Невозможная сковорода и другие победы плиток Пенроуза

Original author: Patchen Barss
  • Translation
image

В 1974 году британский математик Роджер Пенроуз создал революционный набор плиток, который можно использовать для заполнения бесконечной плоскости никогда не повторяющимся узором. В 1982 году израильский кристаллограф Даниэль Шехтман открыл металлический сплав, атомы которого были выстроены в порядке, никогда ранее не встречавшемся в материаловедении. Пенроуз достиг масштабного общественного признания, редко достающегося математикам. Шехтман получил Нобелевскую премию. Оба учёных бросили вызов человеческой интуиции и изменили основы понимания структуры природы, обнаружив, что бесконечная вариативность может возникать даже в высокоупорядоченной среде.

В фундаменте их открытий лежит «запрещённая симметрия», названная так, потому что она противоречит глубоко укоренившейся связи между симметрией и повторяемостью. Симметрия основана на осях отражения — всё, что есть с одной стороны линии, дублируется и на другую. В математике эта связь выражена паттернами замощения пространства. Симметричные формы, например, прямоугольники и треугольники, могут заполнять плоскость без пропусков и наложений, создавая постоянно повторяющийся узор. Повторяющиеся узоры называются «периодическими» и про них говорят, что они имеют «симметрию переноса». Если перемещать узор (паттерн) с места на место, он будет выглядеть одинаково.

Будучи смелым и амбициозным учёным, Пенроуз больше интересовался не одинаковыми паттернами и повторяемостью, а бесконечной вариативностью. Конкретнее, его интересовало «апериодическое» замощение, то есть наборы фигур, которые могут заполнять бесконечную плоскость без пропусков и наложений, а паттерн замощения при этом никогда не повторяется. Это была трудная задача, потому что он не мог использовать фигуры (плитки) с двумя, тремя, четырьмя или шестью осями симметрии — прямоугольники, треугольники, квадраты или шестиугольники — потому что на бесконечной плоскости они будут создавать периодические или повторяющиеся паттерны. То есть ему нужно было использовать фигуры, которые, как считалось, оставляют пропуски при заполнении плоскости — фигуры, имеющие запрещённую симметрию.

Для создания своей плоскости неповторяющихся паттернов Пенроуз обратился к пятиосевой симметрии — к пятиугольниуку, в частности потому, что, по его словам, на пятиугольники «просто приятно смотреть». Примечательным в фигурах Пенроуза было то, что хотя он получил эти фигуры из линий и углов прямоугольников, они не оставляли некрасивых пропусков. Они плотно прилегали друг к другу, изгибаясь и поворачиваясь на плоскости, всегда находясь близко к повторяемости, но никогда не достигая её.

Мозаика Пенроуза захватила внимание общественности по двум основным причинам. Во-первых, он нашёл способ генерации бесконечно меняющихся узоров всего из двух типов фигур. Во-вторых, его плитки были простыми, симметричными фигурами, которые сами по себе не выказывали никаких признаков необычных свойств.

image

Пенроуз создал несколько разновидностей своих апериодических наборов фигур. Одна из самых известных называется «змей» и «дротик». «Змей» выглядит как детский воздушный змей, а «дротик» — как упрощённый контур стелс-бомбардировщика. Оба чётко делятся по осям симметрии и каждый из них имеет на поверхности простые симметричные дуги. Пенроуз определил одно правило размещения фигур: для «правильного» размещения плиток эти дуги должны совпадать, создавая неразрывные кривые. Без этого правила «змеев» и «дротики» можно располагать в повторяющихся паттернах. Если соблюдать это правило, то повторения не возникают никогда. «Змей» и «дротик» бесконечно заполняют плоскость, танцуя вокруг своих пяти осей, создавая звёзды и десятиугольники, изгибающиеся кривые, бабочек и цветы. Фигуры повторяются, но в них появляются новые вариации.

Клинический профессор математики Эдмунд Харрисс из Университета Арканзаса, написавший докторскую о плитках Пенроуза, предлагает такое сравнение. «Представьте, что вы живёте в мире, состоящем из квадратов. Вы начинаете идти, и когда добираетесь до конца квадрата, следующий оказывается точно таким же, и вы знаете, что будете видеть, если продолжите двигаться бесконечно». Плитки Пенроуза имеют ровно противоположную природу. «Какой бы информацией вы ни обладали, какую бы часть паттерна ни видели, вы никогда не сможете предугадать, что встретится следующим. Всегда найдётся что-то, чего вы не видели раньше».

