Comments 207
Для обычной математики следующая мощность, практически не нужна, обычно вся работа происходит со счетными множествами и множествами мощности континуума
Практически? А где все же нужна и как ее можно представить, может там какие-нибудь специальные числа. Например, при переходе от счетной к континуальной появились действительные числа.
Кстати, в обычной математике (вне анализа свойств континуума) вам нужны только вычислимые действительные числа, коих счетное число.
Чисел в принципе "счетное число", т.к. формул — счетное число. Можно доказать существование не более чем счетного числа объектов. Все остальные существуют только виртуально — вроде как у вас есть множество, которому эти объекты должны принадлежать, но сами эти объекты вы никак "пощупать" не можете, на самом деле их как бы и нет.
Я об этом и говорил. У нас просто есть некая интуиция "размера множества" и есть строгое понятие мощности. В конечных случаях определение совпадает с интуицией, и мы переносим этот факт автоматом на бесконечные случаи. Но бесконечные множества, в отличии от конечных, имеют внутреннюю структуру, которая может сохраняться либо нет. С-но, у нас может быть два неизоморфных (неравномощных), но одинаковых по размеру мн-ва (точно так же как может быть две одинаковых по размеру но неизоморфных группы).
нет. ваша парадигма вступает в противоречие с такой логической концепцией как "N + 1"
Ну или просто для удовлетворения любопытства («а что, если...» и понеслось).
до бесконечности бесконечное число раз
Элементарно, как в анекдоте про математиков.
К зданию, в котором проходит конференция по математике, подъезжает автобус, из которого выходит бесконечное (счетное) количество математиков. И все они заходят в здание. Если нумеровать зашедших математиков, то здесь вы досчитали до бесконечности один раз.
Далее, подъезжает ещё один автобус с математиками. Здесь остановился Чак Норрис.
Далее, подъезжает бесконечное количество автобусов. Вот вы и досчитали бесконечное число раз до бесконечности (омега в квадрате)
Проведите бесконечное количество конференций и получите омега в кубе.
А вот представить степенную башню из омег, содержащую омега этажей, уже сложно.
Спасибо за пояснение, введение конкретного физического смысла позволило досчитать до бесконечности ещё раз.
Проведите бесконечное количество конференций и получите омега в кубе.
Теперь мощность моего воображения заканчивается здесь. :(
Будет над чем помедитировать на досуге.
На любом отрезке числовой оси — да. Но если брать всю ось — то их одинаково. Все счётные множества имеют одинаковое количество элементов.
А я говорю про старый-добрый предел, в котором бесконечность — только возле стрелочки. И если религиозные представления запрещают писать =∞, то устремляться — всегда пожалуйста. «Для любого эпсилон есть такая сигма, что...» и т.д.
Что же до предмета спора, то математически корректно будет сказать, что чисел кратных пяти столько же, сколько и кратных десяти, но встречаются они в два раза чаще.
Количество элементов в множестве как бы не должно зависеть от порядка в котором мы их подсчитываем, иначе это уже не количество.
Я предлагаю начать с конечных множеств (например, в диапазоне от 0 до 100 сколько 5 и сколько 10) и устремить n к бесконечности. А вы предлагаете сравнивать поэлементно множество 5ок и множество 10ок. Если мы применим ваш алгоритм к конечному интервалу, то у нас просто не будет правильного ответа — ведь при подсчёте до 1000 и n=200 пятёрки всё ещё в искомом диапазоне, а 10-ки — уже вышли.
Вот например возьмите множество Кантора, подмножество отрезка длины (меры) 0 равномощно целому отрезку
Например, на интервале 0-1000 чего больше — 5 или 10?
Т.е. выражение ( ( n % 5 ) / (n % 10 ))` (% — челочисленное деление) у меня получается примерно 2 для любого большого n, устремляется к 2 при устремлении n к бесконечности, но почему-то равно 1 если n равно бесконечности. Так?
Т.е. выражение ( ( n % 5 ) / (n % 10 ))` (% — челочисленное деление) у меня получается примерно 2 для любого большого n, устремляется к 2 при устремлении n к бесконечности, но почему-то равно 1 если n равно бесконечности.
Для бесконечности это значение НЕ ОПРЕДЕЛЕНО
Получается, оно не должно противоречить наблюдению над конечными множествами.
