Какие свидетельства могут убедить математиков, если строгого доказательства нет?

https://www.quantamagazine.org/without-a-proof-mathematicians-wonder-how-much-evidence-is-enough-20181031/
  • Translation

Новая статистическая модель, кажется, подрывает давно принятые предположения из теории чисел. Насколько ей можно доверять, если на самом деле имеет значение только строгое доказательство?



Какие точки на эллиптической кривой y2 = x3 – 4x + 1 рациональные? Чтобы их найти, нужно провести прямые через пары рациональных точек. Все точки, через которые проходят прямые, также будут рациональными.

Недавно четверо исследователей придумали модель, переворачивающую с ног на голову весь здравый смысл их области исследований. Они использовали данные вычислений, позволяющие предположить, что преобладающее несколько десятилетий мнение об одной из фундаментальных концепций было ошибочным.

И это не биологи, климатологи или физики. В их научной области эмпирические модели не имеют права голоса касательно истины. Они – математики, представители дисциплины, чья стандартная валюта – неоспоримое логичное доказательство – обычно избавляет их от дебатов, поражающих другие области. И всё же вот они, со своей моделью, говорящей, что, вероятно, пришло время пересмотреть некоторые давнишние представления.

Модель, опубликованная в онлайне в 2016 году, и готовая появиться в журнале Journal of the European Mathematical Society, относится к такой почтенной математической концепции, как ранг алгебраического уравнения. Ранг – это мера, соответствующая тому, какое количество решений уравнения относится к рациональным числам, а какое – к иррациональным. У уравнений высокого ранга наборов рациональных решений больше, и они сложнее.

С начала XX века математиков интересовал вопрос, есть ли ограничения высоты ранга уравнения. Сначала почти все думали, что ограничение должно существовать. Но к 1970-м преобладающее мнение изменилось – большинство математиков стало считать, что ранг ничем не ограничен, что означает, что можно обнаружить кривые с бесконечно большими рангами. Так оно и повелось, хотя некоторые математики считали, что в поддержку этому мнению нет сильных аргументов.

«Люди очень авторитарно заявляли об отсутствии ограничений. Однако, когда начинаешь разбираться, оказывается, что свидетельства этому крайне слабые», — сказал Эндрю Грэнвиль, математик из Монреальского университета и Университетского колледжа в Лондоне.

Сегодня свидетельства говорят об обратном. Спустя два года после появления модели она убедила многих математиков в том, что ранг алгебраических уравнений определённого типа действительно ограничен. Однако не всем эта модель кажется убедительной. Отсутствие согласия поднимает вопросы, не часто касающиеся математических результатов – какой вес может иметь эмпирическое доказательство в области, в которой имеет значение лишь строгое доказательство?

«Не существует математического оправдания тому, что эта модель – именно то, что нам надо», — сказала Дженнифер Парк, математик из Университета Огайо, соавтор работы. «Кроме того, что с экспериментальной точки зрения много чего срабатывает».

От точки к точке


Если вам дадут уравнение, можно нарисовать на графике кривую его решений. Математики хотят знать, сколько из этих решений рациональны – принадлежат к типу чисел, которые можно выразить в качестве отношения двух целых чисел (1/2, -3 или 4483/929).

Рациональные решения тяжело находить систематически, но у математиков есть техники, работающие в определённых условиях. Возьмём уравнение x2 + y2 = 1. График решений этого уравнения представляет собой окружность. Чтобы найти все рациональные точки окружности, начнём с одного определённого решения – допустим, с точки, в которой x=1 и y=0. Затем проведём через эту точку линию, пересекающую окружность в одной другой точке. Если наклон нашей прямой рационален, тогда вторая точка пересечения также окажется рациональным решением. Рисуя линию, мы повысили число рациональных решений с одного до двух.



И незачем на этом останавливаться. Повторим процедуру, проведя прямую с другим рациональным уклоном через вторую рациональную точку – она пересечёт окружность в третьей рациональной точке. Продолжая так до бесконечности, мы в итоге найдём все рациональные точки окружности, коих бесконечное число.

И в случае с окружностью начать нужно лишь с одной точки, и можно найти их все. Количество рациональных решений, которое необходимо знать в начале для того, чтобы обнаружить все остальные, известно, как ранг кривой. Ранг – аккуратный способ описания бесконечного набора рациональных решений одним числом. «Это вроде как наилучший способ описания рациональных решений этих кривых», — сказал Бьорн Пуунен, математик из MIT, соавтор модели, совместно с Парк, Джоном Войтом из Дартмутского колледжа и Мелани Матчет Вуд из Висконсинского университета.

