Comments 86
Хорошее чтиво. На мой взгляд надо уменьшить число восклицательных знаков и поменять красное с зелёным, начиная с первого рисунка.
.
Долго вникал в LQR но нифига не понял, чем он лучше PID контроллера, если критерий оптимальности все равно с потолка берется. Что такое minimum cost? А если мы от розетки питаемся и электричества не жалко, а нужен наилучший результат следования цели, то этот метод бесполезен?
Ещё интересно, применим ли он если полного знания о динамике системы нет? Например, на сигвей стал малыш 15кг или дядя в 120кг. Динамика же меняется в разы.
Ещё интересно, применим ли он если полного знания о динамике системы нет? Например, на сигвей стал малыш 15кг или дядя в 120кг. Динамика же меняется в разы.
Я не специалист, подождем других комментариев, но насколько я понимаю, то критерий оптимальности не берется с потолка, это желание получить максимально быструю сходимость, но не выходя за физические ограничения управления. Грубо говоря, мы ставим только критерий скорости, и добавляем щепотку ограничений на контроль, покуда не впишется в рамки. То есть, оно серия ведет настолько хорошо, насколько мы написали физику. С пид все чуток противнее. Но использовать надо тот метод, который решает задачу.
С изменением массы я сильно подозреваю, что можно сделать адаптирующуюся модель...
С изменением массы я сильно подозреваю, что можно сделать адаптирующуюся модель...
Физика это хорошо, только модель очень условно описывает реальный процесс, все тонкости железной реализации учесть сложно. А если динамика ещё и меняться может, то регулятору проще рассматривать процесс как черный ящик, а не строить контроллер только на аналитических моделях. Как я понял, LQR, описанный в википедии, строит контроллер именно аналитически, без сбора реальных данных и подстройки "по месту"?
Мне (как практически нулевому математику) PID контроллер интуитивно понятен и нравится с одной стороны простотой, с другой стороны большим объемом теоретических исследований и их практических применений, в том числе и по автонастройке под разные критерии. Но и познакомиться с другими алгоритмами тоже интересно, а вдруг они лучше PID?
У вас в итоге получился обычный PD контроллер, но как-то совсем с другой стороны :)
Адаптация контроллера в процессе работы, это на мой взгляд уже высшее исскуство математической магии :) Особенно адаптация под изменяющиеся условия без прерыани работы, т.е. без возможности провести специальные эксперименты по сбору доп. данных
Мне (как практически нулевому математику) PID контроллер интуитивно понятен и нравится с одной стороны простотой, с другой стороны большим объемом теоретических исследований и их практических применений, в том числе и по автонастройке под разные критерии. Но и познакомиться с другими алгоритмами тоже интересно, а вдруг они лучше PID?
У вас в итоге получился обычный PD контроллер, но как-то совсем с другой стороны :)
Адаптация контроллера в процессе работы, это на мой взгляд уже высшее исскуство математической магии :) Особенно адаптация под изменяющиеся условия без прерыани работы, т.е. без возможности провести специальные эксперименты по сбору доп. данных
Насколько я бегло посмотрел, то контроллеров люди настроили вагон и маленькую тележку, самотюнингующихся и нет. В каких-то применениях у кого-то работают лучше одни, у кого-то другие, особенно если применения разные :)
Тот ЛКР, что описан в википедии, это именно аналитическое решение, без реальных данных. Мы записали физику, потрясли коробочку, вот вам коэффициенты.
Не PD, а просто P, если уж вы про это. И я даже про это прямо написал :)
Разница между P регулятором и этим LQR в том, что P регулятор (ещё раз, я говорю про беглое гугление, возможно, что где-то не так) не смешивает между собой разные компоненты вектора состояний.
Тот ЛКР, что описан в википедии, это именно аналитическое решение, без реальных данных. Мы записали физику, потрясли коробочку, вот вам коэффициенты.
У вас в итоге получился обычный PD контроллер, но как-то совсем с другой стороны :)
Не PD, а просто P, если уж вы про это. И я даже про это прямо написал :)
Разница между P регулятором и этим LQR в том, что P регулятор (ещё раз, я говорю про беглое гугление, возможно, что где-то не так) не смешивает между собой разные компоненты вектора состояний.
Это, на самом деле, вопрос терминологии, как договоримся обзываться. Формально, Ваша P составляющая по скорости является D составляющей по положению, так что можно сказать, что Ваш регулятор эквивалентен некоторому PD.
К вопросу о "смешивании". Если P-регулятор скалярный, то он действительно берет один сигнал (как правило, ошибку, рассогласование) и формирует управление как некоторый k умножить на сигнал. Если же P-регулятор векторный, то берется вектор сигналов и скалярно умножается на вектор коэффициентов, получается скалярное управление. И то и то может называться P-регулятором.
К вопросу о "смешивании". Если P-регулятор скалярный, то он действительно берет один сигнал (как правило, ошибку, рассогласование) и формирует управление как некоторый k умножить на сигнал. Если же P-регулятор векторный, то берется вектор сигналов и скалярно умножается на вектор коэффициентов, получается скалярное управление. И то и то может называться P-регулятором.