И главное, как получается так, что выборка из конечных множеств даёт разную мощность, предел, уходящий в бесконечность, подтверждает соотношение, а мощности одинаковые, друг.
Напоминаю, что мне очень не хочется делать что-либо бесконечно много раз. Я уже один раз попробовал, и у меня (уже) не получилось, т.е. я за конечное число шагов убедился, что до бесконечности не досчитать.
У обоих 3.
Кстати, вы мне питон сломали.
>>> a = set([set(), set(set()), set(set(set()))])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: unhashable type: 'set'А вот тут вот эпикфейл:
>>> a = frozenset([frozenset(), frozenset(frozenset()), frozenset(frozenset(frozenset()))])
>>> a
frozenset({frozenset()})И да, питон по-своему прав,
>>> x=frozenset()
>>> y=frozenset(frozenset())
>>> x is y
TrueПолучается, оно не должно противоречить наблюдению над конечными множествами
Это почему это? Разумеется, бесконечные множества могут и должны обладать свойствами, которые возможны только для них, а для конечных множеств — ложны.
Более того, одно из определений бесконечности множества (бесконечность по Дедекинду — равномощность множества с собственным подмножеством) как раз абсолютно невозможно в мире конечныфх множеств
Мне кажется главное где вы заблуждаетесь это вот это:
оно не должно противоречить наблюдению над конечными множествами.
Разумеется, многие свойства бесконечных множеств явно противроечат свойствам конечных. Пример выше — возможность быть равномощным собственному подмножеству
Они там, конечно, ординалы, но один — в два раза больше другого. Что с точки зрения бесконечности мало, а с бытовой — вполне себе результат.
Т.е. я понимаю, что математическая нотация ищет фундаментальные различия между [0,..,∞) и [0,∞), но не стоит забывать и про бытовую интерпретацию бесконечностей.
Кстати, сложение двух отрезков — отличный пример, в котором бытовой здравый смысл и трансфинитивная риторика радикально расходятся в интерпретациях.
Кстати, сложение двух отрезков — отличный пример, в котором бытовой здравый смысл и трансфинитивная риторика радикально расходятся в интерпретациях.
А зачем применять теорию множеств там, где нужно использовать геометрию или алгебру? Биекция между двумя закрытыми интервалами — тривиальна, значит мощность у них одинакова. Длина двух отрезков равна сумме их длин.
То, что бытовое понятие мощности смешивает метрику и мощность множества в строгом смысле — это проблема бытового понятия, а не теории множеств. Нет?
На каждый атом гелия приходится 2 атома водорода. Чего больше во вселенной — водорода или гелия?
Куда лишний водород делся? Никуда — его как было бесконечно много, так и осталось.
Я ж не к тому, что мощности плохо. Я к тому, что не надо использовать понятие «мощности» для ответа на вопрос «чего больше?». Сравнение мощностей просто не даёт ответа на этот вопрос.
UPD: не «количества», а сравнения, «кого больше».
… А там родилось ещё одно интуитивное (бытовое) определение слова «больше» в контексте недостижимых бесконечностей (т.е. таких бесконечностей, до которых не надо досчитывать или преодолевать).
«больше» в контексте бесконечного или несчётного множества — это «плотность». В бесконечной вселенной на каждый атом гелия приходится два атома водорода. Мощности равны, но «водорода в два раза больше, чем гелия». Аналогично, «плотность кратных 5 в два раза выше, чем кратных 10, т.е. кратных пяти больше».
Что делать с умножением не знаю, но интуиция (бытовая) мне говорит, что для начала, я не смогу умножить все числа на 2, их же там бесконечно много.
В данном случае вы выступаете примерно как классические физики, которые указывали природе что в соответствии со «здравым смыслом» она должны вести себя так то и такто. Вы это делаете для математики.
Потому, что предел отвечает на вопрос: Что встречается чаще и во сколько раз.
А соотношение мощностей 1:1 говорит, что всего элементов в обоих множествах одинаковое количество.
Ну сейчас же разговор про "количество", а не про "мощность" :)
Ну а рассуждение «если для любого конечного N тото, то и для бесконечного тоже» неверно
Количество не работает для бесконечных коллекций
Точнее — не определено. С-но, если мы говорим о "количестве" элементов в бесконечном множестве (а точнее даже — о соотношении таких количеств), то мы вполне можем подразумевать не мощность, а что-нибудь другое. Почему бы, например, и не описанный выше человеком предел?