Окружность – это квадратичное уравнение, или уравнение второй степени («степень» обозначает величину самой большой из степеней членов уравнения). Уже больше ста лет математики знают, как находить рациональные решения уравнений второй степени.

Следующий тип уравнений – это эллиптические кривые, в которых присутствуют переменные, возведённые в третью степень. Эллиптические кривые существуют в наиболее привлекательной области математических исследований. Они сложнее уравнений второго порядка, поэтому их интересно изучать, но они не слишком сложные. Изменённая процедура рисования прямых всё ещё применима к эллиптическим кривым, но перестаёт работать с уравнениями четвёртого порядка и выше.

Эллиптические кривые бывают разных рангов. С некоторыми эллиптическими кривыми можно начать с одной рациональной точки, применить процедуру рисования прямых и не найти все рациональные решения. Вам, возможно, придётся добавить вторую рациональную точку, не связанную с первой. С ней вы начнёте новую процедуру рисования прямых, и найдёте баланс рациональных точек. Кривая, для нахождения всех рациональных точек которой вам надо изначально знать две рациональные точки, имеет ранг, равный двум.

Не существует доказанного ограничения высоты ранга эллиптической кривой. Чем выше ранг уравнения, тем обширнее и сложнее набор рациональных решений кривой. «Ранг каким-то образом измеряет сложность набора решений», — сказал Пуунен.

И всё же ранг ускользает от попыток математиков описать его теорией. Если вам дадут эллиптическую кривую, у неё не будет очевидного взаимоотношения между тем, как она выглядит, и тем, каков её ранг. «Если у меня есть эллиптическая кривая, и я немного подстраиваю коэффициенты, то её ранг радикально меняется, — сказала Парк. – Можно изменить коэффициент на единицу, и ранг прыгнет на миллион. Никто не знает, как ранги себя ведут».

Отсутствие общей теории принудило математиков отступить к тому небольшому набору свидетельств, которое у них имеется, чтобы высказывать догадки по поводу наличия ограничения на ранг. «Точка зрения такова, что ограничений у ранга нет, поскольку люди всё время находили всё большие и большие ранги», — сказал Грэнвиль. Текущий рекордсмен – эллиптическая кривая ранга 28, обнаруженная в 2006 году Ноамом Элкисом, математиком из Гарвардского университета.

Но затем появилась эта новая модель, и заявила, что практически наверняка это и есть конец пути.

Сюрприз на отметке в 21


Для изучения явлений слишком сложных или недоступных для прямого исследования учёные используют модели. Создав в лаборатории аналог чёрной дыры, у них может получиться узнать что-то о том, как ведут себя реальные чёрные дыры, без необходимости ходить по краю горизонта событий.

Математики делают то же самое. Хороший пример – изучение простых чисел. Математикам хочется узнать ответ на вопрос о простых числах-близнецах – существует ли бесконечное множество пар простых чисел, отличающихся на 2 (3 и 5, 11 и 13). Исчерпывающий ответ выходит за пределы их знаний, но они создали модели, предсказывающие частоту появления чисел-близнецов – и ответ, судя по всему, состоит в том, что они встречаются бесконечное количество раз.

Новая модель не изучает непосредственно сами эллиптические кривые. Она исследует такой математический объект, как ядро матрицы. Ядра относятся к эллиптическим кривым, как мыши к людям – не одно и то же, но их легче изучать, и можно надеяться, что они достаточно близки для того, чтобы можно было делать выводы об одних на основе экспериментов над другими. В частности у ядер есть своя версия ранга. Изучив распределение рангов ядер – у скольких ядер ранг равен 1, у скольких он равен 2, и так далее – четыре математика надеялись получить представление о распределении рангов у эллиптических кривых. По сути, они ставили на то, что распределение рангов ядер и эллиптических кривых похожи друг на друга.


Дженнифер Парк, Бьорн Пуунен и Мелани Вуд

«Тут вступает в игру прыжок веры, — сказала Парк. – Мы надеемся, что, возможно, существует ещё один набор математических объектов, гораздо более понятный, и обладающий тем же распределением рангов, что и эллиптические кривые».

Когда четверо исследователей проделывали эту работу, большая часть математиков считала ранг неограниченным. Однако модель поведала иную историю. Она говорит о том, что существует лишь конечное число эллиптических кривых с рангом более 21. А если их конечное количество, то у одной из них ранг будет наивысшим – что будет означать, что у ранга всё же есть верхняя граница. Когда четверо математиков увидели это, они поняли, что у них есть живой результат на руках.