Ну у вас же 2 коэффициента a и b: один на расстояние — аналог Kp, другой при производной — аналог Kd:
u = Kpx + Kddx
Похоже что и в общем нелинейном случае если кол-во пременных состояния не более трех, управление сводится к PID, Если больше, то к одной из его каскадных версий или версии с 2-мя степенями свободы. И в этом случае LQR полезен тем что аналитически найдет коэффициенты под заданный критерий.
u = Kpx + Kddx
Похоже что и в общем нелинейном случае если кол-во пременных состояния не более трех, управление сводится к PID, Если больше, то к одной из его каскадных версий или версии с 2-мя степенями свободы. И в этом случае LQR полезен тем что аналитически найдет коэффициенты под заданный критерий.
Не понял, почему же закон управления для произвольной нелинейной системы третьего порядка должен обязательно иметь форму pid? Там есть и другие варианты.
Из соображения что матрица F в выражении u_k = -Fx_k — константа, а x_k — вектор состоящий из x, dx, d2x в разных комбинациях. После перемножения и группировок получим все те же константы при x, dx, d2x что очень похоже на PID.
Но это только мое предположение, не судите строго :)
Но это только мое предположение, не судите строго :)
Формально, d2x уже не соответствует классическому скалярному PID. А в общем случае нелинейной системы нет оснований считать, что измеряемые состояния являются линейной комбинацией скоростей/ускорений.
Но это так, общие рассуждения, а на практике по различным оценкам порядка 90% используемых регуляторов — PID.
Но это так, общие рассуждения, а на практике по различным оценкам порядка 90% используемых регуляторов — PID.
LQR можно аналитически обобщить на произвольную размерность и на системы с несколькими входами и несколькими выходами.
Ни LQR ни классический PID не адаптивны, т.е. не подстраиваются под изменения параметров системы. Но могут быть достаточно робастны, т.е. сохранять работоспособность при изменении параметров.
Ни LQR ни классический PID не адаптивны, т.е. не подстраиваются под изменения параметров системы. Но могут быть достаточно робастны, т.е. сохранять работоспособность при изменении параметров.
Не очень понятно, каким образом уравнение uk = — Fk xk, где F зависит от времени (через уравнение Риккати) превратилось в uk = — F xk с постоянной матрицей F.
Если вы про общий случай, то для начала нужно в целевой функции выразить x через u, используя дополнение Шура, а затем брать в руки динамическое программирование или его аналоги, и искать зависимость u_0 от x_0 и от u_i. А затем показать, что зависимость от u_i бесконечно мала при удаляющемся горизонте.
Я же это показал только на одномерном примере, получив такую зависимость через приравнивание к нулю частной производной по u_0:
Вот смотрите, мы даём всё больше и больше времени для стабилизации нашей системы (N -> бесконечность). Для приведения в конечное состояние у нас есть вполне себе конечная работа, которую нужно проделать, это и есть сумма наших u_i. Но делим-то мы эту работу на всё большее и большее время, в итоге она растворится в том, что от времени не зависит.
Я же это показал только на одномерном примере, получив такую зависимость через приравнивание к нулю частной производной по u_0:
Вот смотрите, мы даём всё больше и больше времени для стабилизации нашей системы (N -> бесконечность). Для приведения в конечное состояние у нас есть вполне себе конечная работа, которую нужно проделать, это и есть сумма наших u_i. Но делим-то мы эту работу на всё большее и большее время, в итоге она растворится в том, что от времени не зависит.
Так тогда можно было сразу брать пункт про "бесконечный горизонт". Там и F от индекса не зависит, и явная формула для неё приведена.
Да, зависимость от времени уходит только в бесконечном горизонте. Только интуицию трудно строить на бесконечностях. А если вы про явную формулу:
, где
, а внутри
,
то она мне неинтересна. Она настолько страшная, что я сходу не понимаю, откуда она взялась, а верить на слово формулам я разучился уже давно.
То есть, я разобрался потом. Но её использовать в реальной жизни я всё равно не захочу. Мне линейной регрессии хватит за глаза, так как за всю жизнь мне придётся построить только пару регуляторов.
, где 
, а внутри
,то она мне неинтересна. Она настолько страшная, что я сходу не понимаю, откуда она взялась, а верить на слово формулам я разучился уже давно.
То есть, я разобрался потом. Но её использовать в реальной жизни я всё равно не захочу. Мне линейной регрессии хватит за глаза, так как за всю жизнь мне придётся построить только пару регуляторов.
Поясню на всякий случай про слепое использование формул. В формулах бывают опечатки; я сам не способен написать ни одной правильной формулы. Все формулы, что я пишу, неверные. То забыл единицу добавить, то знак потерял, то ещё что.
Но когда я начинаю их программировать, то я способен из неправильной формулы восстановить правильную, так как у меня за каждым значком стоит какой-то смысл. Например, совсем недавно у меня студент на экзамене в какой-то задачке получил отрицательную комнатную температуру. В кельвинах.
И ведь у него ничего не почесалось, потому что он, как прилежный ученик, применил какие-то формулы. А смысла в них не вложил, и поэтому проверить свой ответ не смог. Поэтому я стараюсь не использовать никакие уравнения/формулы, которые я хотя бы на интуитивном уровне не понимаю. Да, я не вывожу абсолютно все результаты, которые использую, но я стараюсь понять, откуда они пришли.