Ну а рассуждение «если для любого конечного N тото, то и для бесконечного тоже» неверно
Но оно как раз используется в интуиции мощностей: "если конечные разномощные множества имеют разный размер, то и бесконечные разномощные множества — тоже :)
А вот для бесконечных множеств так не получается.
Почему бы тогда не использовать подход, который в конечных цифрах позволяет дать ответ на этот вопрос, через предел? Напоминаю, что он не требует «досчитать» до бесконечности, достаточно показать «для любого эпислон» (из N).
Вот смотрите: мы берем и умножаем каждый элемент множества на 2… после чего их становится в два раза меньше. А если поделим на 2 — их станет в два раза больше! Так что ли получается?
Вот смотрите: мы берем и умножаем каждый элемент множества на 2… после чего их становится в два раза меньше. А если поделим на 2 — их станет в два раза больше! Так что ли получается?
Допустим, так. Тут есть противоречие?
Мой вопрос не в том, зачем люди трансфинитивную математику придумали и мощности бесконечных множеств, а в том, почему мой наивный вариант неверен. Я вполне серьёзно интересуюсь, потому что в моём представлении никакое расширение теории не должно противоречить более "примитивным" конструкциям.
Вот смотрите, где ошибка в утверждении:
для любого наперёд взятого положительного числа E найдётся отвечающее ему положительное число D(E) такое, что для всех n > D, выполняется неравенство: 2 — ( (n % 10 ) / (n % 5 ) ) < E.
Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!
Думаю многим и сейчас неочевидно, почему функция определена везде? Почему ее можно применить после бесконечного числа раз и самый главный вопрос, почему для после бесконечного числа итераций они вдруг не начнут совпадать, то есть операция powerset — просто не замкнется. Разве это все выражается в ZFC?
С помощью целых чисел мы можем создать вещественные
Мне кажется, что из этой фразы следует эквивалентность множеств целых и вещественных чисел, что, как известно, неверно.
Честно ничего не понял
Добавил в закладки, что бы потом снова прочитать и снова ничего не понять
И так N + 1 раз, где N бесконечность
Рассуждение от противного работает только для одного единственного предположения. Тут же вводятся 2, которые изначально противоречат друг другу:
- Для любого а из А есть ровно один б из Б, и наоборот.
- Существует такой а из А, который не равен любому соответствию б из Б в А.
А из противоречивых утверждений, как известно, можно сделать совершенно любые выводы. Кантор, в частности, решил, что (2) несомненно, а следовательно (1) ложно. Но с тем же успехом можно прийти и к противоположным выводам.
Но с тем же успехом можно прийти и к противоположным выводам.
Нельзя, т.к. 2 напрямую следует из аксиоматики.
Если вы про аксиому выбора, то она как ничто другое хорошо иллюстрирует то, что некоторые так сказать математики предпочитают изучать невидимых розовых единорогов, вместо того, чтобы заняться чем-то полезным.
Фактически она постулирует, что (2) истина и поэтому (1) ложно. Но с тем же успехом можно было бы постулировать и что (1) истина, из чего следовала бы ложность (2).
Вот вам самим что кажется более правдоподобным, что можно принять за базис рассуждений:
- Отсутствие чего-то не может быть больше или меньше отсутствия чего-то ещё.
- Всё, что можно описать, может существовать.
Если вы про аксиому выбора
Я в общем про ZFC.
Вот вам самим что кажется более правдоподобным, что можно принять за базис рассуждений:
Ни первое, ни второе. Есть аксиомы, есть правила вывода. Если формула, содержательно утверждающая существование чего-либо, выводится в рамках данной системы — то она выводится. Если не выводится — то не выводится. Но все это не совсем важно, поскольку:
- теорема Кантора утверждает как раз НЕсуществование определенного объекта. Конкретно — биекции между множеством и его булеаном. А существование утверждает как раз тот, кто говорит что такая биекция есть (или, что эквивалентно — несчетных множеств не бывает).
- Никакой аксиомы выбора для доказательства теоремы Кантора не требуется. Достаточно только аксиомы булеана и аксиомы выделения, без которых (или их содержательных аналогов) никакой вменяемой теории множеств просто нельзя построить
- исходя из вышесказанного — у вас каша в голове
Прям секта свидетелей Кантора какая-то. Впрочем, не буду учить вас жить. Вы имеете полное право верить в любой бред.
