Перевод статьи физика и популяризатора науки Мэтта Страсслера
К тому времени, как Эйнштейн в 1905 году вывел свою специальную теорию относительности (СТО), прошло уже больше 200 лет с тех пор, как Ньютон записал свои законы движения. Его последователи развивали его идеи, усложняли их и уточняли. Два столетия научных экспериментов, инженерных изделий и технологий, основанных на этих законах, подтверждали их правильность прямо и косвенно с большой точностью. В жизни людей XVIII и XIX веков уравнения Ньютона работали. Вряд ли бы они перестали работать в XX веке, и так и случилось – часы, двигатели, суда, мельницы, холодильники, гироскопы и пушки продолжали прекрасно работать и после того, как СТО Эйнштейна появилась в 1905 году. Так как же мог Эйнштейн «опровергнуть» Ньютона? Как Ньютон мог оказаться «неправым»?
Легко просто написать набор уравнений и заявить: «Я думаю, что общепринятые уравнения неверны, а мои новые – верны». Это каждый может сделать. Ежегодно я получаю десятки работ, выполненных начинающими физиками (или слышу о таких работах), содержащих ровно такие заявления. У большинства из них ошибку можно найти на первой странице, поскольку существует эксперимент или технология, которые не смогли бы работать, если бы новые уравнения были верны. Чрезвычайно сложно изобрести уравнения, соответствующие всем проделанным экспериментам и изобретённым технологиям. Таков высокий стандарт науки и природы.
Эйнштейн и несколько его коллег подозревали, что в теоретическую физику нужно внести несколько значительных изменений. В конце XIX века в физике существовало два набора уравнений («теорий»), использовавшихся для разных явлений. Были уравнения Ньютона XVII века, описывавшие, как силы заставляют объекты изменять своё движение (ускоряться), и уравнения XIX века, управлявшие электричеством, магнетизмом и светом. Первую их полную форму вывел Максвелл, основываясь на работах Фарадея, Ампера и множества других. В случае таких явлений, в которых требовалось использовать оба набора уравнений, можно было встретить ситуации, когда они выдавали несоответствующие предсказания. Такое несоответствие – одна из причин, позволяющих физикам-теоретикам убедиться в том, что уравнения нужно менять, а также намекающая на то, где именно это нужно делать. Однако это не значит, что подобрать приемлемое изменение всегда легко.
Трюк состоит в том, чтобы найти уравнения, расширяющие предыдущие, чтобы можно было доказать, что во всех уже проведённых экспериментах и испытанных технологиях новые уравнения равняются старым с точностью до крохотных отклонений, слишком малых для того, чтобы их можно было заметить при помощи существующих технологий и почти во всех научных экспериментах. Если подумать, то этот трюк – единственный из возможных трюков, позволяющих изобретать новые физические теории (и по моему опыту, этот трюк большинство начинающих физиков недооценивает).
И я сейчас продемонстрирую вам, как этот трюк работает для некоторых из уравнений Эйнштейна.
Рис. 1: треугольник, демонстрирующий идею Эйнштейна о пифагоровом взаимоотношении между энергией E, импульсом p и массой покоя m, где c – скорость света в пустом пространстве. Скорость объекта v связана с p и E соотношением, обведённым рамочкой. Энергия движения K (зелёный) равняется его общей энергии E (синий) минус масса-энергия m на c2 (чёрный).
Возьмём объект, свободно движущийся сквозь пустое пространство со скоростью v с точки наблюдателя. Эйнштейн предложил описать его движение при помощи взаимоотношения между энергией E, импульсом p, массой m и скоростью v, представленного в виде треугольника. Подробно я описывал эту идею в другой статье про массу и энергию, а кратко этот треугольник представлен на рис. 1. Энергия E равняется сумме энергии массы mc2 и энергии движения (в данной статье я буду называть её К, поскольку технически это кинетическая энергия). Уравнение Эйнштейна, связывающее энергию, импульс и массу в пифагоровом взаимоотношении:
E2 = ( p c )2 + ( m c2 )2
А скорость v задаётся тригонометрическим отношением
v / c = p c / E = sin α
Здесь и в других статьях «массу» я определяю как величину, на которой соглашаются все наблюдатели – иногда её называют "инвариантной массой", чтобы отличить от архаичного термина «релятивистская масса». То есть, как в оригинальной работе Эйнштейна, и в его представлениях впоследствии, массу нужно определять так, чтобы E равнялась mc2 только у частицы в состояни покоя, то есть, у частицы с p = 0. Такая инвариантная масса, в отличие от релятивистской массы и энергии, не увеличивается с увеличением скорости.