Но когда я начинаю их программировать, то я способен из неправильной формулы восстановить правильную, так как у меня за каждым значком стоит какой-то смысл. Например, совсем недавно у меня студент на экзамене в какой-то задачке получил отрицательную комнатную температуру. В кельвинах.
И ведь у него ничего не почесалось, потому что он, как прилежный ученик, применил какие-то формулы. А смысла в них не вложил, и поэтому проверить свой ответ не смог. Поэтому я стараюсь не использовать никакие уравнения/формулы, которые я хотя бы на интуитивном уровне не понимаю. Да, я не вывожу абсолютно все результаты, которые использую, но я стараюсь понять, откуда они пришли.
В формулах бывают опечатки; я сам не способен написать ни одной правильной формулы.
Тогда понятно. Потому что у меня получилось, что в вашей формуле для u_0 (у которой в знаменателе 2+2N) вместо x_n должен быть x_0 (тем более, n никак не определяется), перед двойной суммой должна быть двойка, а внутренняя сумма (по j) должна идти не от 0, а от 1 (а то u_0 получается и слева, и справа). Впрочем, насколько я понял, у вас эта двойная сумма всё равно не вычисляется?
И, кстати, чтобы "из неправильной формулы восстановить правильную, так как за каждым значком стоит какой-то смысл", нужен довольно высокий уровень понимания математики. Надо продраться через все эти формулы, понять, что за координатами есть формализм векторов, за ними матрицы и тензоры, являющиеся самостоятельными объектами, дальше не знаю, что — оно зависит от направления; сейчас я, например, предпочитаю думать в терминах инвариантов и законов сохранения. Но при необходимости могу вернуться и к формулам.
И можно ли объяснить интуитивный уровень тем, кто панически боится формул изначально — что-то сомневаюсь. "В геометрии нет царских путей", в математике в целом, вероятно, тоже.
И можно ли объяснить интуитивный уровень тем, кто панически боится формул изначально — что-то сомневаюсь. "В геометрии нет царских путей", в математике в целом, вероятно, тоже.
Я не очень понимаю, что такое царский путь, но основное сообщение, которое я пытаюсь донести до своих студентов, это то, что никто не знает всей математики. Никто не знает всей физики. Ни истории и политики тоже. Нужно не бояться брать чужие утверждения и проецировать их на базу своих знаний. И зачастую за страшными математическими значками открываются вполне простые, понятные, интуитивные вещи.
Ёлки, да ведь они предполагают, что финальное состояние, в которое мы хотим попасть, это нулевой вектор!!! КАКОГО [CENSORED] ОБ ЭТОМ НА ВСЕЙ СТРАНИЦЕ ВИКИПЕДИИ НИ СЛОВА?!
Видимо, это одно из тех общепринятых знаний, что зачем о нём писать, и так ведь все знают. :)
Для линейных систем, если явно не оговорено иного, всегда рассматривается задача перевода системы в нулевое положение равновесия. Потому что для линейных систем задача перевода из одного положения в другое эквивалентна задаче перевода из ненулевого начального состояния в нулевое.
Отдельно рассматривается задача слежения, т.е. когда желаемое положение не константа, а некоторая траектория.
Ага, правильно. Это очевидно всем, кто прослушал первую лекцию по теории управления. Но я-то не слушал, я просто пошёл поглядеть в википедию, что такое ЛКР. И в других источниках (я их перекопал десятка три) про это очень редко упоминают.
Ведь натурально отсутствие одной только фразы замедлило понимание на заметное время :(
Ведь натурально отсутствие одной только фразы замедлило понимание на заметное время :(
Может стоит пойти и сделать правку ?*
Я не чувствую себя в силе править статьи, которые не понимаю полностью. Я стараюсь написать как можно более доходчиво на этой площадке.
Добавление комментария о целевой точке (и вытекающих из этого различий в понимании) вполне возможно, имхо. Это же просто уточнение постановки задачи.
Тоже не знаю про лекцию, но на мой взгляд что суть вот в чём: Предположим, что у нас есть плита и кастрюля, надо нагреть кастрюлю до 100 градусов за минимальное время, ну так нет ничего проще, врубаем конфорку на полную мощность, следим за температурой кастрюли и — вот они 100 градусов, выключаем. Но в реальности, в этот момент начнётся как раз самое интересное, температура не остановится а продолжит расти, а всё потому, что тепло от нагревательного элемента доходит не сразу, а сам он при включении на полную может и 500 показать. Поэтому надо расширить аналитику и говорить уже не о мгновенной температуре, а о скорости её изменения, то есть в момент, когда надо отключить, должна не просто быть температура 100. а ещё и скорость её изменения ноль, вот и получаем этот самый вектор.
Это уже статья пятая на хабре, где упоминается PID, но первая, после которой мне захотелось разобраться что же это действительно такое и тема, оказалась очень интересной.
Это уже статья пятая на хабре, где упоминается PID, но первая, после которой мне захотелось разобраться что же это действительно такое и тема, оказалась очень интересной.
del
Вам можно начинать писать книгу. Это без сарказма.
Судя по красной линии мы проскочили мимо цели, развернулись и поехали обратно. Это не всегда хорошо. В радиотехнике называется звон или эффект Гиббса.
Ну это зависит от приложения. Обратный маятник, сильно подозреваю, иначе и не сделать.
Зависит от того какие матрицы штрафа у вас или как вы выбрали коэффициенты PID
Мне кажется, что без перерегулирования нормальный обратный маятник не сделать.