Один из любопытных аспектов апериодического разбиения плоскости заключается в том, что информация о позиционировании каким-то образом передаётся на большие расстояния — плитка Пенроуза, положенная в одном месте, мешает размещению других плиток в сотнях (а также тысячах и миллионах) плиток от неё. «Локальное ограничение каким-то образом создаёт глобальное ограничение», — говорит Харрисс. «Это предполагает, что ни в каких масштабах эти плитки не создадут чего-то периодического». Перед вами может встать выбор поместить, допустим, «змея» в одной области, или «дротик» в каком-то отдалённом месте. Подойдёт любая из плиток, но не обе.

image

Эти плитки, формирующие бесконечный неповторяющийся паттерн, выражают пропорцию Фибоначчи, также известную как «золотое сечение». Говорят, что два числа имеют золотое сечение, если отношение меньшего числа к большему такое же, что отношение большего числа к сумме двух чисел. В данном случае отношение площади «змея» к площади «дротика» составляет золотое сечение. Отношение длинной стороны «змея» к его короткой стороне тоже является золотым сечением.

Плитки Пенроуза также можно подразделить на меньшие версии самих себя. «Змей» состоит из двух «змеев» поменьше и из двух половинок «дротика». «Дротик» состоит из уменьшенного «змея» и двух половик «дротика». (В любом правильном замощении Пенроуза эти половины «дротиков» выравниваются друг относительно друга. С точки зрения математики это позволяет их считать целыми «дротиками».) «Допустим, у нас есть кусок мозаики Пенроуза, состоящий из A „змеев“ и B „дротиков“», — говорит Харрисс. «Если я их подразделю, то получу 2A+B „змеев“, и A+B „дротиков“».

Если проделать такую подстановку бесконечное количество раз, то можно подсчитать общую долю каждого типа плиток, как бы выложенных на бесконечной плоскости. В таких вычислениях повторяющийся паттерн всегда приводит к рациональному числу. Если доля является иррациональным числом, то это означает, что паттерн никогда на самом деле полностью не повторится. При вычислениях для плиток Пенроуза не только получается иррациональное число, их соотношение является пропорцией Фибоначчи — отношение «дротиков» к «змеям» равно отношению «змеев» к общему количеству плиток.

Учитывая то, что пропорция Фибоначчи повсеместно встречается в природе — от ананасов до популяций кроликов — ещё более странно, что эта пропорция является фундаментальной для системы замощения, которая, казалось бы, не имеет ничего общего с физическим миром. Пенроуз создал нечто новое в науке, интригующее именно там, что оно не должно работать так, как это делает природа. Это походило на то, как будто Пенроуз написал фантастический рассказ о новом виде животных, а потом зоолог обнаружил этот вид живущим на Земле. На самом деле, плитки Пенроуза связаны с золотым сечением, с изобретённой нами математикой, и математикой окружающего нас мира.

image

Взявшись за изучение запрещённой симметрии, Пенроуз не мог догадываться, что он стал частью сдвига мышления, который привёл к открытию новой области математической науки. В конце концов, симметрия фундаментальна и для чистой математики, и для мира природы. Астрофизик Марио Ливио назвал симметрию «одним из самых необходимых инструментв для расшифровки структуры природы». Природа использует квадраты и шестиугольники по той же причине, что и люди: они просты, эффективны и упорядочены. Если уж пятиугольники казались непрактичными даже для столь простой задачи, как заполнение плиткой пола в дизайне интерьеров, то, разумеется, считалось, что их невозможно использовать для создания атомов в твёрдых материалах наподобие кристаллов.

Кристаллы состоят из трёхмерных решёток атомов. Кристаллы растут, добавляя новые атомы и расширяя решётки. Это происходит наиболее эффективно, когда атомы выстраиваются в повторяющиеся паттерны. В течение десятилетий история на этом заканчивалась: кристаллы были повторяющимися структурами. Точка.

Но затем, в 1982 году, Шехтман ушёл в творческий отпуск из Университета Технион в Хайфе и начал работать в Национальном бюро стандартов. Он возился в лаборатории с алюминиево-марганцевым сплавом. Дифракционные картины, создаваемые его кристаллическими структурами, казалось, не походили ни на одну из стандартных симметрий, известных кристаллографам. На самом деле, атомы выстраивались в те самые пятиугольники, ромбы, «змеи» и «дротики», которые Пенроуз открыл в мире математики.

