Comments 9
Любопытно, что в журнале «Квант» за 1977 год (http://school-collection.edu.ru/catalog/res/0d7a6b7e-d04a-f9c1-bd42-b76f0a76af05/?fullView=1) было дополнительное ограничение, что сумма меньше ста. Оказывается, и без него однозначно решается
Вообще это ограничение сильно облегчает жизнь, потому что до фишки с 53 + x я додумался позже всего. А о том, что она работает уже на первой подсказке, а не на третьей, только когда писал статью и упрощал решение.
Иначе после первого шага оставались все нечетные суммы больше 100, а после третьего — числа 57 и 59, одно из которых неочевидно убиралось.
Иначе после первого шага оставались все нечетные суммы больше 100, а после третьего — числа 57 и 59, одно из которых неочевидно убиралось.
Не совсем понял отсев чисел 53 + х. Например 3360 = 60 х 56 = 96 х 35 = 48 х 70. Как-то неоднозначно.
3360 = 2*2*2*2*2*3*5*7 — здесь нет простого множителя больше 50.
Фишка заключается в том, что любое число, в которое в качестве множителя входит простое число больше 50 (а первое из них — это 53) однозначно раскладывается на два множителя меньших 100.
Например, произведение наших чисел равно 318=2*3*53. В принципе, исходными числами могут быть 6 и 53, 2 и 159 или 3 и 106, но вторая и третья пара не подходят, так как в них одно из чисел больше 100.
Любую сумму больше 54 можно разложить на 53 и х. И этот вариант всегда дает «плохое» произведение. Поэтому суммы больше 54 можно не рассматривать.
Фишка заключается в том, что любое число, в которое в качестве множителя входит простое число больше 50 (а первое из них — это 53) однозначно раскладывается на два множителя меньших 100.
Например, произведение наших чисел равно 318=2*3*53. В принципе, исходными числами могут быть 6 и 53, 2 и 159 или 3 и 106, но вторая и третья пара не подходят, так как в них одно из чисел больше 100.
Любую сумму больше 54 можно разложить на 53 и х. И этот вариант всегда дает «плохое» произведение. Поэтому суммы больше 54 можно не рассматривать.
Следующий шаг — максимально обобщить задачу, т.е. найти такое N>100, при котором все еще единственное решение
С ЭВМ, без ЭВМ… эх…
Несчастный султан хотел узнать — будут ли его мудрецы настолько мудры, чтобы договориться между собой, решить квадратное уравнение и сказать ответ. Потому султан и был поражен.
Несчастный султан хотел узнать — будут ли его мудрецы настолько мудры, чтобы договориться между собой, решить квадратное уравнение и сказать ответ. Потому султан и был поражен.
Всё-таки, вернусь снова к этой задаче. Объясните мне, пожалуйста, в чём я неправ.
Пусть султан загадал числа 4 и 7. Али услышал 28, Вали — 11.
Али не знает ответа, т. к. 28 раскладывается не однозначно (на 4×7 или 2×14). Он об этом говорит.
Вали знал об этом, т. к. среди разложений 11 на слагаемые нет разложения на простые числа (также оно не является суммой простого числа и его квадрата). Он об этом говорит.
Али: раз Вали сказал, что знает, что числа не простые, значит их сумма как минимум нечётная. Значит, одно из чисел чётное, а другое нет, что оставляет только один вариант разложения — 4×7. Али теперь знает ответ и говорит об этом.
Вали: раз Али знает ответ, значит, его разложение стало единственным после уточнения, что одно из чисел чётное. Какого рода числа имеют однозначное разложение на чётный и нечётный множители? Любое число раскладывается на прозведение простых, в нашем случае одно из этих простых гарантированно двойка. Число множителей должно быть больше двух (иначе бы у нас было просто два простых числа и Али бы знал ответ сразу). Подходят только числа с множителями вида (2^n, p), где p — простое число больше двух (нечётное), а n > 1. 11 — это 2^2 + 7, значит, искомые числа — 4 и 7. Вали тоже знает ответ.
Если эта логика верна, то решением задачи являются любые пары вида (2^n, p) такие, что 2^n + p ≠ q + 2 где q — простое число > 2. Это условие нужно потому, что иначе в возможных слагаемых Вали появится простая пара (q, 2), и Вали не сможет с уверенностью сказать, что Али не знает ответа.
Пусть султан загадал числа 4 и 7. Али услышал 28, Вали — 11.
Али не знает ответа, т. к. 28 раскладывается не однозначно (на 4×7 или 2×14). Он об этом говорит.
Вали знал об этом, т. к. среди разложений 11 на слагаемые нет разложения на простые числа (также оно не является суммой простого числа и его квадрата). Он об этом говорит.
Али: раз Вали сказал, что знает, что числа не простые, значит их сумма как минимум нечётная. Значит, одно из чисел чётное, а другое нет, что оставляет только один вариант разложения — 4×7. Али теперь знает ответ и говорит об этом.
Вали: раз Али знает ответ, значит, его разложение стало единственным после уточнения, что одно из чисел чётное. Какого рода числа имеют однозначное разложение на чётный и нечётный множители? Любое число раскладывается на прозведение простых, в нашем случае одно из этих простых гарантированно двойка. Число множителей должно быть больше двух (иначе бы у нас было просто два простых числа и Али бы знал ответ сразу). Подходят только числа с множителями вида (2^n, p), где p — простое число больше двух (нечётное), а n > 1. 11 — это 2^2 + 7, значит, искомые числа — 4 и 7. Вали тоже знает ответ.
Если эта логика верна, то решением задачи являются любые пары вида (2^n, p) такие, что 2^n + p ≠ q + 2 где q — простое число > 2. Это условие нужно потому, что иначе в возможных слагаемых Вали появится простая пара (q, 2), и Вали не сможет с уверенностью сказать, что Али не знает ответа.
Сумма 11 действительно занятная, т. к. остается после третьей подсказки.
В Ваших рассуждениях ошибка в том, что 11 можно представить в виде 2^n + p двумя способами: 4 + 7 и 8 + 3.
А значит Вали не сможет выбрать один из двух этих ответов.
В Ваших рассуждениях ошибка в том, что 11 можно представить в виде 2^n + p двумя способами: 4 + 7 и 8 + 3.
А значит Вали не сможет выбрать один из двух этих ответов.
Sign up to leave a comment.
Решаем задачу про мудрецов без ЭВМ