Насколько мне известно перерегулирование это один из признаков неоптимальности управления и с ним даже борятся, например в гиростабилизированных подвесах и коптерах
Я не про вертолёты говорил, вроде… Это всё сильно зависит от приложения. Оптимальность — опасное слово, оно слишком обманывает. Оптимальность согласно какому критерию?
Согласно критерию минимизации квадратичного функционала: 
Ведь, разве, если мы перерегулируем, то второй подинтегральный член не будет минимален?
Ведь, разве, если мы перерегулируем, то второй подинтегральный член не будет минимален?
Зависит. Не забывайте, что сумма многих маленьких квадратов предпочтительнее малого количества, но больших. Поэтому квадратичный функционал предпочтёт упасть как можно скорее к нулю, даже если это будет ценой (небольших) колебаний около нуля.
1) Этот функционал может дать перерегулирование, а может и нет, смотря какие матрицы выбраны. Вообще, на сколько я помню, для любого вектора обратных связей существуют такие матрицы Q, R, что этот вектор оптимален для этого функционала.
2) Перерегулирование может быть плохо, а может и хорошо, в малых количествах. Например, классические настройки на оптимум предполагают малое перерегулирование, до 5%, так как это заметно сокращает общее время переходного процесса.
2) Перерегулирование может быть плохо, а может и хорошо, в малых количествах. Например, классические настройки на оптимум предполагают малое перерегулирование, до 5%, так как это заметно сокращает общее время переходного процесса.
Давайте отделять разные вопросы.
1) Управление с перерегулированием не означает того, что мы не нашли минимума целевой функции J, Spin7ion спрашивал об этом, как я понял
2) Я плохо вижу определение перерегулирования в случае векторных величин, возможно, что мы говорим о разных вещах. Я умею сравнивать векторы между собой, но уж больно в специфических контекстах.
3) Представим тележку с палкой сверху, которую надо балансировать. Если тележка не перейдёт через целевую точку, то палку от падения не остановить, см. инерция и проч. То есть, на бумаге можно, на практике нет.
1) Управление с перерегулированием не означает того, что мы не нашли минимума целевой функции J, Spin7ion спрашивал об этом, как я понял
2) Я плохо вижу определение перерегулирования в случае векторных величин, возможно, что мы говорим о разных вещах. Я умею сравнивать векторы между собой, но уж больно в специфических контекстах.
3) Представим тележку с палкой сверху, которую надо балансировать. Если тележка не перейдёт через целевую точку, то палку от падения не остановить, см. инерция и проч. То есть, на бумаге можно, на практике нет.
1) Согласен. Я как раз хотел сказать, что минимум функционала J может достигаться и на траекториях с перерегулированием.
2) Перергулирование определяется для скалярных траекторий, как правило, для выходного сигнала, в Вашем случае — для положения.
3) Если в этом примере нас интересует стабилизация палки, то и перерегулирование логично смотреть в траектории палки, а не в движении тележки.
2) Перергулирование определяется для скалярных траекторий, как правило, для выходного сигнала, в Вашем случае — для положения.
3) Если в этом примере нас интересует стабилизация палки, то и перерегулирование логично смотреть в траектории палки, а не в движении тележки.
Ну вот смотрите, система cart-pole. Забудем про всякие скорости-ускорения, целевой вектор двухмерный, ноль координат и палка вверх. Я и палку хочу выровнять, и тележку на место поставить.
Что такое перерегулирование в этом случае? Отдельно тележка перескочит через цель, чтобы выровнять палку. Палка, возможно, через цель не перескочит, кто его знает. Хотя перескочит, ну да не суть.
Поэтому уже для примера, который я в статье привёл, надо сначала определить, что такое перерегулирование, а потом уже говорить, исходя из общих понятий.
Что такое перерегулирование в этом случае? Отдельно тележка перескочит через цель, чтобы выровнять палку. Палка, возможно, через цель не перескочит, кто его знает. Хотя перескочит, ну да не суть.
Поэтому уже для примера, который я в статье привёл, надо сначала определить, что такое перерегулирование, а потом уже говорить, исходя из общих понятий.
Вообще, перергулирование имеет достаточно конкретное определение и находится по переходному процессу, т.е. реакции на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Однако, так как для нелинейных систем переходный процесс не масштабируем, то часто на практике перерегулирование находится по конкретной траектории. Которая всё равно имеет вид перехода из одного постоянного положения в другое. В Вашем примере будет отдельно траектория палки и отдельно тележки, по каждой траектории можно что-то считать.
Кстати, когда говорят про перевернутый маятник, то обычно задачи вывода тележки в точку нет, есть задача стабилизации палки.
Кстати, когда говорят про перевернутый маятник, то обычно задачи вывода тележки в точку нет, есть задача стабилизации палки.
Теоретически, не вижу причин, почему обратный маятник не может быть стабилизирован без перерегулирования. Хватало бы быстродействия и точности измерений и оценки параметров.
Эх, третий пункт ответа должен был быть здесь, пардон за мусор.
Если интересует время установления, часто так получается быстрее. Однократный переход через целевое значение и выход на полку с обратной стороны в ТАУ вполне нормальное явление. Называется перерегулирование — https://ru.wikipedia.org/wiki/Перерегулирование
Не в тему, но очень хочется: где вы приобритали такие боксы с алюминевым прифилем?