Теорема Кантора утверждает именно **существование** такого объекта в бесконечном множестве, который не равен любому элементу этого же множества.
А значит, этот элемент обладает двумя несовместимыми свойствами. Значит, он на самом деле не существует. Далее применяем метод «от противного»: существование выводилось из предположения, что множество и его булеан равномощны. Но существование невозможно, значит, и равномощность невозможна. Вам настолько не нравится метод «от противного», что Вы такими сложновывернутыми методами пытаетесь показать его некорректность?
Теорема Кантора утверждает именно существование такого объекта в бесконечном множестве, который не равен любому элементу этого же множества.
Нет, не утверждает. Она вообще ничгео не утверждает про элементы бесконечных мн-в. Теорема кантора утверждает, что если у вас есть два непустых множества X и 2^X, то между ними не существует биекции.
Вы же утверждаете, что биекция между ними есть. Или вы утверждаете, что нету самого мн-ва 2^X?
Вот это?
Представим множество (или же список, массив) всех положительных целых чисел, а затем представим число, соответствующее количеству чисел в нашем множестве. Представили? Если да, то что будет со множеством после добавления в него числа, равного количеству его элементов с прибавленной единицей? Если там уже есть все элементы, вспомним, что они могут быть отсортированы по возрастанию и тогда станет очевидным, что наибольший элемент равен количеству элементов в нашем множестве. Но если прибавить к количеству единицу, то мы получим элемент, которого в множестве нет, значит вроде бы представить такой список нельзя, ведь каждый раз будет всплывать вопрос о новом элементе.
Ошибка тут в том, что во множестве всех натуральных чисел нет максимального элемента. А значит нет и натурального числа равного количеству элементов во множестве натуральных чисел. Кроме того в вышеприведенном рассуждении смешиваются ординальные и кардинальные числа.
До Кантора в девятнадцатом веке и ранее это было бы простительной ошибкой. Сейчас это — недостаток знаний.
Аксиоматическое введение трансфинитных чисел и алефов не приводит к противоречиям. Можно сказать: "Я не верю в актуальные бесконечности", и отвергнуть аксиому существования бесконечных множеств, как делают финитисты, но доказать несуществование бесконечных и несчетных множеств не получится.
Вот это?
Не это, продолжайте чтение :-)
Я не верю в актуальные бесконечности", и отвергнуть аксиому существования бесконечных множеств
Какой интересный переход. Уверен, вы в курсе термина "потенциальная бесконечность".
но доказать несуществование бесконечных и несчетных множеств не получится.
В той же мере, что и доказать, что бога нет.
Мне неинтересно играть в угадайку. Покажите где там вывод противоречия из аксиом Цермело — Френкеля или что-то аналогичное. Я ничего похожего там не увидел.
В треде же чуть выше, где вам дали ссылку на доказательство Кантора и попросили указать ошибку (что было бы, вероятно, самым эпичным событием в математике за тысячу лет), вы пишете, что там картинка неправильная, т. е. троллите.
Как вы сделали такой странный вывод из этой статьи?
Почему это не работает для ZFC, это хороший вопрос. Мне самому надо подумать. По моему потому что и так в любой ветке ZFC уже неконструктивна (в математическом смысле) какие аксиомы или их отрицания не добавляй (например, попытка отказаться от Axiom of Choice заменой ее на Axiom of Determinancy избавляет от одних парадоксов, но добавляет свои)
ЧТо касается вещественных чисел — то это зависит от того, как их вводить. Но скорее всего их можно вводить либо формально через ZFC, либо с помошью разного рода правдоподобных рассуждений, что ставит нас на зыбкую почву теорий второго порядка?
Для того, чтобы это было так, нужно чтобы из существования контрпримера следовала доказуемость его существования. А это не так даже для гипотезы Римана: на множестве комплексных чисел континуум точек, но только счётное число точек является вычислимым. Все остальные точки мы не можем записать аналитически, а значит их нельзя использовать как контрпример в доказательстве.
Для того, чтобы это было так, нужно чтобы из существования контрпримера следовала доказуемость его существования.
А "существование контрпримера" — это что? Не совсем понятно, как можно говорить о том, что что-то существует, если существование не доказано. В каком тогда смысле оно существует?
