Идеального математического круга не существует

image

В точном компьютерном и физическом моделировании нуждается любой инженер, особенно если компания хочет создать самый износостойкий и прочный подшипник, его свойства окружность и параметры должны быть известны, чуть ли не до уровня атома.

Представьте, вы даёте задачу программисту найти точный процент и модель соприкосновения подшипника, и оказывается что это невозможно, так как и невозможно смоделировать точную окружность. Как и невозможно смоделировать точную площадь соприкосновения.

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. Но в разделе информатики, эта тема очень редко поднимается потому что до невозможности сложна.

Так что такое круг? И почему его точная математическая модель невозможна.

image

В научном понимании круг это правильный 65537 угольник (шестьдеся̀тпятьты̀сячпятисо̀ттридцатисемиуго́льник) — правильный многоугольник с 65 537 углами и 65 537 сторонами.

Значит для программиста круг это многоугольник с 65 537 углами — и эти углы будут соприкасаться с плоской поверхностью или такой же окружностью, и меняя равновесие всего это математического круга с 65 537 углами. Согласитесь что модель уже устарела?

Гауссом в 1796 году было доказано, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители n являются различными числами Ферма. В 1836 году П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

Могу даже открыть секрет настолько узкий в отрасли подшипников, что большинство автомобильных, железнодорожных и авиа катастроф происходит именно по причине некачественных подшипников так как проверить качество и окружность порой невозможно так как наука работает в основном не с числами а «диапазонами» то и процент брака в подшипниковой индустрии из-за проблемы создания идеально ровного подшипника самый высокий.

Такую проблему мы наблюдаем и в играх

Точность
image

И эта точность очень низкая.

А 65 тысяч углов у круга это меньше миллиона.

image

Но даже и это не предел. Идеальный круг вообще бесконечен (имеет бесконечное количество углов). Как тогда его выразить в программировании, если любое число будет его неточной моделью? Или уже такая высокая точность будет ненужна? Ведь в любом массовом моделировании иза мельчайшей детали образуются каскадные лавинообразные эффекты которые дают разные результаты.

Спасибо за внимание.
Share post

Comments 60

    +6
    Как теперь жить то, если даже круг это n-угольник)?
      +2
      Как теперь жить то, если даже круг это n-угольник)?


      Только не для программиста.
      для программиста круг это квадрат с 65 537 углами
      +29
      Что я только что прочитал?
        –3
        Бредятину.
        Наблюдаем рождение нового «Редактора GT».
        Поколения ЕГЭ.
        +1
        > Как тогда его выразить в программировании, если любое число будет его неточной моделью?

        А как его выразить вообще, не в программировании, кроме как на словах?
          +1
          есть же точные формулы…
            +2
            Формулы — это и есть на словах.
              +1
              sqr(X - X0) + sqr(Y - Y0) <= sqr(R)

              например в коде
                +3
                Ведь X, X0,… ограничены (тип float ограничен или банально память ограничена).
                В результате все равно получится многоугольник, хоть и с очень большим количеством углов.
                  0
                  Храните тогда результат не значением, а формулой. И не будет ограничения. И вообще, зачем вам точность, превышающая ваши расчётные возможности? Идеальность круга как раз в том, чтобы наоборот — без нужды не идеализировать его поверхность. Вам не кажется?..
        +7
        Так толсто, что даже тонко.
          +5
          Как тогда его выразить в программировании


          Circle circle = new Circle();
          circle.setCenterX(100.0f);
          circle.setCenterY(100.0f);
          circle.setRadius(50.0f);
            +10
            Так что такое круг? И почему его точная математическая модель невозможна.
            В научном понимании круг это правильный 65537 угольник

            Что?? Точные математические модели круга — это, в зависимости от задачи:
            1) неравенство (x-c_x)^2 + (y-c_y)^2 <= r^2 в двумерной плоскости.
            2) радиус r круга (или диаметр d);
            3) радиус r и координаты центра С;
            Можно придумать ещё варианты.


            Что вы имеете в виду под этим вашим "научным пониманием"?