Покупал сам алюминиевый профиль, плексиглас и тп, резал, собирал. Ничего готового там нет, я на все грабли стараюсь наступить сам. Один — это закрытый плексигласом куб для шумо- и пылезащиты окружающего пространства от небольшого чпу фрезера, все четыре стороны распахиваются на петлях для облегчения доступа и уборки.
У меня нет отдельно фотографии кожуха, только такая:
Второй — просто куб, внутри которого я собрал 3д принтер.
У меня нет отдельно фотографии кожуха, только такая:
Скрытый текст
Второй — просто куб, внутри которого я собрал 3д принтер.
Прокомментируйте, пожалуйста, графики, где показаны результаты работы.
Насколько я понял, сначала управляющее воздействие было направлено в сторону, противоположную координате цели?
Потом оно поменялось на "правильное", и потом ещё раз на "неправильное" для гашения скорости.
Если так, то почему не поехали сразу в "правильную" сторону?
Насколько я понял, сначала управляющее воздействие было направлено в сторону, противоположную координате цели?
Потом оно поменялось на "правильное", и потом ещё раз на "неправильное" для гашения скорости.
Если так, то почему не поехали сразу в "правильную" сторону?
Вы про какую именно картинку?
Извините, я наверно не очень хорошо "идентифицировал".
Которая идёт сразу после строки "Я достаточно прокомментировал предыдущий код, этот не должен вызвать трудностей. Вот результат работы:"
Которая идёт сразу после строки "Я достаточно прокомментировал предыдущий код, этот не должен вызвать трудностей. Вот результат работы:"
В самый начальный момент времени машина находилась в трёх метрах от цели, при этом от цели удалялась со скоростью полметра в секунду.
Развернуть сразу я её не могу, у неё есть инерция. Управление (синяя кривая) сначало отрицательное, машина притягивалась к цели (ноль координат, останов). Примерно на третьей секунде машина повернула к цели, но продолжала притягиваться к цели. Секунде эдак на седьмой она начала от цели отталкиваться, но по инерции всё равно на пятнадцатой секунде перескочила через цель, дальше оно поколебалось чутка и стабилизировалось.
Развернуть сразу я её не могу, у неё есть инерция. Управление (синяя кривая) сначало отрицательное, машина притягивалась к цели (ноль координат, останов). Примерно на третьей секунде машина повернула к цели, но продолжала притягиваться к цели. Секунде эдак на седьмой она начала от цели отталкиваться, но по инерции всё равно на пятнадцатой секунде перескочила через цель, дальше оно поколебалось чутка и стабилизировалось.
Стоп-стоп-стоп, а какого хрена в википедии стоит x_k^T Q x_k? Ведь это же простой x_k^2 в нашем случае, а у нас (x_k-x_N)^2?! Ёлки, да ведь они предполагают, что финальное состояние, в которое мы хотим попасть, это нулевой вектор!!! КАКОГО [CENSORED] ОБ ЭТОМ НА ВСЕЙ СТРАНИЦЕ ВИКИПЕДИИ НИ СЛОВА?!
В теории управления вводят невязку ( e=x_t-x, где x_t желаемое положение, а x — текущее ), о которой вы говорите.
В линейно-квадратичном регуляторе Q это матрица штрафа за отклонение от нуля, а R — матрица штрафа за использование управления. Если я правильно понял вашу статью, то в вашем случае эти матрицы являются единичными и, как следствие, это может являться причиной перерегулирования.
Кроме того, вы упомянули, что хотите делать балансера. Как я понимаю балансер может стоять условно бесконечное время (N огромно), если это так, то как вы собираетесь высчитать u_0 при N->+inf?
Возможно вам и вашим студентам будет полезна моя статья, в конце есть ссылка на более математическую ее версию. Есть так же много книг В.Н. Афанасьева, которые можно найти на сайте ВШЭ, где он описывает в том числе и LQR.
Понятно как буду делать — посчитаю статическую матрицу отклика на компе и вколочу коэффициенты в балансир.
Целые книги по теории управления читать лишь для того, чтобы сделать сигвей — это стрельба из пушки по воробьям, мне это ни к чему, спасибо.
И подскажите, пожалуйста, зачем вы дали ссылку на вашу статью, учитывая, что я её же и процитировал в первом же параграфе моей?
Целые книги по теории управления читать лишь для того, чтобы сделать сигвей — это стрельба из пушки по воробьям, мне это ни к чему, спасибо.
И подскажите, пожалуйста, зачем вы дали ссылку на вашу статью, учитывая, что я её же и процитировал в первом же параграфе моей?
Понятно как буду делать — посчитаю статическую матрицу отклика на компе и вколочу коэффициенты в балансир.
Не могли бы вы подробнее описать алгоритм действий, к сожалению, я не очень понял идею?
И подскажите, пожалуйста, зачем вы дали ссылку на вашу статью, учитывая, что я её же и процитировал в первом же параграфе моей?