«Это предсказание не совпадало с тем, во что все верили, по крайней мере, в чём они публично признавались, — сказала Вуд. – Никто не верил, что у рангов может быть ограничение».

Если для веры в модель требуется довольно серьёзный шаг, то когда модель сообщает о том, что здравый смысл был неправ, требуется шаг ещё больший. Однако довольно много свидетельств говорит в пользу этого результата. Эта модель основана на предыдущих моделях, созданных другими математиками, изучавшими разные свойства эллиптических кривых. Те модели выдержали испытание временем; некоторые из них предсказаний даже были доказаны.

«Никто не предлагал начать с нуля и сделать новую модель, — сказала Вуд. – Вопрос состоял в том, как обогатить существующие модели, в которые люди уже верят».

Ещё одна причина верить в модель состояла в том, что величина ранга в 21 не кажется какой-то произвольной границей. За десять лет до этого Грэнвиль создал другую модель, из которой также следовало, что должно существовать лишь ограниченное количество эллиптических кривых с рангом выше 21. Модель Грэнвиля вообще не была похожа на текущую – и то, что обе они выдали ранг 21 как значимый, был очень не похож на простое совпадение с точки зрения многих математиков.

«У нас есть две совершено разные эвристические модели и обе выдали одно и то же число, 21 – это удивило людей», — сказала Парк.

Возможно, наиболее убедительной причиной того, что модель кажется достойной доверия, стал тот факт, что другие её предсказания почти точно совпали с доказанными свойствами эллиптических кривых. Обобщённое заключение модели – существование конечного количества эллиптических кривых с рангом больше 21 – применимо ко всем эллиптическим кривым. Однако у них есть определённые семейства, для многих из которых математики уже определили границы рангов. Модель также предсказала значения рангов для многих из этих семейств, и её предсказания были похожими, или даже точно совпадали с теми границами, которые математики уже определили.

«Наши границы точно предсказали все те случаи, которые были изучены другими людьми, — сказала Парк. – Люди скептически слушают мои доклады, но когда я упоминаю другие совпадения, они очень сильно удивляются этому».

Между свидетельствами и доказательством


У модели есть большая поддержка, но не все ей верят, и она может оказаться неверной. Самый главный скептик – Ноам Элкис, гарвардский математик, поставивший рекорд ранга для эллиптической кривой. За десятилетия, прошедшие с тех пор, как он стал самым молодым штатным профессором Гарварда, он получил несколько результатов, указывающих на отсутствие границы ранга. «Моё мнение не менялось уже давно – я не считаю, что мы достаточно хорошо разбираемся в этом вопросе, чтобы поддерживать ту или иную гипотезу», — написал мне Элкис по почте.

Элкис считает, что модель может неверно сработать разными способами. Она учитывает случайно выбранные кривые, или кривые в каком-то смысле средние. Однако есть свидетельства, включая и исследования самого Элкиса, о возможности существования семейств эллиптических кривых, в каждое из которых входит бесконечное количество таких кривых, чьё поведение значительно отличается от поведения типичных кривых. «Эвристические модели, основанные на ожидаемом поведении случайных кривых, могут не рассказать всей истории по поводу экстремального поведения», — пишет Элкис.

Даже один из авторов модели не уверен в ней до конца. «Я бы сказал, что отношусь к ограниченности рангов, как агностик», — сказала Вуд. Она признаёт, что модель может оказаться неверной по причинам, озвученным Элкисом. Но если модель не справится с задачей, то потому, что не учла какие-то скрытые и неожиданные свойства эллиптических кривых. «Вопрос в следующем: если вы не верите в ограниченность рангов, в каком именно месте модель перестаёт работать?» – сказала Вуд.

«Скорее всего, они окажутся правы, если кто-то не придумает какой-то хитроумной причины, по которой они ошибаются. Понятия не имею, существует ли такая причина, или нет», — сказал Александр Смит, аспирант из Гарварда, работающий с Элкисом и изучающий ранги эллиптических кривых.

Авторы модели не возводят её значимость в догму. Они знают разницу между свидетельствами и доказательством, и понимают, что никакие горы первых не приведут к последнему. Но они считают, что их работа, по меньшей мере, даёт разумное основание для размышлений по поводу базовых математических концепций после столетия простых рассуждений.