Рис. 2: взаимоотношение между массой m, импульсом p и энергией движения К по законам Ньютона. Скорость света с здесь не появляется – Ньютону и его первым последователям она не была знакома. Взаимоотношение скорости и тангенса угла альфа только через пропорцию, а не равенство. Энергия массы тоже неизвестна. Сравните с рис. 1.
В уравнениях Ньютона (и их развитии, сделанном его научными потомками), содержится другой набор взаимоотношений, обусловленный тремя отрезками, показанными на рис. 2. Ньютон с последователями не знали об энергии массы – её предложил Эйнштейн (как и, по меньшей мере, ещё один его коллега – но Эйнштейн точнее описал все детали). Поэтому разговор, касающийся свободно движущегося объекта, шёл только об энергии его движения (К, кинетической). Также Ньютону с друзьями была незнакома скорость света. Поэтому до Эйнштейна соотношение между энергией движения К и импульсом с массой было таким:
K = p2 / 2m
А касательно скорости:
v = p / m ~ tan α
Комбинируя два эти уравнения, вы получаете более знакомую вам по школе формулу K = 1/2 m v2. Этот набор уравнений задаётся уже не треугольником, а тремя изображёнными на рис. 2. отрезками.
Как Эйнштейну удалось составить набор формул, совместимый со всеми предыдущими экспериментами (со всеми!)? В чём состояла его хитрость?
Рис. 3: если скорость объекта мала (и, соответственно, угол альфа), определение Ньютона для К и определение Эйнштейна для К = E – mc2 оказываются почти идентичными.
Соотношения Эйнштейна почти идентичны ньютоновским в том случае, когда скорость объекта мала по сравнению со световой! Это видно на рис. 3. Допустим, угол α у треугольника мал, что соответствует скорости, гораздо меньшей по сравнению со скоростью света. Для Эйнштейна у самой по себе движущейся частицы энергия движения К равна общей энергии Е минус энергия массы mc2, как показано на рис. Заметьте, что К гораздо меньше Е. Из рисунка видно, что предсказание Ньютона и предсказание Эйнштейна для К имеют почти одинаковый размер – чем меньше импульс p, тем они оказываются ближе. Тем временем формулы, связывающая скорость, импульс и массу, тоже почти одинаковые, потому что Ньютон говорит:
v/c = p/mc = pc / mc2
(в последней формуле я добавил по c в числитель и знаменатель), а Эйнштейн говорит:
v/c = pc / E
Но при малом v эти уравнения становятся почти одинаковыми, поскольку mc2 и E становятся почти одинаковыми. Через треугольник это тоже видно – поскольку tan α и sin α почти равны для малых углов. Поэтому пифагорово соотношение Эйнштейна и три отрезка Ньютона в экспериментах невозможно отличить друг от друга – пока скорость объекта крайне мала по сравнению с c.
Короче говоря, уравнения Эйнштейна очень, очень хитроумно сконструированы – когда скорости малы, уравнения Эйнштейна почти не отличаются от уравнений Ньютона. Именно поэтому – а Эйнштейн проверил это лично перед тем, как представить уравнения коллегам (прошу отметить этот факт начинающих физиков) – все существовавшие научные эксперименты и все технологии XVIII – XIX веков не противоречили этим уравнениям. Предсказания, полученные на основе теоретической платформы Ньютона были и остаются верными для всех практических применений тогда, когда скорости массивных объектов небольшие по сравнению со световой.
С медленными объектами закончили – а что насчёт быстрых?