              +5
              Что за хрень я только что прочитал?
              Инженер, моделирующий механические системы должен знать хотя бы основы сопромата, касающиеся упругостей и деформаций.
                +2
                У вас просто система координат неправильная ;)
                  +1
                  А дальше-то что? Резко перестать считать что угодно круглым?
                    +1

                    В дополнение к предыдущим комментаторам, напомню о существовании символьных вычислений.


                    Пересечение двух кругов с максимально возможной точностью

                      +4
                      Да в принципе ничего идеального не существует. А в математическом мире все идеально, значит математики не существует!!!

                      Дополню предыдущих комментаторов: в физических движках круги и шары просчитываются аналитически. Это, кстати, намного уменьшает количество необходимых вычислений.
                        0
                        Идеальным бывает газ, но только в учебнике физики.
                        +2
                        Автору курить курсы металловедения, металлообработки, материаловедения и сопромата любого технического вуза. Желательно самому посмотреть в микроскоп на образцы сталей с крупно- и мелкозернистой, игольчатой структурами. Разобраться с линейным тепловым расширением, упругими деформациями и их влиянием на геометрию детали.
                          +10
                          PS За «квадрат с 65 537 углами» — отдельный приз!
                            +1

                            Просто многие углы совпадают.

                              +2
                              Если бы было 65536, то возможно гиперкуб в 16 мерном пространстве.
                              +1
                              Представим себе окружность C с диаметром D. Устремим D к планковой длине. Построим хорду H таким образом, чтобы длина отрезка окружности была D. Что находится внутри H?
                                +1
                                > Так что такое круг?
                                Круг

                                И почему 65537? А не 65536, если тип ushort (UInt16).

                                UPD: дошло, это пятое простое число Ферма. Но почему именно оно?
                                  +7
                                  Подозреваю, что тут замешан гладиолус
                                  +12
                                  Может быть автор добавил статью в песочницу к 1 апреля, но её только сейчас одобрили?
                                    +2
                                    Ну не ждать же еще год до следующего 1 апреля :D
                                    +1
                                    В математике круг — геометрическое место точек, расположенных не далее определённой константы(радиуса) от выбранной точки(центра).
                                    Окружность — геометрическое место точек, расположенных на удалении радиуса.

                                    Если автор решил аппроксимировать круг N-угольником, ничего плохого в этом нет, но надо чётко говорить — это аппроксимация N-угольником, а не окружность.

                                    Если деталь обтачивают на токарном станке, там никаких 65537-угольников тоже нет. Может будет N-угольник… хотя нет, N мало, возьмём M. Будет несколько неправильный M-угольник.

                                    Теоретический предел приближения к окружности в реальной жизни — «растеризация» на уровне атомов.
                                      0
                                      Учитывая, что подшипник это сфера или конус, то говорить о многоугольнике вообще смысла нет…
                                        0
                                        Никто не мешает каким-нибудь электронам бегать по кругу в магнитном поле, образуя тем самым абсолютно круглую (ну, может, немного овально-волновую, но всё же гладкую — без углов) поверхность.
                                          0
                                          Волновая природа электрона, конечно же
                                          +2
                                          > Окружность — геометрическое место точек, расположенных на удалении радиуса.

                                          геометрическое место ВСЕХ точек :)
                                          по широко распространенной легенде, так валили всех «неугодных» при поступлении в МГУ
                                            +2
                                            геометрическое место ВСЕХ точек :)

                                            Что-то не совсем понимаю. Что значит всех? В смысле мне кажется это не добавляет ничего в определение.
                                              0

                                              отсутствие этого слова даёт возможность интерпретировать определение как геометрическое место некоторых точек.
                                              Т.е. хочешь — не хочешь, но если ты — точка и оказался на этом расстоянии от центра, то ты ОБЯЗАН быть частью окружности. А так кажется, что есть выбор

                                                0
                                                > Что-то не совсем понимаю. Что значит всех? В смысле мне кажется это не добавляет ничего в определение.