«Возможно, поиски эллиптических кривых более высокого ранга служат своего рода вызовом для математиков», — сказала Парк. Или, возможно, математики «должны пересмотреть своё мнение по поводу того, во что мы верили, как в народную гипотезу».
Support the author
Share post

Comments 32

    +1
    ELI5 кто-нибудь?
      +1
      Так ответ на «Главный вопрос жизни, вселенной и всего такого» — 21, а не 42?
        0
        Все таки некое число, большее 21.
        +8
        21 — это половина ответа!
          +2

          А ведь говорят же, что правильно сформулированный вопрос содержит в себе половину ответа… Мы на верном пути, товарищи!

            +1
            Говорят, что половина ответа содержится в самом вопросе. Но вот только в данном случае как раз вопроса никто и не знает.
              0
              Пф. Я знаю вопрос: «Главный вопрос жизни, вселенной и всего такого»
          +3
          Истинные утверждения, которые невозможно доказать, могут существовать. Если утверждение не доказано, нельзя сказать может ли оно быть доказано или нет. Спасибо товарищу Гёделю…
            0
            Нет, товарищ Гедель как раз доказал, что все истинные утверждения доказуемы (completeness theorem). Теорема о неполноте немного про другое.
              0
              Формула является выводимой, если она истинна. Но не всякая формула выводима, разве нет?
                0
                Да, например, не тождественно истинные формулы невыводимы (soundness). Но только они тогда, как ни странно, не истинные, вопреки первой фразе из исходного комментария.
                +5
                Все истинные утверждения доказуемы в исчислении предикатов (completeness theorem). В арифметике и более сильных теориях уже нет. Тут даже не сила теории важна, а выразительность языка. Если в теории можно говорить о натуральных числах (или о словах в конечном алфавите), то она неполна.
                  0
                  Арифметика Пеано вполне себе выражается в исчислении предикатов, если расширить его схемой аксиом для индукции (чтобы не залезать в квантификацию по предикатам).
                    +3
                    Поверьте на слово специалисту по матлогике. Гёдель сначала доказал полноту исчисления предикатов (там можно доказать все содержательно истинные формулы), потом попытался доказать полноту арифметики и обнаружил, что она неполна. Содержательно, если в теории можно говорить о словах в конечном алфавите, то в ней можно говорить и о её собственных формулах (которые тоже слова в конечном алфавите). Дальше хитрым трюком строится формула, говорящая что-то о себе самой, она оказывается не доказуема и не опровержима. Что-то вроде парадокса лжеца, но хитрее.
                      0
                      Так зачем так сложно, если мы о неполноте говорим? Достаточно рассмотреть более простую (без индукции) теорию натуральных чисел, которая окажется неполной в FOL.

                      Ну и да, насколько я знаю, там доказательство через неразрешимость множества формул этой теории, из которых выводятся все остальные, и, соответственно, через неперечислимость всех истинных формул. То есть, нет соответствующего алгоритма, не более.

                      А так-то я в матлогике дно, прост книжки всякие читаю на досуге. Так что интересно, где и что я не понимаю правильно.
                        0
                        Если начать с исчисления высказываний: там есть таблицы истинности и формула может быть «общезначимой на таблицах истинности» и есть правила вывода, позволяющие некоторые формулы доказывать. Довольно легко проверить, что все доказуемые формулы общезначимы (надо проверить, что все правила вывода из общезначимых формул получают опять общезначимые), это soundness (всё, что можно доказать, истинно в содержательном смысле). В обратную сторону, что все общезначимые формулы доказуемы (completeness), проверить труднее. Можно, например, использовать дизъюнктивные (или конъюнктивные, всё равно) нормальные формы. Для общезначимой формулы в д.н.ф. сравнительно легко понять, как её доказывать. Это первым сделал, кажется, Пост в 20-е годы. Гёдель доказал аналогичную теорему о полноте для исчисления предикатов, там формула «общезначима», если она верна при любой интерпретации входящих в неё предикатных символов. Все общезначимые формулы доказуемы в исчислении предикатов, мы не упустили никаких важных логических законов, когда выписывали исчисление предикатов.
                          0
                          Это как раз понятно.

                          Равно как и понятно, что если у вас есть теория, из которой не выводится некоторая формула и не выводится её отрицание, то она неполна, только и всего (можно, например, взять теорию упорядоченных множеств и формулу, показывающую всюду плотность — в некоторых интерпретациях она истина, в некоторых — ложна, но каких-то громких слов из этого не следует).

                          Тогда остаётся непонятным, о чём спор :)
                    0
                    Вы снова вернули мне веру в себя, а то я уже думал что что-то не так понял! Есть хорошие книги на эту тему для полных профанов?
                      +2
                      Вот в этих двух архивах
                      www.mediafire.com/download/cn7hskh3t3w1uto/djvu.rar
                      www.mediafire.com/download/4g54uiij5yvezu8/pdf.rar
                      почти все книги по матлогике, изданные в СССР (и некоторое количество философской фигни, вроде Зиновьева). Собирал один энтузиаст уже давно, сейчас многое есть в лучшем качестве на libgen. Попробуйте почитать Клини «Введение в метаматематику» и Колмогоров, Драгалин «Введение в математическую логику». Если не понравится, попробуйте всё остальное (но книга Гильберта и Бернайса столетней давности как учебник уже не годится). Клини однажды приезжал в Советский Союз и его водили в сберкассу МГУ получать гонорар за книгу. Клини спросил «Какой тираж?», ему сказали «десять тысяч». Клини офигел и сказал «У вас десять тысяч математических логиков???»
                0
                большинство математиков стало считать, что ранг ничем не ограничен, что означает, что можно обнаружить кривые с бесконечно большими рангами.
                С каких пор оно это стало означать? Значения функции y=x² тоже не ограничены сверху, однако это не означает, что существует x, для которого y имеет бесконечное значение. Или под «бесконечно большими рангами» подразумеваются «сколь угодно большие»?

                Однако модель поведала иную историю. Она говорит о том, что существует лишь конечное число эллиптических кривых с рангом более 21. А если их конечное количество, то у одной из них ранг будет наивысшим – что будет означать, что у ранга всё же есть верхняя граница.
                Не увидел логической связи. «Конечное количество» вполне может означать: две кривых с рангом 22, три кривых с рангом 42 и десять кривых с рангом ∞.
                  0
                  Мне кажется, здесь удачнее перевести как «представляется возможным»…
                  But by the 1970s the prevailing view had shifted — most mathematicians had come to believe that rank was unbounded, meaning it should be possible to find curves with infinitely high ranks.

                  … и «могло бы означать»:
                  If there are only finitely many of them, one of them has to have the highest rank in the bunch — which would mean that rank is bounded after all.
                    0
                    Мне кажется, здесь удачнее перевести как «представляется возможным»…
                    Так результат же не меняется. Что так, что эдак, а возможность бесконечного ранга из приведённого текста никак не следует.

                    … и «могло бы означать»
                    А тут, на мой взгляд, просто согласование глагольных форм. «Если А, то Б, в каковом случае было бы В.» «Would» — не для обозначения возможности, а как условная форма.
                    0

                    Если считать, что имеются в виду "сколь угодно большие" ранги, то по второму вашму пункту проблем нет: две кривых с рангом 22, три кривых с рангом 42 и десять кривых с рангом 7654467899422 (большое, но конечное число, являющееся верхней границей).

                      0
                      Дело в том, что может быть так, а может быть эдак. Предложение сформулировано в причинно-следственной форме, тогда как по факту этой связи там нет. Ранг может быть как конечным (пусть и сколь угодно большим), так и бесконечным; и для обоих случаев возможна ситуация, когда кривых с рангом, превышающим 21, конечное число (для конечного ранга ваш пример, для бесконечного ранга — мой).

                      Возможно, отсутствующие связи имеются в исходной работе, но в таком случае статья должна хотя бы упомянуть об этом, а не подсовывать неадекватные логические цепочки.
                        +1
                        Я не могу понять, о чём вы тут спорите, если определение ранга эллиптической кривой свободно доступно в википедии, и из него очевидно, что ранг всегда конечен
                          0
                          OK, спасибо за наводку (я до этого пытался нагуглить, но подходящих статей сходу найти не удалось). В таком случае к статье остаётся претензия по отсутствию явного упоминания этого факта и по использованию термина «кривые с бесконечно большими рангами», что совсем не равносильно «кривым со сколь угодно большими рангами».
                      +1
                      Ранг эллиптической кривой — это по определению целое число, бесконечным он быть не может
                        0
                        В определении, сказано размер множества независимых «примитивных» рациональных чисел, из которых строится множество остальных рациональных решений. Это множество вполне может быть и бесконечным.
                          0
                          Не может. В этом и состоит содержательное утверждение теоремы Морделла
                      0
                      Парк — это мужчина или всё-таки женщина?
                        0
                        Она же Дженнифер Пак.

                      Only users with full accounts can post comments. Log in, please.