В XIX веке единственными из известных объектов, перемещавшихся со скоростью, близкой к световой, были электромагнитные волны (включая, но не ограничиваясь видимым светом). С точностью тех экспериментов, что можно было тогда провести, выполнялось соотношение v = c. Однако одним из величайших и радикальных предположений Эйнштейна стало то, что эти волны состоят из безмассовых квантов (своего рода «частиц», т.н. фотонов), также удовлетворяющих его взаимоотношениям между Е, p, m и v. Если подставить в уравнения Эйнштейна m = 0, они не потеряют смысл. Попробуйте, и получите, что E = p c и v / c = 1 (см. рис. 4). Этого и следует ожидать от фотонов – поэтому уравнения Эйнштейна работают как для обычных повседневных массивных объектов, так и для безмассовых фотонов, из которых состоит свет!
Рис. 4: у треугольника Эйнштейна для безмассовых частиц нет горизонтальной стороны. Его вертикальный катет и диагональ (гипотенуза) схлопываются друг с другом, давая E = p c и v = c.
Никто до Эйнштейна не смог бы сделать такого предположения. Потому что в предположении, что свет состоит из безмассовых частиц, не было никакого смысла. Посмотрите на уравнения Ньютона. Если у объекта p не равен нулю, а вы подставите m = 0, то получите, что К = бесконечность, и v = бесконечность! А из экспериментов люди уже знали, что это не так. А если подставить p=0 и m=0, то в уравнениях Ньютона получится, что К и v равняются нулю, делённому на ноль, что вообще не даёт никаких предсказаний.
Подытоживая, можно сказать, что Эйнштейн протолкнул своё предположение между двумя вещами, которые уже были известны на заре его века. Люди знали, что массивные объекты подчиняются уравнениям Ньютона с большой точностью, вплоть до скоростей пуль и пушечных ядер. Хотя эти скорости всё равно оказывались крохотными по сравнению с c. Они знали, что свет состоит из электромагнитных волн, движущихся со скоростью порядка c. Эйнштейн стал великим объединителем, предположив, что свет состоит из безмассовых фотонов, и что законы Ньютона для массивных объектов нужно расширить до набора уравнений, способных описывать поведение как массивных, так и безмассовых частиц. Через это объединение он сделал предсказание: что массивные объекты, движущиеся со скоростью, близкой к световой, будут подчиняться не законам Ньютона, а его собственным уравнениям.
Поскольку в то время не существовало технологий для проверки таких радикальных предположений Эйнштейна, в первое время они получили серьёзное сопротивление со стороны людей, считавших, что в них нет никакого смысла. Однако с 1908 по 1920 года некоторые части его уравнений удалось проверить. И наука на этом не остановилась. С тех пор технологии и научные знания продвинулись очень далеко. Во многих экспериментах XX и XXI веков технологии позволяют достигать гораздо больших скоростей, чем это было возможно в 1905-м. Эксперименты физики частиц и их медицинское применение чрезвычайно сильно зависят от частиц, чья скорость v сравнима с c – как и наше понимание структуры атомов. И для таких частиц уравнения Ньютона и Эйнштейна очень сильно расходятся. Это показано на рис. 5. Все измерения быстрых частиц совпадают с формулами Эйнштейна, но не Ньютона. Дебаты по этому вопросу давно уже закончены (кроме неизбежных краевых случаев). Даже системы глобального позиционирования, GPS и ГЛОНАСС, полагаются на уравнения Эйнштейна, а не Ньютона.
Рис. 5: для объектов со скоростями, сравнимыми с c, уравнения Эйнштейна и Ньютона дают очень разные результаты для скорости v и энергии движения К. С экспериментами совпадают только предсказания Эйнштейна.
Когда-нибудь мы, возможно, столкнёмся с ситуацией, в которой уравнения Эйнштейна работать не будут, и их самих придётся расширять. Возможно, первые намёки на это появятся в экспериментах. Или через осознание теоретических несостыковок. Но пока что уравнения СТО, предложенные Эйнштейном для описания E, p, m и v, для объектов, движущихся без воздействия внешних сил (а также предел скорости, заключённый в этих уравнениях – никакой объект не может с точки зрения стороннего наблюдателя двигаться со скоростью быстрее c) работают безо всяких конфликтов.