Был невнимателен, приношу свои извинения
Насколько я понял, то:
0) для начала я буду делать систему без скрытых переменных, а только с полностью известным вектором состояния, где я всё могу точно измерить
1) линеаризую физику, записываю систему x_{k+1} = A x_k + B u_k
2) выбираю большое время, пишу простейший МНК как в статье, получаю красивые графики
3) при помощи второй задачи МНК ищу постоянную такую матрицу F, что u_k = -F (x_k — 0), — 0 здесь просто показать, что я хочу достить нулевого вектора
4) вколачиваю постоянную матрицу F в робота
5) в каждый момент времени, имея измеренное состояние робота x, выбираю управление u = -F (x — 0)
0) для начала я буду делать систему без скрытых переменных, а только с полностью известным вектором состояния, где я всё могу точно измерить
1) линеаризую физику, записываю систему x_{k+1} = A x_k + B u_k
2) выбираю большое время, пишу простейший МНК как в статье, получаю красивые графики
3) при помощи второй задачи МНК ищу постоянную такую матрицу F, что u_k = -F (x_k — 0), — 0 здесь просто показать, что я хочу достить нулевого вектора
4) вколачиваю постоянную матрицу F в робота
5) в каждый момент времени, имея измеренное состояние робота x, выбираю управление u = -F (x — 0)
Можно еще добавить 3.5 — сравнить полученную матрицу F с той, что считается аналитически по матрицам A, B и критерию оптимальности.
Когда вы говорите про аналитическое решение, вы имеете в виду решение уравнения Риккати или просто взять начальное положение, потрясти коробочку, и посмотреть, насколько полученные траектории отличаются от тех, что я получил бы, используя матрицу F? Типа того, что я сделал с самым последним графиком.
Я имею ввиду сравнить Ваш вектор F с тем, который получится путем аналитического синтеза, т.е. решения уравнения Риккати.
А, можно. Если понять, что такое уравнение Риккати ;)
Ладно, я, конечно, придуриваюсь, и сумею его посчитать, но ведь натурально неохота вникать, куда как проще просто потрясти коробочку с линейной регрессией. А результаты должны получиться одинаковыми. Если всё же дойду до настоящих железок, то сделаю, наверное, сравнение.
Ладно, я, конечно, придуриваюсь, и сумею его посчитать, но ведь натурально неохота вникать, куда как проще просто потрясти коробочку с линейной регрессией. А результаты должны получиться одинаковыми. Если всё же дойду до настоящих железок, то сделаю, наверное, сравнение.
Ну давайте попробуем Ваш пример из статьи посмотреть. Как я понимаю, система описывается в виде
x{k+1}=Ax{k}+Bu{k}, где A=[1 1; 0 1]; B=[0;1], правильно? Не могу сейчас в коде найти, какие у Вас матрицы Q, R, N, как Вы J считаете?
x{k+1}=Ax{k}+Bu{k}, где A=[1 1; 0 1]; B=[0;1], правильно? Не могу сейчас в коде найти, какие у Вас матрицы Q, R, N, как Вы J считаете?
Q единичная, R = 256 (матрица 1x1), N нулевая. A и B такие, да.
Матрица F получилась [-0.0513868, -0.347324].
Матрица F получилась [-0.0513868, -0.347324].
Расчёт с помощью Matlab dlqr дает F=-[0.052 0.354]:
Достаточно близко, на мой взгляд.
A=[1 1;0 1];
B=[0;1];
Q=eye(2);
R=256;
F=-dlqr(A,B,Q,R)Достаточно близко, на мой взгляд.
Как правило, балансир предполагает, что мы стоим в положении равновесия, т.е. u=0. Или же мы можем сделать эту точку точкой равновесия за счет постоянного управления, тогда эта постоянная составляющая в модели отклонений не учитывается.
Есть еще такой вопрос.
Как я вижу у вас получилось управление, коэффициент которого зависит от вашей начальной точки. Что будет в случае, если робот окажется в другой точке? Гарантируется ли тогда управление?
Заметьте, что в вычислении коэффициентов обычном LQR не участвует x_0:
— управление, где
, где P — решение уравнения Риккати:
Как я вижу у вас получилось управление, коэффициент которого зависит от вашей начальной точки. Что будет в случае, если робот окажется в другой точке? Гарантируется ли тогда управление?
Заметьте, что в вычислении коэффициентов обычном LQR не участвует x_0:
— управление, где
, где P — решение уравнения Риккати:
В моей процедуре подсчёта да, я использую начальную точку, но результат должен быть тем же, что и при решении уравнения Риккати. Гарантий нет никаких ни в том случае, ни в другом. Например, лежащий на земле сигвей не встанет. Гарантии есть только для малого отклонения от финальной точки.
Посмотрите подсчёт Arastas, он посчитал именно аналитически, результат сходится с тем, что посчитал я численно.
Регулятор в теории управления — это система стабилизации состояния. Вы же рассмотрели задачу не стабилизации, а перевода системы из одного состояния в другое. Конечно, хороший регулятор справится и с этим, но это решение далеко не оптимальное. Оптимальное программное управление (а именно его вы ищете для рассматриваемой задачи) — это по сути дела задача на вариационное исчисление: найти такие функции u(t), которые минимизируют функционал (время работы системы, расход энергии и пр.). Но в нашем случае методы классического вариационного исчисления неприменимы по следующим причинам:
1) В классическом вар. исчислении нет возможности учесть ограничения на управление (максимальное и минимальное ускорения)
2) Классическое вариационное исчисление отыскивает решение в виде непрерывных функций, а оптимальное управление при ограничениях часто оказывается кусочно-постоянной, т.е. разрывной функцией.