                                                Когда говорят, что окружность — прсто множество точек, расположенных на заданном расстоянии от заданной точки, то можно взять грубо говоря 4 точки и они будут удовлетворять этому определению. Поэтому, формально, правильно говорить ВСЕХ.
                                                Естественно, обычно преподаватели относились к такому с пониманием и не снижали оценку, но вот когда надо было «завалить» абитуриента и «не поступить», в ход шли и такие низенькие средства.
                                                  0
                                                  А можно взять и не 4. Из того что ваше множество содержит нужных 4 точки следует что оно подходит под определение, но не обратно.
                                                    0
                                                    > Из того что ваше множество содержит нужных 4 точки следует что оно подходит под определение
                                                    Ну как бы в этом и проблема определения без слова «всех».
                                                      0
                                                      Тут не проблемы, следствие в одну сторону выполняется у вас просто. Вы сами же сказали что если 4 точки таких то, то подходит под данное определение. Но из определения не следует что точки всего 4.
                                                        0
                                                        Определение не может работать «в одну сторону», а если под «определение» окружности попадает что-то, не являющееся окружностью, то «определение» — неверно.

                                                        > Но из определения не следует что точки всего 4.
                                                        Из определения следует, что точек может быть и 4, и 3, и 2.
                                                          0
                                                          Не точное определение, к которому не верно применять такое дополнение, породило спор в котором сложно прийти к истине, так как каждый в чем-то прав, так не прав, так как не верный сам тезис спора. Приведу цитату из википедии, которая в свою очередь ссылается на Математическую энциклопедию 1984 года:
                                                          Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки.
                                                          В данном определении действительно можно было упустить достаточно важное слово «всех». Добавление же слова «всех» в определение данное mastan которое в этом случае будет:
                                                          Окружность — геометрическое место всех точек, расположенных на удалении радиуса.
                                                          делает его еще более запутанным и не понятным и как минимум порождает вопрос «Всех точек чего?»
                                                            0
                                                            делает его еще более запутанным и не понятным и как минимум порождает вопрос «Всех точек чего?»

                                                            тем не менее, у человека не возникло вопроса: «точек чего?», но, как кажется, он до сих пор не поверил зачем там нужно слово «всех»
                                                            так что про «более запутанное и непонятное» вы, мягко говоря, не правы
                                                            так как каждый в чем-то прав, так не прав

                                                            ну и в чём я не прав, в том, что при использовании подобных определений обязательно указывать слово «всех»?
                                                            я сделал акцент на слове ВСЕХ, т.к. именно оно содержало всю суть истории, дальше «улучшать» то определение у меня и задачи не было, а было задача добавить хоть какого-то интересного материала, который можно придумать про банальную окружность, к достаточно никчемной статье.
                                                            или вы действительно думаете, что написав я «всех точек плоскости» у человека не возникло бы его непонимания? как бы вы его тогда уже выгораживали?
                                                              0
                                                              А вот и нет. Использование слова «всех» будет корректно в определении:
                                                              Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки.

                                                              Употребление слова «всех» будет НЕ корректно в определении:
                                                              Окружность — геометрическое место точек, расположенных на удалении радиуса.

                                                              По той причине, что здесь используется термин «Геометрическое место точек (ГМТ)» и коверкать его и пытаться превратить в какой-нибудь «ГМВТ» не нужно.
                                                                0
                                                                https://www.google.ru/search?q="геометрическое+место+всех+точек"
                                                                в частности, например, так написано в книге «Курант, Роббинс. Что такое математика? перевод под ред. Колмогорова»
                                                                так что уточнение ВСЕХ — вполне допустимо, когда надо подчеркнуть, что должны входить именно все точки. для чего оно мной было и использовано, причём в формате короткой ремарки

                                                                и к развившейся так называемой «дискуссии» это «геометрическое место» отношение имело слабое, и вообще-то с самого ее начала я перешел на определение «множество равноудаленных точек». там человек, в частности, не понимал, что плохого в определении, под которое подходят контр-примеры: дескать, оно ведь всё равно работает «в одностороннем порядке»
                                                                  +1
                                                                  Оно бессмысленно, но если вы любитель масла масленного тогда ладно
                                                                    0
                                                                    вы хоть вспомните контекст, в котором я его первоначально привёл