К тому времени, как Эйнштейн в 1905 году вывел свою специальную теорию относительности (СТО), прошло уже больше 200 лет с тех пор, как Ньютон записал свои законы движения. Его последователи развивали его идеи, усложняли их и уточняли. Два столетия научных экспериментов, инженерных изделий и технологий, основанных на этих законах, подтверждали их правильность прямо и косвенно с большой точностью. В жизни людей XVIII и XIX веков уравнения Ньютона работали. Вряд ли бы они перестали работать в XX веке, и так и случилось – часы, двигатели, суда, мельницы, холодильники, гироскопы и пушки продолжали прекрасно работать и после того, как СТО Эйнштейна появилась в 1905 году. Так как же мог Эйнштейн «опровергнуть» Ньютона? Как Ньютон мог оказаться «неправым»?
Легко просто написать набор уравнений и заявить: «Я думаю, что общепринятые уравнения неверны, а мои новые – верны». Это каждый может сделать. Ежегодно я получаю десятки работ, выполненных начинающими физиками (или слышу о таких работах), содержащих ровно такие заявления. У большинства из них ошибку можно найти на первой странице, поскольку существует эксперимент или технология, которые не смогли бы работать, если бы новые уравнения были верны. Чрезвычайно сложно изобрести уравнения, соответствующие всем проделанным экспериментам и изобретённым технологиям. Таков высокий стандарт науки и природы.
Эйнштейн и несколько его коллег подозревали, что в теоретическую физику нужно внести несколько значительных изменений. В конце XIX века в физике существовало два набора уравнений («теорий»), использовавшихся для разных явлений. Были уравнения Ньютона XVII века, описывавшие, как силы заставляют объекты изменять своё движение (ускоряться), и уравнения XIX века, управлявшие электричеством, магнетизмом и светом. Первую их полную форму вывел Максвелл, основываясь на работах Фарадея, Ампера и множества других. В случае таких явлений, в которых требовалось использовать оба набора уравнений, можно было встретить ситуации, когда они выдавали несоответствующие предсказания. Такое несоответствие – одна из причин, позволяющих физикам-теоретикам убедиться в том, что уравнения нужно менять, а также намекающая на то, где именно это нужно делать. Однако это не значит, что подобрать приемлемое изменение всегда легко.
Трюк состоит в том, чтобы найти уравнения, расширяющие предыдущие, чтобы можно было доказать, что во всех уже проведённых экспериментах и испытанных технологиях новые уравнения равняются старым с точностью до крохотных отклонений, слишком малых для того, чтобы их можно было заметить при помощи существующих технологий и почти во всех научных экспериментах. Если подумать, то этот трюк – единственный из возможных трюков, позволяющих изобретать новые физические теории (и по моему опыту, этот трюк большинство начинающих физиков недооценивает).
И я сейчас продемонстрирую вам, как этот трюк работает для некоторых из уравнений Эйнштейна.
Рис. 1: треугольник, демонстрирующий идею Эйнштейна о пифагоровом взаимоотношении между энергией E, импульсом p и массой покоя m, где c – скорость света в пустом пространстве. Скорость объекта v связана с p и E соотношением, обведённым рамочкой. Энергия движения K (зелёный) равняется его общей энергии E (синий) минус масса-энергия m на c2 (чёрный).
Возьмём объект, свободно движущийся сквозь пустое пространство со скоростью v с точки наблюдателя. Эйнштейн предложил описать его движение при помощи взаимоотношения между энергией E, импульсом p, массой m и скоростью v, представленного в виде треугольника. Подробно я описывал эту идею в другой статье про массу и энергию, а кратко этот треугольник представлен на рис. 1. Энергия E равняется сумме энергии массы mc2 и энергии движения (в данной статье я буду называть её К, поскольку технически это кинетическая энергия). Уравнение Эйнштейна, связывающее энергию, импульс и массу в пифагоровом взаимоотношении:
E2 = ( p c )2 + ( m c2 )2
А скорость v задаётся тригонометрическим отношением
v / c = p c / E = sin α
Здесь и в других статьях «массу» я определяю как величину, на которой соглашаются все наблюдатели – иногда её называют "инвариантной массой", чтобы отличить от архаичного термина «релятивистская масса». То есть, как в оригинальной работе Эйнштейна, и в его представлениях впоследствии, массу нужно определять так, чтобы E равнялась mc2 только у частицы в состояни покоя, то есть, у частицы с p = 0. Такая инвариантная масса, в отличие от релятивистской массы и энергии, не увеличивается с увеличением скорости.