В этой ситуации задача на оптимальное программное управление решается исходя из принципа максимума Понтрягина. Для линейных систем с максимальным быстродействием найдены более-менее общие решения, которые являются кусочно-постоянными: управление всегда находится на одной из границ допустимого интервала. Тем самым на практике нужно лишь находить моменты времени, в которые управление переключается с одной границы на другую.
Что же касается регулятора — то его есть смысл задействовать для стабилизации траектории (которая будет иметь случайные отклонения от идеальной) и конечного положения. Применение регулятора по назначению — это устранение малых отклонений состояния объекта управления от желаемого.
1) В классическом вар. исчислении нет возможности учесть ограничения на управление (максимальное и минимальное ускорения)
2) Классическое вариационное исчисление отыскивает решение в виде непрерывных функций, а оптимальное управление при ограничениях часто оказывается кусочно-постоянной, т.е. разрывной функцией.
В этой ситуации задача на оптимальное программное управление решается исходя из принципа максимума Понтрягина. Для линейных систем с максимальным быстродействием найдены более-менее общие решения, которые являются кусочно-постоянными: управление всегда находится на одной из границ допустимого интервала. Тем самым на практике нужно лишь находить моменты времени, в которые управление переключается с одной границы на другую.
Что же касается регулятора — то его есть смысл задействовать для стабилизации траектории (которая будет иметь случайные отклонения от идеальной) и конечного положения. Применение регулятора по назначению — это устранение малых отклонений состояния объекта управления от желаемого.
Для иллюстрации к вашей задаче управления автомобилем: если стоит задача максимально быстро разогнать его до некоторой скорости — то оптимальным по быстродействию управлением будет выжать полный газ до тех пор, пока автомобиль не разгонится, а потом полностью отпустить газ. Это и обеспечит разгон до заданной скорости за минимальное время, при этом ограничение на управление (максимальное ускорение) будет соблюдено. После этого можно уже включить регулятор для стабилизации скорости.
Более интересно рассмотреть другую задачу: автомобиль может ускоряться (влево или вправо) или тормозить с заданным максимальным ускорением. Он находится в пункте А и имеет скорость v0. Задача — привести его в пункт B и остановить там за кратчайшее время.
Очевидно, что оптимальное программное управление в этом случае будет кусочно-постоянным. Возможны 4 случая:
1) если мы изначально стояли в пункте А, то надо сначала выжать полный газ, пока не проедем ровно половину пути, а потом максимально тормозить вплоть до прибытия в пункт B.
2) Если мы изначально двигались влево, а пункт B находится справа — то надо сначала максимально тормозить, а после полной остановки применить ту же стратегию, как для случая 1)
3) Если мы изначально двигались вправо с такой скоростью, что успеем затормозить до прибытия в пункт B — то надо сначала ускоряться до той точки, из которой мы сможем затормозить, а потом тормозить, как в случае 1).
4) Если мы изначально двигались вправо с такой скоростью, что не сможем затормозить до пункта B — то сразу начинаем максимально тормозить, проскакиваем пункт B, а после полной остановки применяем решение для случая 1)
Таким образом, у нас управление во время действия объекта всегда находится на одной из допустимых границ, и максимально происходит одно переключение с одной границы на другую. При этом переход между торможением и разгоном не считается за переключение, если направление ускорения при этом не меняется. В этой задаче удобно представить себе ракетный автомобиль, у которого спереди и сзади установлены реактивные двигатели, дающие заданное ускорение вплоть до максимального. Тогда очевидно, что переход между торможением и разгоном не приводят к переключению двигателей, если при этом не меняется направление ускорения.
Более интересно рассмотреть другую задачу: автомобиль может ускоряться (влево или вправо) или тормозить с заданным максимальным ускорением. Он находится в пункте А и имеет скорость v0. Задача — привести его в пункт B и остановить там за кратчайшее время.
Очевидно, что оптимальное программное управление в этом случае будет кусочно-постоянным. Возможны 4 случая:
1) если мы изначально стояли в пункте А, то надо сначала выжать полный газ, пока не проедем ровно половину пути, а потом максимально тормозить вплоть до прибытия в пункт B.
2) Если мы изначально двигались влево, а пункт B находится справа — то надо сначала максимально тормозить, а после полной остановки применить ту же стратегию, как для случая 1)
3) Если мы изначально двигались вправо с такой скоростью, что успеем затормозить до прибытия в пункт B — то надо сначала ускоряться до той точки, из которой мы сможем затормозить, а потом тормозить, как в случае 1).
4) Если мы изначально двигались вправо с такой скоростью, что не сможем затормозить до пункта B — то сразу начинаем максимально тормозить, проскакиваем пункт B, а после полной остановки применяем решение для случая 1)
Таким образом, у нас управление во время действия объекта всегда находится на одной из допустимых границ, и максимально происходит одно переключение с одной границы на другую. При этом переход между торможением и разгоном не считается за переключение, если направление ускорения при этом не меняется. В этой задаче удобно представить себе ракетный автомобиль, у которого спереди и сзади установлены реактивные двигатели, дающие заданное ускорение вплоть до максимального. Тогда очевидно, что переход между торможением и разгоном не приводят к переключению двигателей, если при этом не меняется направление ускорения.
