Фракталы — это бунт против матанализа (3Blue1Brown)

    image


    Фракталы — это самоподобные штуковины. Не совсем так.

    Идея Мандельброта была шире. Как моделировать природу с учетом неровностей? В некотором роде, фрактальная геометрия — это бунт против классического матанализа, основная идея которого, что все будет очень гладким, если достаточно увеличить. Мандельброту это показалось чересчур идеальным, бесполезно абстрактным.

    Настоящая идея фрактала имеет отношение к дробной размерности.

    image

    Дробная размерность


    image

    Многим кажется, что размерность имеет смысл только для натуральных чисел.

    image

    Рассмотрим 4 самоподобные фигуры:

    image

    Составная часть каждой фигуры является точной копией целого.

    Какое слово обобщает идею длины, площади и объема? Обычно используется слово «мера» (measure), но для наглядности можно говорить о «массе». Представим, что все упомянутые фигуры сделаны из металла. Фрактальная размерность связана с тем, как меняется масса фигур, когда вы их масштабируете.

    Самоподобные фигуры дает четкое понимание того, как сравнивать «массы».
    Когда вы уменьшаете масштаб отрезока в 2 раза, «масса» уменьшается в 2 раза (21).
    Когда вы уменьшаете масштаб квадрата в 2 раза, масса уменьшается в 4 раза (22).
    Уменьшая масштаб куба в 2 раза, масса уменьшается в 8 раз (23).

    Для треугольника Серпинского при уменьшении масштаба в 2 раза очевидно, что масса уменьшается в 3 раза (2?):

    image

    Тогда размерность треугольника Серпинского = log2(3) ≈ 1,585

    «Длина» и «площадь» для треугольника Серпинского не совсем подходящие параметры. «Длина» треугольника Серпинского = ∞, «площадь» = 0. Нам нужен 1,585 мерный аналог длины(площади).

    Кривая фон Коха состоит из 4 собственных копий:

    image


    Когда масштаб уменьшается в 3 раза, «масса» уменьшается в 4 раза. Тогда размерность кривой фон Коха = log3(4) ≈ 1,262

    Следующая фигура состоит из 8 своих копий:

    image


    Уменьшая масштаб в 4 раза, «масса» уменьшится в 8 раз. Размерность = log4(8) ≈ 1,5

    image


    «Масса» подходит только для самоподобных фигур. Но это слишком ограничено. Большинство двумерных фигур не самоподобны.

    image


    «Масса» круга при уменьшении масштаба уменьшается в 4 раза. Но мы никак не можем составить из 4 маленьких кругов один большой.

    Можно использовать метод сетки:

    image


    Если взять зерно сетки поменьше, получим более точный результат:

    image

    Увеличение количества затронутых клеточек идет как вторая степень от увеличения масштаба.

    Для треугольника Серпинского:

    image

    Увеличение количества затронутых клеточек идет как как степень 1,585 от увеличения масштаба.

    image


    Для береговой линии:

    image

    Увеличение количества затронутых клеточек идет как как степень 1,21 от увеличения масштаба.

    image

    При переходе к логарифмической шкале, график будет стремиться к прямой, и важен угол ее наклона, но не для всех фигур это будет прямая с постоянным углом наклона.

    image

    Различные точки на графике и усредненная прямая, которая им соответствует- это эмпирическое значение размерности.

    Итак, фракталы — это фигуры, размерность которых — не целое число. У нас есть качественный способ сказать, что фигура неровная и будет оставаться неровной, если её увеличить.

    В трехмерном пространстве мы считаем пересечение с трёхмерной сеткой кубиков.

    image

    Когда фигура меньше кубиков, мы воспринимаем её как линию, одномерную. Количество кубиков, которые она пересекает пропорционально её длине (первая степень).

    При увеличении у нас получается труба (двумерная), которая пересекает своей поверхностью кубики сетки. И количество кубиков пропорционально второй степени.

    Если мы еще увеличим масштаб, фигура выглядит одномерной. Количество кубиков будет пропорционально первой степени.

    Процесс присвоения размерности фигуре может быть не очевидным и оставляет простор для разных соглашений и определений.



    image

    В теории увеличение масштаба может быть бесконечным, на практике достаточно просто большого разброса масштабов для построения графика. Главное, чтобы размерность оставалась приблизительно постоянной на разных масштабах.

    Береговая линия Британии имеет размерность 1,21 на различных масштабах. Размерность береговой линии Норвегии имеет размерность 1,52, что есть численный способ сказать о том, что она более неровная.

    image

    Фрактальная размерность — один из факторов, что объект природного происхождения, а не создан человеком.

    Оригинал видео

    Русский дубляж
    Ads
    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More

    Comments 6

      +2
      аппроксимировать обычную, непрерывно-дифференцируемую кривую линию цепочкой квадратов, казалось бы не очень хорошая идея. Так можно дойти до аппроксимации кривой ломаной, участки которой параллельны какому либо из координатных ортов, «лесенкой». В этом случае можно «доказать» равенство длины гипотенузы сумме катетов.
        0

        Тут "спасает" тот факт, что с помощью подобной аппроксимации не пытаются измерять длину.

          0
          И подобная геометрия существует. И весьма полезна для некоторых задач.
          Простейший пример — поездки по городу. «Расстояние», это сумма отрезков дорог. И «гипотенуза» может оказаться не короче «катетов».
          +2
          Можно использовать метод сетки

          Не понятно, почему у нас часть квадратиков стала желтой, а часть нет, хотя они явно на круге…
            0
            То же самое с остальными картинками с сетками. Автор статьи зачем-то сделал скриншоты анимаций на полпути к завершению. Лучше посмотреть оригинальное видео от 3Blue1Brown.
              0
              Мне показалось это так очевидно, что я поленился сделать гифку.

          Only users with full accounts can post comments. Log in, please.