Рис. 2: взаимоотношение между массой m, импульсом p и энергией движения К по законам Ньютона. Скорость света с здесь не появляется – Ньютону и его первым последователям она не была знакома. Взаимоотношение скорости и тангенса угла альфа только через пропорцию, а не равенство. Энергия массы тоже неизвестна. Сравните с рис. 1.
В уравнениях Ньютона (и их развитии, сделанном его научными потомками), содержится другой набор взаимоотношений, обусловленный тремя отрезками, показанными на рис. 2. Ньютон с последователями не знали об энергии массы – её предложил Эйнштейн (как и, по меньшей мере, ещё один его коллега – но Эйнштейн точнее описал все детали). Поэтому разговор, касающийся свободно движущегося объекта, шёл только об энергии его движения (К, кинетической). Также Ньютону с друзьями была незнакома скорость света. Поэтому до Эйнштейна соотношение между энергией движения К и импульсом с массой было таким:
K = p2 / 2m
А касательно скорости:
v = p / m ~ tan α
Комбинируя два эти уравнения, вы получаете более знакомую вам по школе формулу K = 1/2 m v2. Этот набор уравнений задаётся уже не треугольником, а тремя изображёнными на рис. 2. отрезками.
Как Эйнштейну удалось составить набор формул, совместимый со всеми предыдущими экспериментами (со всеми!)? В чём состояла его хитрость?
Рис. 3: если скорость объекта мала (и, соответственно, угол альфа), определение Ньютона для К и определение Эйнштейна для К = E – mc2 оказываются почти идентичными.
Соотношения Эйнштейна почти идентичны ньютоновским в том случае, когда скорость объекта мала по сравнению со световой! Это видно на рис. 3. Допустим, угол α у треугольника мал, что соответствует скорости, гораздо меньшей по сравнению со скоростью света. Для Эйнштейна у самой по себе движущейся частицы энергия движения К равна общей энергии Е минус энергия массы mc2, как показано на рис. Заметьте, что К гораздо меньше Е. Из рисунка видно, что предсказание Ньютона и предсказание Эйнштейна для К имеют почти одинаковый размер – чем меньше импульс p, тем они оказываются ближе. Тем временем формулы, связывающая скорость, импульс и массу, тоже почти одинаковые, потому что Ньютон говорит:
v/c = p/mc = pc / mc2
(в последней формуле я добавил по c в числитель и знаменатель), а Эйнштейн говорит:
v/c = pc / E
Но при малом v эти уравнения становятся почти одинаковыми, поскольку mc2 и E становятся почти одинаковыми. Через треугольник это тоже видно – поскольку tan α и sin α почти равны для малых углов. Поэтому пифагорово соотношение Эйнштейна и три отрезка Ньютона в экспериментах невозможно отличить друг от друга – пока скорость объекта крайне мала по сравнению с c.
Короче говоря, уравнения Эйнштейна очень, очень хитроумно сконструированы – когда скорости малы, уравнения Эйнштейна почти не отличаются от уравнений Ньютона. Именно поэтому – а Эйнштейн проверил это лично перед тем, как представить уравнения коллегам (прошу отметить этот факт начинающих физиков) – все существовавшие научные эксперименты и все технологии XVIII – XIX веков не противоречили этим уравнениям. Предсказания, полученные на основе теоретической платформы Ньютона были и остаются верными для всех практических применений тогда, когда скорости массивных объектов небольшие по сравнению со световой.
С медленными объектами закончили – а что насчёт быстрых?
