Математика в Gamedev по-простому. Триангуляции и Triangle.Net в Unity

    Всем привет! Меня зовут Гриша, и я основатель CGDevs. Математика – очень крутой инструмент при разработке игр. Но если скажем без понимания векторов и матриц обойтись в принципе сложно, то алгоритмы триангуляций не столь обязательная вещь, но с помощью них решается достаточно большое количество интересных задач. Сегодня хотелось бы поговорить про достаточно важный инструмент в вычислительной геометрии, такой как триангуляции и их применение в игровой индустрии. Кроме того, я написал порт и немного обёрток великолепной библиотеки Triangle.Net для Unity. Если интересно – добро пожаловать под кат. Ссылка на гитхаб прилагается.



    Что такое триангуляция?


    В общем случае триангуляция – это разбиение геометрического объекта на треугольники. Это понятие само по себе довольно простое. Базовый пример триангуляции в случае игровых движков – это меш. Строго говоря меш может состоять не только из треугольников, но в игровых движках по целому ряду причин берутся именно меши, состоящие из треугольников.



    Триангуляции бывают разными, но один из самых популярных видов триангуляций является триангуляция Делоне. Этот вид триангуляции отличается тем свойством, что в окружности, описанной вокруг каждого треугольника, лежат только вершины этого треугольника.



    Зачем они нужны?


    В целом за пределами игровой индустрии с помощью триангуляций решается большое количество задач. В геймдеве же первая задача, которая приходит на ум – это navigation mesh. Навмеш – это структура данных, которая определяет, по какому пространству игрок может ходить. Он позволяет избежать таких сложных вычислительных задач, как определение столкновений с частью окружения.

    Вторая интересная задача, решаемая с помощью триангуляции Делоне в геймдеве – это генерация террейнов и объектов представленных в виде множества точек. Основным плюсом триангуляции Делоне в данном случае является то, что исходя из её свойств она позволяет избежать очень острых треугольников, которые будут мешать и создавать артефакты на тиррейне.



    Помимо этого, с помощью триангуляции Делоне с ограничениями и таким алгоритмам как Chew's second algorithm и Ruppert's algorithm можно генерировать сетки ещё лучше для тиррейнов и генерировать хорошие сетки для другого применения – метода конечных элементов.

    Сам по себе метод конечных элементов, это один из методов с помощью которого решаются задачи прикладной физике. В геймдеве он позволяет решать многие задачи, связанные с симуляцией деформаций, жидкостных симуляций и другого используемого для спец. эффектов. Обычно для записи эффектов в анимации, так как для реалтайма метод обладает слишком высокой вычислительной сложностью. Важной деталью при использовании метода является то, что ошибка метода зависит от углов треугольников в сетке. При наличии в сетке очень острых углов метод даёт огромную ошибку, по этой причине нужны алгоритмы, перечисленные выше.



    Ну и конечно же в целом процедурная генерация мешей. Как пример в гитхаб проекте приведена сцена с возможностью рисовать меши. Некоторые физические головоломки используют это применение, как основную механику. Но кроме того алгоритмы триангуляции позволяют с помощью процедурной генерации решать такие задачи, как процедурная разрушаемость и прочее.

    Помимо геймдева триангуляции используются в сетях, компьютерном зрении, различных аналитических алгоритмах, а так же в каких задачах вычислительной геометрии, как объединение и исключение многоугольников друг из друга (что бывает полезно часто и в задачах возникающих при разработке игр)

    Ear Clipping with Holes




    Пожалуй, один из самых простых алгоритмов триангуляции. Даёт не лучшую сетку и обладает большой вычислительной сложностью О(n^2) в худшем случае.

    Подробнее про него можно прочитать в этой статье

    Bowyer–Watson algorithm




    Алгоритм, генерирующий триангуляцию Делоне по набору точек. В целом, как и у большинства алгоритмов Делоне при правильной реализации алгоритмическая сложность O( n log n), где n – количество вершин. Но в некоторых случаях может занимать O(n^2).

    Минусами относительно Ear Clipping является то, что данный алгоритм строит выпуклую триангуляцию и в базовой реализации не предполагает дыр в получившейся сетке.

    Обработка триангуляции Делоне (Delaunay refinement)




    Chew's second algorithm и Ruppert's algorithm – это алгоритмы, которые позволяют вводить ограничения в триангуляцию Делоне и задать минимальный угол треугольника в сетке. Важной деталью алгоритмов является то, что они могут уйти в бесконечный цикл и гарантировано дают результат при углах между примерно 20.7 градусов и 29 градусов. Возможность задать минимальный угол важна при решении задач, описанных выше.

    Chew’s second algorithm реализован в бесплатном пакете www.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html и его порте на .Net archive.codeplex.com/?p=triangle

    Triangle.Net для Unity


    Ну и раз уж с помощью триангуляций можно решать так много крутых задач, то на праздниках захотелось реализовать свою обёртку для Unity, чтобы всегда иметь под рукой удобный инструмент. В данной реализации алгоритм триангуляции в среднем работает за O(n), а в худшем за O(n * log n) – где n-количество вершин. К примеру, при тесте на 1кк вершин случайно разбросанных по квадрату юнити в редакторе на Intel Core i7-8700 строило сетку в среднем за 7.56 секунд.

