Операции над комплексными числами

В коментах к прошлой статье узнал больше о комплексных числах, чем из Ваших двух статей

Текст вида 'комплексные числа используются в уравнениях x и z и ещё много где' выглядит как отписка

Джон Дербишир. Простая одержимость

а φ — это arctg(y/x)

это неверно и очень грубая ошибка. arctg, если вы не знали, определен только в интервале от -pi/2 до pi/2
φ — это именно угол на комплексной плоскости
все ваши формулы, где есть этот пресловутый арктангенс — неверны
формулу Эйлера вы используете вовсю до того как ее обозначить
у вас ошибки при наборе формул (корень из модуля), неряшливая типографика, отсутствует последовательность в обозначениях (через «x» вы то обнозначаете действительную часть числа z конструкциями вроде z.x, то рассматриваете ее как самостоятельную переменную, например, в ф-ле Эйлера, — причём непонятно комплексная она или вещественная)

квадрат которой

не квадрат, а квадрат модуля

Любое комплексное число, например z = 6 + 8i можно представить как радиус-вектор:

На картинке видим x, y, r и фи… Вы явно пропустили слово очевидно.

Для работы с комплексными числами есть прекрасная фунция arg(x, y) (см Вики), где x и y это вещественная и мнимая части z, соответственно. Функция эта многозначная, т.е. для любой пары (x, y) существует счетное количество значений (отличающихся, очевидно, на 2pi).
Для вычислений давно изобрели atan2(y, x), которая возвращает угол с учетом знаков x и y. Иногда она обозначается как Arg(z).

Без правильного учета этого свойства вы не получите правильных корней из единицы; вместо n корней будет только 1.