В XIX веке единственными из известных объектов, перемещавшихся со скоростью, близкой к световой, были электромагнитные волны (включая, но не ограничиваясь видимым светом). С точностью тех экспериментов, что можно было тогда провести, выполнялось соотношение v = c. Однако одним из величайших и радикальных предположений Эйнштейна стало то, что эти волны состоят из безмассовых квантов (своего рода «частиц», т.н. фотонов), также удовлетворяющих его взаимоотношениям между Е, p, m и v. Если подставить в уравнения Эйнштейна m = 0, они не потеряют смысл. Попробуйте, и получите, что E = p c и v / c = 1 (см. рис. 4). Этого и следует ожидать от фотонов – поэтому уравнения Эйнштейна работают как для обычных повседневных массивных объектов, так и для безмассовых фотонов, из которых состоит свет!
Рис. 4: у треугольника Эйнштейна для безмассовых частиц нет горизонтальной стороны. Его вертикальный катет и диагональ (гипотенуза) схлопываются друг с другом, давая E = p c и v = c.
Никто до Эйнштейна не смог бы сделать такого предположения. Потому что в предположении, что свет состоит из безмассовых частиц, не было никакого смысла. Посмотрите на уравнения Ньютона. Если у объекта p не равен нулю, а вы подставите m = 0, то получите, что К = бесконечность, и v = бесконечность! А из экспериментов люди уже знали, что это не так. А если подставить p=0 и m=0, то в уравнениях Ньютона получится, что К и v равняются нулю, делённому на ноль, что вообще не даёт никаких предсказаний.
Подытоживая, можно сказать, что Эйнштейн протолкнул своё предположение между двумя вещами, которые уже были известны на заре его века. Люди знали, что массивные объекты подчиняются уравнениям Ньютона с большой точностью, вплоть до скоростей пуль и пушечных ядер. Хотя эти скорости всё равно оказывались крохотными по сравнению с c. Они знали, что свет состоит из электромагнитных волн, движущихся со скоростью порядка c. Эйнштейн стал великим объединителем, предположив, что свет состоит из безмассовых фотонов, и что законы Ньютона для массивных объектов нужно расширить до набора уравнений, способных описывать поведение как массивных, так и безмассовых частиц. Через это объединение он сделал предсказание: что массивные объекты, движущиеся со скоростью, близкой к световой, будут подчиняться не законам Ньютона, а его собственным уравнениям.
Поскольку в то время не существовало технологий для проверки таких радикальных предположений Эйнштейна, в первое время они получили серьёзное сопротивление со стороны людей, считавших, что в них нет никакого смысла. Однако с 1908 по 1920 года некоторые части его уравнений удалось проверить. И наука на этом не остановилась. С тех пор технологии и научные знания продвинулись очень далеко. Во многих экспериментах XX и XXI веков технологии позволяют достигать гораздо больших скоростей, чем это было возможно в 1905-м. Эксперименты физики частиц и их медицинское применение чрезвычайно сильно зависят от частиц, чья скорость v сравнима с c – как и наше понимание структуры атомов. И для таких частиц уравнения Ньютона и Эйнштейна очень сильно расходятся. Это показано на рис. 5. Все измерения быстрых частиц совпадают с формулами Эйнштейна, но не Ньютона. Дебаты по этому вопросу давно уже закончены (кроме неизбежных краевых случаев). Даже системы глобального позиционирования, GPS и ГЛОНАСС, полагаются на уравнения Эйнштейна, а не Ньютона.
Рис. 5: для объектов со скоростями, сравнимыми с c, уравнения Эйнштейна и Ньютона дают очень разные результаты для скорости v и энергии движения К. С экспериментами совпадают только предсказания Эйнштейна.
Когда-нибудь мы, возможно, столкнёмся с ситуацией, в которой уравнения Эйнштейна работать не будут, и их самих придётся расширять. Возможно, первые намёки на это появятся в экспериментах. Или через осознание теоретических несостыковок. Но пока что уравнения СТО, предложенные Эйнштейном для описания E, p, m и v, для объектов, движущихся без воздействия внешних сил (а также предел скорости, заключённый в этих уравнениях – никакой объект не может с точки зрения стороннего наблюдателя двигаться со скоростью быстрее c) работают безо всяких конфликтов.
