R3EQ Jul 3 2018 at 15:01

Амплитудная модуляция произвольного сигнала

4 min

9.4K

Как известно, АМ — вид модуляции, при которой амплитуда несущего сигнала изменяется по закону модулирующего (информационного) сигнала. Существует немало источников с теоретическим и практическим описанием АМ. Описание даётся, прежде всего, для того, чтобы показать частотный состав АМ сигнала. В качестве модулирующего сигнала обычно рассматривают однотональный сигнал. Данный сигнал задаётся простой функцией синуса. У меня всегда спрашивали, да и я задавался вопросом, как описать АМ на случай, если в качестве модулирующего сигнала будет произвольный сигнал. Именно произвольный сигнал, частотный спектр которого состоит из множества компонент, представляет интерес, так как АМ применяется в радиовещании для передачи звука.

Попробуем описать АМ для вышесказанного случая, принимая во внимание, что модулирующий сигнал можно представить, как непрерывную сумму простых однотональных сигналов разных частот с различными амплитудами и фазами. Не вдаваясь в тонкости математического анализа, данный сигнал можно записать как непрерывную сумму (интеграл) Фурье:

$S(t)=\int\limits_0^mA(f)\cos(2\pi ft+\varphi(f))df,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

где $inline$ – верхний предел частоты сигнала (полоса модулирующего сигнала), $inline$ — переменная интегрирования, отвечающая за частоту, причём $f\in(0;m]$ . Функции $inline$ и $\varphi(f)$ — амплитуда и фаза компоненты сигнала на частоте $inline$ .

Подынтегральное выражение данной формулы представляет собой т.н. тригонометрическую свёртку в амплитудно-фазовый вид слагаемого ряда Фурье, в который можно разложить сигнал. Интеграл в (1) можно назвать интегралом Фурье, так как, фактически, это непрерывная сумма, т.е. непрерывный ряд Фурье, в который раскладывается исходный сигнал. Разложение сигнала в подобный ряд даёт представление о частотном составе этого сигнала. Таким образом, исходный модулирующий сигнал представлен в виде непрерывной суммы синусоид (в данном случае для удобства — $inline$ ) различных частот $inline$ от $inline$ до $inline$ , каждая из них имеет свою амплитуду $inline$ фазовый сдвиг $\varphi(f)$ . Функция $inline$ представляет собой частотный спектр исходного сигнала $inline$ .

Стоит отметить, что сигнал рассматривается на ограниченном промежутке времени $t\in [0;t_0]$ . Вообще говоря, если речь идёт о звуковом сигнале, то, как правило, частотный спектр имеет практический смысл рассматривать для очень коротких фрагментов сигнала. Очевидно, чем больше по времени продолжительность сигнала, тем больше низкочастотных (приближающихся к нулю) компонент будут фигурировать в спектральном составе, что нельзя сопоставить со звуковыми частотами в слышимом диапазоне.

Кроме модулирующего сигнала имеется тональный сигнал, представляющий собой несущее колебание с частотой $inline$ , амплитудой $inline$ и нулевой начальной фазой:

$S_c(t)=C\sin(2\pi f_ct),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

причём $f_c\gg m$ . Действительно, в радиовещании частота несущей во много раз больше полосы передаваемого сигнала.

Теперь перейдём непосредственно к процессу амплитудной модуляции.

Известно, что АМ сигнал $S_{AM}$ есть результат перемножения сигнала несущей и модулирующего сигнала, предварительно смещённого и «проиндексированного» индексом модуляции $inline$ , т.е.

$S_{AM}(t)=S_c(t)(1+kS(t)). \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

Во избежание так называемой перемодуляции $k\in(0;1)$ .

Подставим исходные данные (1) и (2) в выражение (3), раскроем скобки, внесём под интеграл независящие от переменной интегрирования $inline$ некоторые множители:

$S_{AM}(t)=C\sin(2\pi f_ct)\Big(1+k\int\limits_0^mA(f)\cos(2\pi ft+\varphi(f))df\Big)= \\ =C\sin(2\pi f_ct)+C\sin(2\pi f_ct)k\int\limits_0^mA(f)\cos(2\pi ft+\varphi(f))df= \\ =C\sin(2\pi f_ct)+kC\int\limits_0^mA(f)\sin(2\pi f_ct)\cos(2\pi ft+\varphi(f))df.$

Применим известную школьную тригонометрическую формулу преобразования произведения для подынтегральных функций:

$\sin a\cos b=\frac12\Big(\sin(a-b)+\sin(a+b)\Big).$

Данная формула носит ключевой характер при АМ и подчёркивает эти самые «две боковые» в спектральном составе АМ сигнала.