«Разумеется, я был знаком с плитками Пенроуза», — рассказывает Шехтман. Но он не имел никаких причин подозревать их связь с этим сплавом. «Я не понимал, что это такое. В течение следующих месяцев я снова и снова повторял свои эксперименты. К концу творческого отпуска я точно знал, чем это не является, но по-прежнему понятия не имел, что же это».

Чтобы понять, что он обнаружил, Шехтману, как и Пенроузу, пришлось подвергнуть сомнению привычные интуитивные представления. Ему пришлось принять запрещённую симметрию и её пятиугольную неразбериху с отсутствием повторяемости. Находясь в Израиле, он неохотно пришёл к признанию того, что обнаружил неповторяющуюся кристаллическую атомную структуру. Однако никто из мира материаловедения не мог поначалу отнести это открытие к кристаллам. Поэтому их назвали «квазикристаллами».

Причудливая математика Пенроуза как будто прорвалась наружу, в мир природы. «В течение 80 лет кристаллы определяли как „упорядоченные и периодические“ структуры, потому что все кристаллы, которые мы изучали с 1912 года, были периодическими», — объясняет Шехтман. «И только в 1992 году Международный союз кристаллографов организовал комитет для подбора нового определения слову „кристалл“. Это новое определение стало сдвигом парадигмы для кристаллографии».

Понять и принять открытие Шехтмана мешала не только простая инерция мышления. Апериодические кристаллические структуры были не просто незнакомыми — они считались неестественными. Вспомним, что расположение одной плитки Пенроуза может влиять на фигуры в тысячах плиток от неё — локальные ограничения создают глобальные. Но если кристалл формируется атом за атомом, то не должно существовать закона природы, создающего ограничения, свойственные плиткам Пенроуза.

Оказалось, что кристаллы не всегда формируются атом за атомом. «В очень сложных интерметаллических соединениях элементы огромны. Они не локальны», — рассказывает Шехтман. Когда большие фрагменты кристалла формируются одновременно, а не постепенным разрастанием атомов, расположенные очень далеко друг от друга атомы могут влиять на взаимное положение, в точности, как в плитках Пенроуза.

Как это бывает со многими табу, запрещённая симметрия получила признание как одна из допустимых форм существования в природе. Квазикристаллы не только стали объектом изучения новой области научных исследований: оказалось, что у них имеется множество полезных свойств, возникающих вследствие их необычной структуры. Например, их несимметричная конфигурация атомов обеспечивает им низкую поверхностную энергию, то есть к ним немногое может прилипнуть. Таким образом квазикристаллические покрытия начали использоваться в антипригарной кухонной утвари. (Когда Пенроуз создавал свои новые плитки, он и представить не мог, что они будут использоваться в кристаллографии, не говоря уж о жарке яиц.) Кроме того, квазикристаллы обычно обладают низким трением и износом, поэтому они являются идеальными покрытиями для бритвенных станков и хирургических инструментов, или любых других острых инструментов, касающихся тела человека.

image

Так как структуры квазикристаллов никогда не повторяются, они создают уникальные дифракционные картины электромагнитного излучения. Исследователей в области фотоники интересует, как они влияют на светопропускание, отражаемость и фотолюминесценцию. Если их охладить, то их электрическое сопротивление падает до почти нулевого уровня. Но также они поглощают инфракрасное излучение, благодаря чему очень быстро нагреваются до высоких температур. Благодаря этому они оказываются очень полезным дополнением к 3D-принтерам, в которых в качестве исходного материала используется пластиковый порошок. Шехтман объясняет: если примешать к нему квазипероиодический порошок и подвергнуть воздействию инфракрасного излучения, то квазипериодический порошок «чрезвычайно быстро нагревается и расплавляет окружающие его частицы пластика, из-за чего они склеиваются».

Никто не знает, как закончится история запрещённой симметрии. Математики продолжают исследовать свойства плиток Пенроуза. Квазикристаллы остаются объектом изучения и фундаментальных, и прикладных исследований. Но пока это путешествие было невероятным. За последние 40 лет пятиосевая симметрия превратилась из непрактичной в ценную, из неестественной в совершенно естественную, из запрещённой в господствующую. И за это превращение мы должны поблагодарить двух учёных, отказавшихся от привычных представлений, чтобы открыть примечательную новую форму бесконечных вариаций в природе.