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%80%D0%B4%D1%91%D1%88,_%D0%9F%D0%B0%D0%BB
Лучше прочтите по англ полный вариант, как он приезжал к знакомым математикам, говорил «мой разум открыт» и его кормили, а потом он предлагал назвать ему, куда ехать дальше… И все его имущество состояло из чемоданчика…
Единственное, почему бы я не хотел поменяться с ним судьбой — у него вроде не было женщин.
Поэтому сам ординал omega называется предельным (limit ordinal)
Допустим, множество мощности алеф-нуль — это множество чисел. Тогда алеф-1 состоит из множеств и содержит {}. Далее, {{}} не лежит в алеф-1, но лежит в алеф-2. Тогда {{...{{{}}}...}} (пропущено бесконечное количество скобок) лежит в алеф-омега и не лежит ни в каком предыдущем.
omega+1 это successor ordinal, и он имеет предыдущий ординал — это, очевидно, omega
ординалы бывают двух видов: limit and successor
так что вы, например, не можете взять множество surreal numbers между 1 и 3 и пересечь с множеством surreal numbers между 2 и 4
А что насчёт кардиналов, не совместимых с аксиомой выбора?
Да такие есть на самом верху… И что интересно, в New Foundations, построенной по совсем другим принципам:
1. Существует «множество всех множеств»
2. Аксима выбора опровергается в New Foundations
3. New foundations «из коробки» дает ZFC + начальные расширения недостижимых кардиналов
4. Для всех множеств, ограниченых какой то очень большой (недостижимой) мощностью в New Foundations аксиома выбора НЕ опровергается
То есть, NF повторяет ZFC+расширения (совпадение? не думаю) и обе теории говорят, что AC не верна, но для очень очень очень больших мощностей. Платонист во мне говорит, это это показывает нам, что мы реально изучаем некую реальность, а это не игра в символы
Если интересно, советую посмотреть «Не совсем наивная теория множеств» Вавилова. Она написана в непривычно художественном стиле, но доказательства строгие.
И никакое выполнение алгоритма не может занять всю ленту.
Если он не зациклился
Выполняя программу на конечной машине вы не знаете, закрепилась программа или нет
Таким же образом мы можем заменить Машину Тьюринга гигантской конечной памятью, где адрес — алгоритм, а значение по адресу — результат выполнения алгоритма!
И как можно заменить алгоритм a+b конечной памятью? Если эта память конечна, то существуют максимальные значения a_m и b_m, для которых в памяти есть результат. Алгоритм может рассчитать (a_m + 1) + b_m, но в памяти этого значения не будет. Следовательно они не эквивалентны.
Что бы ни было записано в конечной памяти, алгоритм может рассчитать больше. Чтобы память была эквивалентна алгоритму, должно выполняться условие "если результат a+b находится в памяти, то и результаты (a+1) + b, a + (b+1), (a+1) + (b+1) находятся в памяти", а это условие выполняется только для актуально бесконечной памяти.
Кстати, настоящую машину тьюринга можно построить в игре Жизнь
Сейчас я представляю "действительные вычисления" разве что как символьные, в которых число sqrt(2) представляется с помощью числа 2 и операции взятия корня. У таких вычислений проблемы со сколько нибудь нетривиальными задачами, в которых представления чисел будут расти до астрономических размеров. Например, как в системах компьютерной алгебры.
С другой стороны, есть системы счисления с нецелым основанием, в которых некоторые действительные числа представляются нативно. Может на их основе тоже можно придумать что-нибудь интересное. Вообще самая оптимальная система счисления — с основанием e. Но оно нецелое, поэтому двоичная тоже является неплохим приближением (а троичная еще лучше).
Ваши сомнения можно и проще выразить: "каждое натуральное число конечно, поэтому ничего бесконечного в натуральных числах (N) нет".
Бесконечность появляется когда мы рассматриваем множество N как единое целое.
Процедура добавления ещё одного натурального числа к имеющемуся конечному множеству — это не множество N. Это разве что часть определения, в котором не хватает: "Полученное множество будет равно N после добавления всех элементов множества N".
все возможные выполнимые алгоритмы конечны по памяти и по времени
Нет. Алгоритм a+b может занять больше любого заранее заданного количества памяти, если входные данные достаточно большие.
Вашу гипотетическую таблицу "алгоритм -> результат" невозможно составить для натуральных чисел. Вам что бы записать все возможные входные данные, нужна бесконечная память.