    Основные отличия от оригинальной библиотеки в наличии методов расширений заточенных под Unity, а так же замена double на float во всей библиотеке (+ пара определённых операторов для каста) Double в юнити не имеет особого смысла. Если считать физические симуляции, то я бы использовал отдельное приложение на плюсовой библиотеке, а результат вычислений уже отдавал Unity чисто для визуализации. А также переименован тип Mesh на TriangleNetMesh, чтобы не сбивать относительно Mesh из Unity. Да, они и так в разных неймспейсах, но тем не менее думаю новичков немного сбивал бы тот факт, что мы с помощью одного Mesh получаем другой.

    Суть библиотеки в том, что вы сначала должны задать так называемый полигон. Потом на его основе сгенерировать уже меш. Для того, чтобы это работало с юнитёвыми структурами данных было введено несколько методов расширений.

    Пример использования
    public void GenerateMesh()
    {
    	if(_CurrentState != MeshDrawerState.Nothing) return;
    	Polygon poly = new Polygon();
    	poly.Add(_Contour);
    	foreach (var hole in _Holes)
    	{
    		poly.Add(hole, true);
    	}
    
    	var triangleNetMesh = (TriangleNetMesh) poly.Triangulate();
    	
    	GameObject go = new GameObject("Generated mesh");
    	var mf = go.AddComponent<MeshFilter>();
    	var mesh = triangleNetMesh.GenerateUnityMesh();
    	mesh.uv = GenerateUv(mesh.vertices);
    	mf.mesh = mesh;
    	var mr = go.AddComponent<MeshRenderer>();
    	mr.sharedMaterial = _MeshMaterial;
    
    	var collider = go.AddComponent<PolygonCollider2D>();
    	collider.points = _Contour.ToArray();
    
    	var rb = go.AddComponent<Rigidbody2D>();
    	rb.mass = triangleNetMesh.Triangles.Sum(tris => tris.Area);
    	Clear();
    }
    



    Для демонстрации и примера использования была сделана специальная демо-сцена с возможностью отрисовки мешей. С ней и портом библиотеки можно ознакомится в github проекте.

    Спасибо за внимание! Надеюсь, что порт и статья кому-то будут полезны и стало чуть понятнее, зачем нужны триангуляция и знание математики в целом. Буду стараться продолжать раскрывать применения и способы решения разных математических задач в геймдеве. В самой вычислительной геометрии ещё очень много интересного, но помимо ещё есть множество других интересных разделов высшей математики.
    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More
    Ads

    Comments 6

      0

      По np-задаче выпуклого разбиения 3д-мешей имеет смысл что-то искать? Или "специально обученный человек" ® дешевле всегда?

        +1
        Если ты про эту задачу codesuppository.blogspot.com/2011/05/hacd-hierarchical-approximate-convex.html я находил только частные случаи или разные реализации HACD. В целом зависит от требований, но если писать с нуля — «обученный человек» дешевле и лучше сделает, если не продавать само такое решение. Мало кому это надо в промышленных масштабах
        0
        спасибо, хоть понял немного, как новичок в юньке — информация важна, буду отслеживать)
          0
          Спасибо за статью. Пробовал для триангуляции Triangle.NET и poly2Tri — последняя библиотека понравилась больше,
          особенно в союзе с clipper (использовал для реализации динамического 2D навигационного меша).
          Избавление от double это правильно (тот же recastnavigation, который использует Unity3D, довольстуется float),
          но в некоторых случаях недостаточно — лучше полностью переходить на целые числа (как в AStarProject к примеру,
          где многие функции используют перегрузку с Vector2/Vector3 на Int2/Int3),
          особенно если код будет работать не только на клиенте.
            0
            Poly2Tri сильно слабее, и он генерит не очень хорошие сетки. Но он прям заточен под Unity, в отличии от Triangle.Net. Я использовал Poly2Tri в этом проекте — для такого норм. В целом зависит от конкретной задачи + лицензии тоже важны. Poly2Tri кажется под MSPL, а Triangle.Net — MIT. И MIT даёт больше возможностей по использованию.

            У меня сейчас есть идея поиграться с FEM (метод конечных элементов) в Unity, а для этого лучше иметь Delanay Refinement алгоритмы под рукой.

            Между этими двумя либами основная разница, что Poly2Tri сильно проще, но Triangle.Net в разы мощнее и позволяет решать большее число задач, так как судя по сетке Poly2Tri, у него под капотом Ear Clipping with Holes.
              0
              Согласен с Вами. Poly2Tri намного проще, собственно поэтому и использовал — мне было важно полностью понимать каждое действие — читал статьи + смотрел готовые реализации. По сути использовал связку Poly2Tri c Clipper в качестве «прототипа», потом все переписывал — в целом эта связка делала ту часть работы, которая нужна для построения динамического nav mesh, в основном первые этапы.

              По поводу построения сетки — там на самом деле много было проблем из-за float, переписывание на интах сильно помогает, особенно когда речь идет не просто о построении, а о последующем применении рейкаста к этой сетки (например движение персонажа, управляемого игроком при помощи джостика — в RTS с этим проще, там во многом достаточно pathfinding применить)

          Only users with full accounts can post comments. Log in, please.