Об авторе: Пэтчен Барс — журналист и автор из Торонто. В настоящее время он работает над книгой о взаимосвязи между чистой математикой и миром природы.
Support the author
Share post
AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 24

    +13
    Автору заслуженный плюс. Но, нередко, хорошая, но сложная статья получает мало комментариев — на самом деле трудно что-то добавить тем (многим), для кого материал нов. Спасибо!
      +3
      Смутное чувство что при описании мозаик Пенроуза перепутаны понятия повторяемость и периодичность.
        +3
        Кто хочет порисовать плитки сам, вот статья в которой объяснено как это сделать.
          +1
          А готовые сайты с возможностью интерактивно поиграться и помасштабировать такие замощения вам не попадались? Ещё здорово было бы наладить выпуск таких плиток для замощения пола IRL. Но. думается мне. уже кто-то подсуетился.
          0
          Кто хочет пособирать мозаики Пенроуза и квазикристаллы сам — вот конструктор Zometool, который поможет вам сломать мозг.
            +8
            Клинический профессор математики
            — норм должность.
              +2
              А существует ли прикладное применение мозаик Пенроуза в криптографии?
                0
                Спасибо! Очень интересно! Сказать спасибо по-другому кармы не хватает, увы.
                  0
                  Спасибо за статью. Совмещение визуализации с изложением математической сути — вот чего мне всегда не хватало при изучении математики. В графическом виде некоторые математические курьезы, интересные явления и абстракции завораживают гораздо больше, чем в численном.
                  Люди, равнодушные к математике, глухие к ней, всегда казались мне калеками! Они беднее на целый мир — такой мир! Они даже не догадываются, что он существует! Математическое построение — это безмерность, оно ведёт, куда хочет, человек будто создаёт его, а в сущности лишь открывает ниспосланную неведомо откуда платоновскую идею, восторг и бездну, ибо чаще всего она ведёт в никуда…

                  Станислав Лем
                  «Формула Лимфатера»
                    0
                    У меня у одного возникло желание иметь такую кафельную плитку в доме?
                      +2
                      Не знаю на счёт кафеля, но в нескольких местах такая плитка есть на полу. Например, в Оксфорде (на улице, перд входом в «Andrew Wiles Building») и в University of Western Australia, на полу.
                      +2
                      Спасибо! Теперь буду знать применение пятиосевой симметрии. Очень познавательно. Паркет из таких плиток станет золотым в силу своих пропорций ;)
                      Жаль, что карма не позволяет плюсануть.
                        +1
                        Мне нужен математик. Вопросы:
                        1) Каждая фигура имеет уникальный угол поворота?
                        2) Получается, эти узоры не что иное как графическое представление метода Кантора?
                        3) Самый важный вопрос. Насколько это дело формализуется и вычисляется? Если у меня есть некая плитка, как можно получить другую плитку на расстоянии n шагов. От чего зависит результат, только от одной плитки или от соседних тоже.
                        У меня давно зреют идеи иррациональных вычислений. Только сейчас подумал, что можно использовать Пенроуза
                          +1
                          1) Углы поворота кратны 36 градусам.
                          В статье «Тридцать шесть градусов красоты» представлена вся математика десятиугольной симметрии, принцип построения мозаики, все её виды, и текст готовой к запуску JS-программы. А в комментариях ссылки на интерактивные демонстрационные файлы.

                          3) Мозаика пенроуза повторяет принципы комбинации на различных уровнях масштаба. Причем, переход вниз, на более частный уровень однозначный, а при переходе вверх, на более общий уровень, существуют варианты, связанные с тем, что некоторые локальные комбинации могут входить в различные глобальные.
                          На удалении положения плиток зависит от того, как они входят в плитку на общем уровне, при последовательном определении каждого общего уровня могут быть варианты.

