего 24 года
                        0
                        Россия, кстати, довольно неплохо выступает. Не СССР, конечно, но в целом нормально.
                          0
                          Что-то я не понял. CIS в 92-м году это что? Те, кто хотел бы выступать за СССР и при этом не попал в команду России?
                          Саму олимпиаду я помню, в Измайлово проходила.
                            0
                            И почему «не СССР»? В СССР получили примерно 37% от возможных золотых медалей (считать трудно из-за переменного количества участников). В России — 64.5% — почти вдвое больше :)
                            –4
                            Alexander Gunning (Австралия) — 36

                            Да-да, Австралы — мы такие.
                            Aussie, Aussie, Aussie, Oi Oi Oi!
                              +3
                              А никого не удивило, что Северная Корея, которую показывают такой отсталой и недоразвитой, при этом заняла !4 место?
                                +1
                                а меня удивило, что в топ 7 лучших математиков — 5 азиатов и 2 европеоида
                                  +1
                                  Почему это удивило?
                                    0
                                    Удивительно, что 2 европеоида. Тенденция такая.
                                0
                                Обсуждения задач на английском: www.artofproblemsolving.com/community/c105780_2015_imo

                                Only users with full accounts can post comments. Log in, please.