Продолжив равенство, разобьём интеграл получившейся суммы на сумму двух интегралов, раскроем скобки и вынесем за скобку нужные множители в аргументах функций:

$S_{AM}(t)=C\sin(2\pi f_ct)+kC\int\limits_0^mA(f)\frac12\Big(\sin(2\pi f_ct-(2\pi ft+\varphi(f))+ \\ +\sin(2\pi f_ct+(2\pi ft+\varphi(f))\Big)df= \\ =C\sin(2\pi f_ct)+\frac12kC\int\limits_0^mA(f)\sin(2\pi (f_c-f)t-\varphi(f))df+ \\ +\frac12kC\int\limits_0^mA(f)\sin(2\pi (f_c+f)t+\varphi(f))df.$

Три получившихся слагаемых соответственно представляют собой, как видно из равенства, сигнал несущей, сигналы «нижней» и «верхней» боковой. Прежде чем дать конкретное пояснение, продолжим равенство, применив метод замены переменной в следующей конфигурации:

$\begin{bmatrix} w=w(f)=(f_c\pm f),\; dw=\pm df,\\ df=\pm dw,\; f=\pm(w-f_c),\\ w(0)=f_c,\; w(m)=(f_c\pm m). \end{bmatrix}.$

Воспользуемся этой самой заменой:

$S_{AM}(t)=C\sin(2\pi f_ct)- \\ -\frac12kC\int\limits_{f_c}^{f_c-m}A(f_c-w)\sin(2\pi wt-\varphi(f_c-w))dw+ \\ +\frac12kC\int\limits_{f_c}^{f_c+m}A(w-f_c)\sin(2\pi wt+\varphi(w-f_c))dw$

Поменяв в первом интеграле пределы интегрирования местами (в результате чего изменится знак перед интегралом на противоположный), можно два интеграла объединить в один. Более того, туда же можно внести и первое слагаемое, описывающее сигнал несущей. При этом, естественно, подынтегральные функции амплитуды и фазы необходимо обобщить. Это всё делается условно и для более детальной наглядности, не вдаваясь в тонкости математического анализа. Таким образом, получится:

$S_{AM}(t)=\int\limits_{f_c-m}^{f_c+m}B(w)\sin(2\pi wt+\psi(w))dw,$

где

$B(w)= \begin{cases} \frac12kCA(f_c-w),\;\;\;(f_c-m)\leqslant w<f_c \\ C,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; w=f_c \\ \frac12kCA(w-f_c),\;\;\;f_c<w\leqslant (f_c+m) \end{cases}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$

$\psi(w)= \begin{cases} -\varphi(f_c-w),\;\;\;(f_c-m)\leqslant w<f_c \\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; w=f_c \\ \varphi(w-f_c),\;\;\;f_c<w\leqslant (f_c+m) \end{cases}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$

Таким образом, были введены новые кусочнозаданные функции (4) и (5), описывающие изменение амплитуды и фазы в зависимости от частоты. Глядя на компоненты функции (4), можно заметить, что третья компонента получена путём параллельного переноса функции $inline$ на $inline$ , а первая — ещё и с предварительным зеркальным разворотом. Множители-константы перед функциями, уменьшающие амплитуду, я не беру во внимание. То есть, в спектре АМ сигнала имеются три компоненты: несущая, верхняя боковая и нижняя боковая, что и было отражено в (4).

В заключение стоит отметить, что АМ можно описать, применяя более сложный подход, основанный на комплексных сигналах и комплексных числах. Обычный сигнал, о котором шла речь в этой статье, не имеет мнимой компоненты. Принимая во внимание представление с помощью векторных диаграмм на комплексной плоскости, сигнал без мнимой компоненты складывается из двух комплексных сигналов с обоими компонентами. Это очевидно, если представлять однотональный сигнал в виде суммы двух векторов, которые вращаются в противоположные стороны симметрично относительно оси x (Re). Скорость вращения данных векторов эквивалентна частоте сигнала, а направление — знаку частоты (положительная или отрицательная). Из этого следует, что частотный спектр сигнала без мнимой компоненты имеет не только положительную, но и отрицательную составляющую. И, конечно же, он симметричен относительно нуля. Именно при таком представлении можно утвердить, что в процессе амплитудной модуляции спектр модулирующего сигнала переносится по шкале частот вправо от нуля на частоту несущей (и влево тоже). При этом «нижняя боковая» не возникает, она в исходном модулирующем сигнале уже существует, правда располагается в отрицательной области частот. Звучит на первый взгляд странно, так как в природе, казалось бы, не существует отрицательных частот. Но математика преподносит немало сюрпризов.

Tags:

Hubs: