Comments 41
Вот интересно, «100% кривых особого рода» — это «все» или все-таки «почти все», т.е. множество неподходящих кривых имеет нулевую меру?
Тут, мне кажется, не совсем обычные проценты, когда речь идёт о бесконечностях. Вот, например, сколько процентов занимают рациональные числа от вещественных? Или удобнее будет спросить какой процент от комплексных занимают вещественные? Вспомнив поле комплексных чисел и линию вещественных на нём, очевидно, что 0%, тем не менее чисто вещественные числа всё-таки встречаются в комплексных.
Ну я примерно о том же. Мера множества вещественных чисел на комплексной плоскости, вообще говоря, ноль, то же про меру множества рациональных чисел на числовой прямой. (Лебега, что ли, мера — «обычную» меру оба множества не имеют)
С бесконечностями все совсем плохо. Ведь можно показать, что комплексных чисел столько же, сколько вещественных.
Меня обуревают противоречивые чувства — статья крайне увлекательна, но совершенно непонятна.
Это она ещё довольно простым языком написана. Буквально на пальцах. Математики во всю используют собственный «японский» с мерами, мощностями, ординалы, кардиналы, многообразия, а когда появились компьютеры придумали машину Тьюринга и понеслось: вычислимость (проблема останова), односторонние (?) функции (криптосистемы), хеш-суммы, дискретизация и сглаживания, энтропия (!) и прочая дичь. Но это ещё цветочки по сравнению с диким матоаном, фуаном и совершенной лабудой в квантовой механике: мнимые числа покажутся буквально реальными и осязаемыми.
А меня слегка расстраивает то, что Mathematica и Mapple рисуют только верхнюю, положительную часть графика и я не знаю как построить всё)
Просто постройте два графика, один sqrt(x^3+1) и один -sqrt(x^3+1)
Или подставьте зеркало) https://m.habr.com/post/33
А что значит
Я могу понять, что дробь X/0 действительно неоднозначна, но какие еще числа не могут быть выражены в виде дроби? Или, когда говорится точка, подразумеваются не числа координат?
большая часть точек, через которых она проходит, не будут рациональными. Эти точки нельзя выразить в виде дробей, пусть даже сколь угодно сложных?
Я могу понять, что дробь X/0 действительно неоднозначна, но какие еще числа не могут быть выражены в виде дроби? Или, когда говорится точка, подразумеваются не числа координат?
Я могу понять, что дробь X/0 действительно неоднозначна, но какие еще числа не могут быть выражены в виде дроби?
Корень из двух, например, не может.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C_%D0%B8%D0%B7_2#%D0%94%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%B8%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8
Если говорят, что число нельзя представить в виде дроби, то обычно подразумевают, что у такой дроби должен быть целый числитель и натуральный знаменатель.
Смотрите, числа 3/0 не существует. Т.е. его просто нет. А число корень из 2 существует, просто оно не выразимо в виде рациональной дроби. Но число существует, понятно и определено. Мы просто не можем его записать такой формой записи.
Пи, золотое сечение, корни из простых чисел, экспонента — любые иррациональные числа (по определению).
Очень интересно, но как это применить к реальной жизни?
Изначально многие объекты в математике возникают просто потому, что математикам интересно их изучать. Конкретно эллиптические кривые используются повсеместно в криптографии. Чтобы криптографическая схема на эллиптической кривой была достаточно стойкая, требуется, чтобы «группа точек» на этой кривой была «достаточно хорошей». Поэтому всё, что касается группы точек, представляет некоторый интерес со стороны практики: даже если эти методы и не могут быть применены напрямую для изучения необходимых в криптографии кривых (а они там, вообще говоря, рассматриваются над конечными объектами — полями Галуа, а не над всеми рациональными числами), то всё равно могут навести на новые идеи.
— Ты, наверное, думал, что математика — это то, что вам рассказывают в школе, — продолжил Евгений Евгеньевич. Он покачал головой. — Нет, вот, — он указал пальцем на формулы в книге, — истинная математика. Если ты хочешь по-настоящему понять квантовую физику, то начать тебе следует с этого. Гелл- Ман предсказал существование кварков с помощью красивой математической теории.
Эдуард Френкель, «Любовь и математика».
У кого есть про-аккаунт на вольфраме? Игрался игрался и нашел такую занятную штуку:
Теперь сгораю от любопытсива как в ней дырки устроены. Не понятно с ракурса по умолчанию. А повернуть на бесплатном не дает.
plot3d z*y^2 = x^3 − x+z, x=-2..2, y=-2..2, z=-2..2Теперь сгораю от любопытсива как в ней дырки устроены. Не понятно с ракурса по умолчанию. А повернуть на бесплатном не дает.
Круто! Спасибо.
Прекрасно же!
А это разрыв такой в вертикальной плоскости или просто глюк построения?
Кстати, почему-то графики в Mathematica и Mapple при прочих равных весьма отличаются.
Заголовок спойлера
Я использовал Графер из Макоси. Просто перенес y^2 в правую часть. У вас немного другие уравнения, надо будет поглазеть на графики.
Ну, уравнение то же, ведь z*y^2 = x^3 − x+z преобразуется в z=(x^3-x)/(y^2-1).
А зачем вы убрали +z и добавили -1? В таком виде картинка меняется радикально. Кстати, уравнение без переноса y^2 выглядит без разрыва по середине.
Смотрите, исходное выражение z*y^2=x^3−x+z
1) Переносим z влево: z*y^2-z=x^3-x
2) Выносим z за скобки: z(y^2-1)=x^3-x
3) Делим левую и правую часть на выражение в скобках: z=(x^3-x)/(y^2-1)
1) Переносим z влево: z*y^2-z=x^3-x
2) Выносим z за скобки: z(y^2-1)=x^3-x
3) Делим левую и правую часть на выражение в скобках: z=(x^3-x)/(y^2-1)
3) Делим левую и правую часть на выражение в скобках: z=(x^3-x)/(y^2-1)
На ноль делить нельзя
Мы делим не на 0, а на переменную, вы чего, это же 5-й класс. Например, x*y=1 равносильно y=1/x или x=1/y.
Мы делим не на 0, а на переменную
Которая может быть равна нулю. То есть ваше выражение эквивалентно исходному только при условии y^2-1 != 0.
Например, x*y=1 равносильно y=1/x или x=1/y.
Угу, а 2*2=5 потом :)
То есть ваше выражение эквивалентно исходному только при условии y^2-1 != 0.
Оно эквивалентно исходному в любом случае. Но из этой формы легко следует, что плоскости y=1 и y=-1 не входит в область определения функции. Что при исходной записи далеко не так очевидно.
Например, x*y=1 равносильно y=1/x или x=1/y.
Угу, а 2*2=5 потом :)
Это тонкий троллинг?)
Оно эквивалентно исходному в любом случае.
Нет, не эквивалентно.
Но из этой формы легко следует, что плоскости y=1 и y=-1 не входит в область определения функции.
Так в том и дело, что они входят. Если мы в оригинальное выражение z*y^2=x^3−x+z подставим y=+-1, получится z=x^3−x+z => x^3−x = 0 => x = +-1,0
получаем шесть прямых, которые являются решением исходного уравнения, но не являются решением вашего.
Здесь важный нюанс. Формально Y=±1, X=±1,0 и любое Z являются корнем решения уравнения. Но вот функция Z(x,y) на при данном Y не определена. И это видно, что при данных значениях z «пропадает». Если вы выведете функцию Y(x,z), то появится ещё одно ограничение z≠0, хотя из уравнения это также не очевидно.
Если знаменатель равен нулю, достраиваем по остатку уравнения «числитель=0», заодно проверяем исходное в этих точках. Готово.
Объясните пожалуйста, как строятся графики на картинке?
Не понятно почему y^2 могут иметь отрицательные значения, и почему х не могут быть меньше показанных на графике.
Не понятно почему y^2 могут иметь отрицательные значения, и почему х не могут быть меньше показанных на графике.
Можно в качестве примечания переводчика пару слов о том, зачем это надо? И предпочтительно услышать конечное применение для людей, а не для другой абстрактной задачи.
Мой мир никогда не будет прежним
Sign up to leave a comment.
Новое доказательство демонстрирует существование двух видов бесконечных кривых