                                                                    > тогда ладно
                                                                    ну с Колмогоровым вам, наверное, трудновато будет поспорить
                                                            0
                                                            Вы так и не ответили на habr.com/ru/post/447702/#comment_20016314

                                                            Попробую еще проще объяснить. Из того определения следует что точек, по вашему, оказывается может быть не только 4, а еще 3 и 2, и под них определение верно по вашему. Так выходит что какую бы точку удовлетворяющую условию вы бы не взяли определение так же будет верным.
                                                    0
                                                    Ага, если нет ограничения то множество шире.
                                                    0
                                                    А всех это откуда?
                                                    «Окружностью называется совокупность точек плоскости, равноудаленных от
                                                    фиксированной точки, называемой ее центром.»
                                                  +2
                                                  Лучшие прочностные модели дают результаты с погрешностями хорошо если в единицах % а износостойкость и в 10-ках% не особо посчитать — и это проблема полноты самих моделей и исходных знаний об объекте моделирования, а не точности вычисления кругов в них… В подшипниках коэффициенты запасов прочности обычно так от двоечки начинаются, а там где люди могут пострадать — от троечки и поболее… Смело округляй Pi до трех — суть не поменяется! И соприкосновений там нет и быть не может. Если они будут — подшипник сварится.
                                                    0
                                                    по причине некачественных подшипников так как проверить качество и окружность порой невозможно
                                                    4 класс → селективная сборка → контроль (более точные измерительные средства, контрольно‑сортировочные автоматы) → 2 класс
                                                      0
                                                      Монитор не может нарисовать идеально закругленные линии, значит все учебники математики можно выбрасывать…
                                                      Иииии, видимо тут имеется ввиду не круг, а окружность.
                                                      И как быть с окружностями других размерностей? Например, S^0 — две точки, их тоже не существует? Или две точки — это 15276-угольник?
                                                        0
                                                        > Монитор не может нарисовать идеально закругленные линии

                                                        А толку, даже если бы и мог, вы не сможете это увидеть — количество колбочек на сетчатке ограничено
                                                        +2
                                                        А 65 тысяч углов у круга это меньше миллиона.


                                                        неужели для аудитории хабра это на столько не очевидная вещь, что необходимо прикладывать поясняющую картинку?
                                                          0
                                                          Просто носитель тайного знания настолько уверен в своей избранности, что думает даже такие вещи неизвестны широкой аудитории.
                                                          0
                                                          «Идеального математического круга не существует»
                                                          Не существует где?
                                                          В идеальном математическом мире — точно существует!
                                                          В остальных мирах — существует по необходимости. (наверное)
                                                          Вот эта необходимость и определяет уровень «идеальности».

                                                          Вообще народ зря минусует!
                                                          Эту статью можно разобрать на цитаты!
                                                          В научном понимании круг это правильный 65537 угольник

                                                          Идеальный круг вообще бесконечен (имеет бесконечное количество углов).

                                                          65 тысяч углов у круга это меньше миллиона.


                                                          :-)

                                                          (тут должна быть знаменитая картинка с подписью: Нельзя так просто взять и посчитать количество углов круга!)
                                                            0
                                                            А 65 тысяч углов у круга это меньше миллиона.

                                                            Ядерная бомба всегда попадает в эпицентр. (с)
                                                              –1
                                                              Надо было добавить в статью изображение.

                                                              image

                                                              И дать новое определение «замкнутое равномерное бесконечное многоугольное пространство»
                                                                –3
                                                                Большое Вам спасибо за статью! Пусть она не имеет большой ценности для аудитории Хабра, но философскую ценность она безусловно имеет, поскольку важно осознавать, что простые и привычные нам вещи, которыми мы оперируем/аргументируем каждый день, на самом деле теоретичны, то есть не имеют реальных практических примеров. А что говорить о чем нибудь более сложном.

                                                                Only users with full accounts can post comments. Log in, please.