Если время дискретное, то момент "пора тормозить" может оказаться между квантами. Придётся начать торможение несколько заранее, чтобы не проскочить финиш. Тогда у нас появится запас по управляющему воздействию, вот тут-то регулятор и пригодится, наверное?
В идеальном случае (невозмущенное движение) регулятор не пригодится. Если есть запас управляющего воздействия — то его использование можно спланировать заранее.
А вот в реальных системах, движение которых подвержено возмущениям, регулятор можно и нужно использовать для поддержания объекта на оптимальной программной траектории. Для этих целей есть смысл предусмотреть запас по управлению, т.е. выжимать газ и тормоз не на полную, а на 95%, допустим, оставляя 5% на устранение возмущений.
А вот в реальных системах, движение которых подвержено возмущениям, регулятор можно и нужно использовать для поддержания объекта на оптимальной программной траектории. Для этих целей есть смысл предусмотреть запас по управлению, т.е. выжимать газ и тормоз не на полную, а на 95%, допустим, оставляя 5% на устранение возмущений.
Зачастую чтение статей сводится к поиску ключевых слов и полному выводу всех результатов, используя тот матаппарат, которым лично я владею.
Утверждают, что Ландау читал статьи так: читал начало (идею), потом брал исходные данные и выводил всё сам. Сравнивал результат. Если он не совпадал с результатом статьи, статья объявлялась плохой.
Привет всем из будущего!
Нашёл эту статью по своей тематике, хочу поинтересоваться у знающих, если можно.
Допустим, есть некое ТС, которое может двигаться или стоять на некой поверхности. У него есть сопротивление качению, поэтому ехать оно начинает не сразу после подачи управляющего сигнала, есть некий лаг.
То есть график зависимости скорости от сигнала сначала y(x)=0, а затем на значении сигнала f наступает перелом и, допустим, линейный рост: y(x) = (x-f)*k. f зависит от поверхности, то есть неизвестен.
Мы использовали алгоритм pid, ну, то есть контроллер раз в 50 мс рассчитывает «ошибку»,
т.е. разницу реальной скорости и управляющего сигнала, получает производную D, пропорциональную P и первообразную I, суммирует с коэффициентами и подаёт результат на мотор.
Возникает проблема, когда сигнал небольшой, то есть требуется двигаться медленно. Алгоритм запоминает ошибку в «интегральной» компоненте и подаёт на мотор сигнал, но сигнал получается меньше f и ТС никак не хочет трогаться с места.
Очень хочется научиться верно управлять такой системой, но пока получается не очень.
Пробовали добавить ещё одну, вторую первообразную I2, чтобы в случае сопротивляющейся среды усилие накапливалось до момента проворота движителя. Получилось, что на старте и остановке начинаются автоколебания, или просто «отскок», если коэффициент для I2 небольшой.
Хочется, чтобы эта компонента I2 давала рост усилия до момента «трогания», но дальше колебаний не давала, чтобы разгон и торможение были плавные.
Есть ли какие-нибудь готовые решения для подобных систем? Эта задача наверняка старше многих из нас, управлять механизмами с трением трогания приходится с начала истории САУ.
Нашёл эту статью по своей тематике, хочу поинтересоваться у знающих, если можно.
Допустим, есть некое ТС, которое может двигаться или стоять на некой поверхности. У него есть сопротивление качению, поэтому ехать оно начинает не сразу после подачи управляющего сигнала, есть некий лаг.
То есть график зависимости скорости от сигнала сначала y(x)=0, а затем на значении сигнала f наступает перелом и, допустим, линейный рост: y(x) = (x-f)*k. f зависит от поверхности, то есть неизвестен.
Мы использовали алгоритм pid, ну, то есть контроллер раз в 50 мс рассчитывает «ошибку»,
т.е. разницу реальной скорости и управляющего сигнала, получает производную D, пропорциональную P и первообразную I, суммирует с коэффициентами и подаёт результат на мотор.
Возникает проблема, когда сигнал небольшой, то есть требуется двигаться медленно. Алгоритм запоминает ошибку в «интегральной» компоненте и подаёт на мотор сигнал, но сигнал получается меньше f и ТС никак не хочет трогаться с места.
Очень хочется научиться верно управлять такой системой, но пока получается не очень.
Пробовали добавить ещё одну, вторую первообразную I2, чтобы в случае сопротивляющейся среды усилие накапливалось до момента проворота движителя. Получилось, что на старте и остановке начинаются автоколебания, или просто «отскок», если коэффициент для I2 небольшой.
Хочется, чтобы эта компонента I2 давала рост усилия до момента «трогания», но дальше колебаний не давала, чтобы разгон и торможение были плавные.
Есть ли какие-нибудь готовые решения для подобных систем? Эта задача наверняка старше многих из нас, управлять механизмами с трением трогания приходится с начала истории САУ.
В общем виде тема оптимального управления это раздел математики, который называется вариационное исчисление.
Этот раздел настолько сложен, что его даже не преподают схемотехникам в технических ВУЗах.
Но без этого невозможно сделать такие системы вооружения как БРК «Бастион»
https://www.youtube.com/watch?v=c_P5-ns5R54
Там надо находить минимум или максимум уравнения решением которого является не число, а функция.
Sign up to leave a comment.
Математика на пальцах: линейно-квадратичный регулятор