Таким образом, необходимости в бесконечной ленте нет и всякий компьютер на 100% соответствует машине Тьюринга (и наоборот).
Это утверждение не верно. Банальный бесконечный алгоритм "иди к следующему адресу памяти, повтори" на любой реальной машине упадет в исключение. На машине Тьюринга просто будет бесконечно выполняться. Это показывает, что нет, вы не можете заменить машину Тьюринга реальным компьютером и ожидать их 100% эквивалентность.
Ответ на ваш вопрос — бесконечность пропадает тогда, когда вы выкидываете бесконечную ленту. Все алгоритмы, которые её используют, перестают работать.
Нет, если алгоритм зациклился
А на конечной машине вы часто не можете узнать, зациклился он или нет
Что касается успешно остановившихся алгоритмов, то они используют всегда конечную память, но ее объем — алгоритмически неразрешимая проблема
Даже в МТ нет бесконечности, единственное что она может сделать сверх этого — зациклится.
Но вы не сможете никак отличить зациклившуюся от той, которой нужно "еще немного". Возьмите МТ, которая просто пишет на ленте единицы, до бесконечности. Вам придется постоянно "подклеивать" к этой МТ все новые и новые кусочки ленты, и этот процесс не закончится никогда. С-но никакой конечной ленты вам не хватит.
А на конечной машине вы часто не можете узнать, зациклился он или нет
Вообще не можете узнать, это же неразрешимая задача :)
Я написал "часто"
Потому что в общем случае это неразрешимая задача, но бывает что зацикленность очевидна
Я имел в виду не это, а то, что не важна конечность машины. Без разницы, конечная машина или не конечная — если у вас программа виснет "ациклически" (мозаику Пенроуза пусть рисует в какой-то кодировке, допустим), то, наблюдая ее поведение, вы никак и никогда не определите, что она висит, даже если у вас лента бесконечная.
С конечной там обратная проблема — вы тогда будете обрубать все алгоритмы, которые требуют памяти больше, чем имеется.
1.
коллекции вещественных создают любые фигуры
Я правильно понял, что можно использовать упорядоченную пару {тип, параметры типа} и записывать, например
{точка, {x, y}}
{треугольник, {точка1, точка2, точка3}}
{окружность, {точка_центра, радиус}}
{парабола, {директриса, точка_фокуса}}
?
2.
С помощью целых чисел мы можем создать вещественные— как? Рациональные понятно — упорядоченная пара. Даже sqrt(5) понятно — {корень, {2, 5}}, вторая степень из 5.
А как с трансцендентными pi, e и др?
3. Что такое ТОЕ?
А как с трансцендентными pi, e и др?
Самый примитивный способ — школьный. Просто определяем действительное число как что-то, записанное в десятичной системе счисления. Более формально, действительное число — это пара из целого числа (называемого целой частью) и бесконечной последовательности цифр 0-9, ни один хвост которой не является последовательностью из одних только девяток.
Чуть более продвинутое определение использует двоичную систему счисления как более простую.
Другие определения более сложны, но зато не привязаны к конкретной форме записи.
Третье определение: действительное число — это абсолютно сходящаяся последовательность рациональных чисел (но тут понадобится способ определения абсолютной сходимости на незамкнутых множествах).
Четвертое: действительное число — это разрез множества рациональных чисел, т.е. такое разбиение Q на сумму A и B, что для любого x из A и y из B выполняется x<y.
Третье определение: действительное число — это абсолютно сходящаяся последовательность рациональных чисел (но тут понадобится способ определения абсолютной сходимости на незамкнутых множествах).
Только не сама последовательность, а класс эквивалентности последовательностей с одинаковым пределом. Это существенный момент, т.к., выбирая другое отношение эквивалентности, мы получим другие числа.
Для обычной математики следующая мощность,так вот почему я не смог разобраться с помощью гуглёжки — туда не ступала нога обычного математика.
p практически не нужна, обычно вся работа происходит со счетными множествами и множествами мощности континуума
Вспомнилось высказывание Леопольда Кронекера:
Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека.
ориг. Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Спасибо за этот обзор, даже и не предполагал, что существует настолько развитая и разветвленная теория бесконечности.
Спасибо, очень качественный вынос мозга!
А как связана мощность множества с фрактальной размерностью множества?
Виды бесконечностей и вынос мозга