Comments 32
>Она должна принимать нулевое значение на любой линейно зависимой системе векторов.
n - мерный объем например, которому определитель равен с точностью до коэффицента, так нас в детстве учили :)
С точностью до знака, если быть точнее. Я решил не рассматривать этот случай, т.к. он слишком частный: работает только для 
. Если у нас векторное пространство над произвольным полем, то никакого естественного определения объема нету.
>С точностью до знака, если быть точнее
вы вероятно знакомы только с положительными коэффициентами пропорциональности?
>Если у нас векторное пространство над произвольным полем,
если матрица с коэффициентами из произвольного поля, определитель по-прежнему полезен?
серьезно, я просто не в курсе, супер давно учился :)
вы вероятно знакомы только с положительными коэффициентами пропорциональности?
Вот есть у нас параллелепипед, натянутый на вектора из 
. Будем рассматривать координаты этих векторов в положительно ориентированном ортонормированном единичном базисе. Составим матрицу из этих координат. Тогда определитель этой матрицы в точности равен ориентированному объему этого параллелепипеда (это можно принять и за определение, но, как я уже выше написал, такое определение очень частное и не слишком идейное). Ориентированный объем - это просто объем, но со знаком. Знак плюс, если тройка векторов ориентирована положительно и минус, если отрицательно. Т.е. определитель равен объему этого параллелограмма с точностью до знака.
если матрица с коэффициентами из произвольного поля, определитель по-прежнему полезен?
Конечно. Статья в том числе и об этом. Геометрическая интерпретация определителя - это конечно важная вещь, но на мой взгляд об определителе как раз стоит думать лучше в ключе индикатора линейной зависимости векторов, а не в ключе ориентированного объема.
ну или объем образа единичного куба при понятно каком преобразовании,
без разницы,
по поводу моего вопроса "матрица с коэффициентами из произвольного поля, определитель по-прежнему полезен? " вы что-нибудь можете сказать?
(чистое любопытство, типа почему не отложилось в памяти)
Всегда было интересно - эта вот большая "П" как произведение - это общепризнанное в мире обозначение произведения? Или это только в русском так потому что первая буква слова "произведение"?
Как правильно понимать детерминант (и вообще линейную алгебру), правильно рассказано вот тут: https://www.youtube.com/watch?v=Ip3X9LOh2dk
Ну и чего там правильного? Там же просто геометрическая интерпретация показана. Это лишь частный случай одного из использований. А люди подумают, что определители - это что-то сугубо векторное.
Определитель - одна из скалярных характеристик квадратной матрицы. Интерпретация зависит от того, что матрица содержит. Абстрактно да - характеризует линейную независимость набора объектов, отношения между которыми отражают значения матрицы. Любых объектов, а не только векторов. Можно оценивать независимость яблок, груш и бананов, если приспичит.
Там правильно показана геометрическая интерпретация. Ну, и вообще не вижу ничего плохого в том, чтобы представлять матрицу набором векторов. Все яблоки, груши и бананы по итогу придется преобразовать в векторы (матрицы единичной "ширины"), прежде чем оценивать. Векторы, как и вообще математика - абстракция над реальными объектами.
Вот мне, напрочь забывшему уже линейную алгебру, прямо сейчас, после вспоминания о том, что детерминант - это площадь, объем и т.д., совершенно очевидно, что в случае линейной зависимости векторов детерминант будет равен нулю.
Популяризовать науку, чтобы она была понятна - великое дело. То, что люди подумают - хорошо уже, что подумали.
Да, сам канал крутой, кто ж спорит. Но все же векторы и элементы - не одно и то же. У яблок направления нет. Математики навязывают "векторное пространство". А мир вокруг - он скорее аффинный.
Чтобы конкретизировать, приведу пример из близкой к ИТ теории графов. Сложность графа (количество возможных остовных деревьев) равно детерминанту минора его лапласиана. Это комбинаторная характеристика, а не геометрическая (впрочем, они связаны).
Спасибо! это было очень круто. Может быть, для крутых математиков это действительно не интересно, но для тех, кто после школы математики не касался, а сейчас необходимо как-то во все это влезать, это вообще супер!
Кому как удобно понимать... Лично мне проще как произведение собственных чисел.
По мне сложновато как-то, перебор специфических терминов без расшифровки. Про внешнее произведение вообще не упомянуто. Зачем маяться с кососимметрическими формами, когда внешнее произведение позволяет все упростить, в том числе и понимание сути определителей.
спасибо, что-то теплое шевельнулось в груди, супер давно писал курсовую каким-то боком с формами и внешними произведениями :)
внешнее произведение позволяет все упростить
Да, внешняя алгебра замечательная! Полностью с Вами согласен. Я думал об этом, но решил остановиться на том, что есть. Кстати, прочитал Вашу статью про внешнюю алгебру (пока только 1-ую часть), раз есть такая возможность, поблагодарю Вас здесь. Интересно.
Ну на мой взгляд, требования к "индикатору независимости" выглядят совершенно неестественно. Раз это индикатор - значит он должен быть равен 1, если векторы независимы и 0, если зависимы. Или, скажем, если у одной матрицы определитель 1, а у другой - 2, то значит второй набор векторов в два раза более линейно независим? То, что мы искали индикатор бинарного свойства, а у нас получилось сразу произвольное число - тоже не так уж и естественно. А ещё, получается, что мы можем величину этого числа просто отбросить и превратить в настоящий индикатор, выдающий либо 0, либо 1. Тогда исходная задача найти этот индикатор будет решена ещё лучше, только вот пользы от него окажется куда меньше, чем от настоящего определителя.
Есть способы задать определитель, у которых меньше таких проблем - например, ориентированный объём параллелограмма, образованного векторами. То, что он равен нулю в случае зависимых векторов - это просто бесплатный побочный эффект этой конструкции.
А что вам не нравится? Берете и делите на норму и получаете ваш прекрасный 1.
Вы же понимаете, что с вашими требованиями "или 0, или 1" никаких приятных свойств, связанных с полилинейностью не будет.
То, что мы искали индикатор, а получили число -- вполне естественно. Возьмите тот же "индикатор" перпендикулярности -- скалярное произведение (это, конечно, большая натяжка, но все же).
Возьмите простой слой сверточной сети, где за линейным преобразованием идет нелинейная функция активации.
То и не нравится, что ни определитель, ни скалярное произведение не являются индикаторами. Индикаторы из них можно сконструировать по признаку равенства их нулю, но сами по себе эти числа обладают более широким смыслом, который мы не найдём, если посчитаем, что ничего кроме признака линейной независимости или перпендикулярности нас не интересует.
А что все-таки значит "правильно" в заголовке статьи? Разве понимать определитель как произведение собственных значений матрицы не всегда верно? Например, если мы имеем дело уже не с обычными матрицами, а с дифференциальными операторами (обычная тема в функциональных интегралах квантовой теории поля), то это, лично на мой взгляд, самое здравое определение (правда ещё есть формула log det M = tr log M, которой часто пользуются, но сейчас не об этом). Такое определение инвариантно относительно выбора базиса, как и должно быть, и единственно. Или я что-то опускаю?
О том, как правильно понимать определитель матрицы