                          2) Мозаику пенроуза можно построить симметрично, и центр построить как «левый» центр, или как «правый» центр. В общем смысле это как выбрать число, цифры которого будут выбирать какой вариант построения выбран при расширении. «Правый» и «левый» это как «все цифры после запятой нули» и «все цифры после запятой девятки». Но существуют и промежуточные варианты, и их столько же, сколько самих чисел. И все они не могут быть наложены друг на друга потому, что как любые два различных числа имеют первую цифру с которой они различаются, так и различные мозаики начиная с некоторого уровня масштабирования перестают совпадать.
                            0
                            Только начал интересоваться, поэтому туплю. Короче, в этих мозаиках непериодические уровни, несмотря на то, что отдельные элементы имеют трансляционную симметрию, правильно я понял? Или вся мозаика в целом непериодична, то есть имеется абсолютная точка отсчета — центр, так? Просто мне трудно понять в чем именно заключается непериодичность.
                            Еще немного бреда: можно ли перевести мозаику в некую формальную систему? Начальное расположение — аксиомы. Тайлы — правила вывода. А всё что получается — теоремы.
                            Меня чет понесло в дебри, жаль не учился на математика :)
                              0
                              Всё вместе непериодично, но попадаются небольшие одинаковые куски.
                              Вот очень упрощённый пример: ABCDABEFGHI, кусочек AB повторился, но весь текст не периодичен.
                                0
                                ABCDABEFGHIABCDABEFGHI периодично же
                                  0
                                  Хм, нет, я показал небольшой кусочек последовательности, а вы её просто повторили. Продолжение же моей последовательности не такое. К примеру, пусть будет ABCDABEFGHIJKLMNZ.

                                  Если на этом примере не понятно, то вот другой. Число пи — иррациональное, с этим, полагаю, вопросов нет. В числе пи последовательность не повторяется и не имеет патерна (иначе бы пи было дробным, а не иррациональным). Но, тем не менее, в числе пи можно найти одинаковые куски. Вот пример:
                                  3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749
                                  44592307816406286208998628034825342117067982148086513282306
                                  64709384460955058223172535940812848111745028410270…
                                  Патерн «59» тут можно найти 3 раза. Можно поискать более длинные повторения и они найдутся. Но пи всё равно остаётся иррациональным, «непериодическим».
                                  Надеюсь, с таким примером понятнее.
                                    0
                                    А вот тупой вопрос — можно ли, используя факт наличия повторяющихся кусков, замкнуть мозаику Пенроуза на торе например?
                                      +1
                                      Нет (если она таки не имеет периода), поскольку если есть способ замкнуть мозаику Пенроуза на торе, то можно развернуть поверхность тора в периодически замощенную плоскость, что противоречит имеющейся информации об отсутствии периода у мозаики Пенроуза. Хотя если строить именно периодические структуры (ромбы из «змеев» и «дротиков» и ими мостить тор), то можно, но это уже не мозаика Пенроуза.
                                        0
                                        Думаю, можно, но придётся потрудиться. Идея такова: мозайка не имеет периода и повторений (глобально), но локально одинаковые куски можно найти. Значит вероятно можно найти что-то похожее на прямоугольник (с ломаной линией вместо прямых отрезков). Прямоугольник нужен такой чтобы его противоположные отрезки друк к другу подходили.
                                        А тор — это прямоугольник свёрнутый в рубочку, которую потом опять свернули. Не уверен, что без рисунка идея ясна, но как-то так.

                                        Это всё, если тор не бесконечный, конечно.
                                          0
                                          Условно говоря можно взять одну плитку, ромб, и раскатать по тору, но при чём ту мозаика пенроуза, которая в принципе не имеет периода повторения
                                          ?
                                            0
                                            Мозайка не при делах, да. Речь о том, что можно такой (немного кривой) подходящий ромб можно по идее найти в этой самой бесконечной мозайке.
                                  0
                                  Целые числа имеют ограниченное количество цифр. Дробные числа могут иметь бесконечность цифр. Место в мозаике описывается некоторым числом. Оно дробное, но мы привыкли, что чем дальше цифра в дроби, тем меньше она влияет, а здесь наоборот: чем дальше цифра (означающее выбор варианта группировки элементов при масштабировании), тем на большем масштабе её влияние. И хорошо, что существуют границы восприятия масштаба и мы можем на некотором этапе остановиться, и изобразить мозаику. При этом совершенно без понятия где находится центр, положением относительно которого должно было бы быть задано место изображаемого фрагмента. Но всё же, положение задано числом, с приемлемой точностью.

                            Only users with full accounts can post comments. Log in, please.