Comments 168
Но наверное вы ещё не достаточно просветлились, чтобы избавиться от собственности и отправиться странствовать, как Эрдош
>о нас, математиках, говорят как о сухарях — это ложь ...
если Вы математик, пожалуйста приведите ссылку на Ваши работы, но пока, учитывая уровень статей, разрешите Вам не поверить
Это была цитата из фильма. Мета уровень)
ну понятно, между делом посмотрел Ваши старые статьи, в том числе про приключения в МА, забавно но на самом деле был шанс встретиться лицом к лицу, здание в Maynard прекрасно знаю, типа работал в компании которая там стартовала, правда задолго до Вашего визита :)
(просто на тему выдающихся персоналий из математики :))
Когда ты понимаешь что главное к теоремах не вывод - а ограничения, в которых эти теоремы работают.
Так это все понимают. Противоположная точка зрения называется "абсолютное мышление" и всегда* ошибочна: что в гуманитарке и морально-этических вопросах, что в физике и астрономии, что в химии и биологии - и даже в самой точной из всех точных наук. Любая, даже самая стройная теория имеет крайние точки, на которых начинаются сбои. Дальше идут попытки либо соорудить новую теорию, которая их объяснит, состыкует со старой, но при этом невероятно усложнится и при этом абсолюта так и не достигнет.
Либо просто признать, что за определённым пределом округления станет 2+2=5 и это не ошибка.
От вашего комментария так и веет абсолютизмом.
Химия и физика основаны на эксперименте (каждый химик или физик может повторить его любое число раз); астрономия — на наблюдениях, иногда уникальных во времени; гуманитарные науки — на сборе фактов, рассказов очивидцев, документов и вещей.
Это хорошо, когда во всем видишь паттерны и любую книгу можешь свести к 3-м словам (желательно не матерным). Главное таблетки вовремя пить и не переутруждать свой разум.
тема реально интересная, но прочитать ее можно только с физ-мат образованием)
Процитирую еще раз свой последний комментарий:
«Вот хорошая задачка, на которую почти никто не может дать простого внятного ответа. Требуется найти ошибку в рассуждениях.
Квантовое уравнение Шредингера, в частных производных (УрШ), содержит постоянную Планка h дважды, в первой и второй степени. Рассматривая квадратное уравнение относительно h, приходим к двум выводам:
1. Если h имеет одно значение, то дискриминант равен нулю и, следовательно, УрШ распадается на два уравнения, что позволяет решить его в общем виде.
2. Иначе, фундаментальная константа h имеет два значения, что можно считать научным открытием.
Таким образом, любой вариант является значимым. Ура, товарищи! Куда обращаться за Нобелевской премией?
Насчет Теоремы Ферма. Я бы задался таким вопросом: «Возможно ли, разложить на множители трехчлен x^n + y^n – z^n, в числах алгебр Кэли-Диксона, некоторой размерности k?». Да, при этом появятся делители нуля и прочие «нюансы». Тем не менее, я думаю, вопрос интересен сам по себе.».
Ваши «Шесть уровней метавселенной математики» могут как-то помочь здесь?
И еще, поскольку вы упомянули философский уровень математики, то что бы вы могли сказать по поводу «концептуальной логики»? Критерий истинности которой – снижение локальной неопределенности. Другими словами, истина это то, что снижает локальную неопределённость. А из двух утверждений более истинно то, которое имеет меньшую неопределенность. На этой базе можно даже строить общественные теории, типа, «научной религии».
Что касается физики, рекомендую вам работать в естественной системе единиц, где h=G=c=1
Шесть уровней тут не помогут
Что именно вы называете концептуальной логикой? Можно ссылку?
Что касается физики, рекомендую вам работать в естественной системе единиц, где h=G=c=1
А если бы речь шла о других фундаментальных константах, например, массе и заряде электрона, то их тоже надо было бы приравнивать единице?
Шесть уровней тут не помогут
Вообще-то, информация о шести уровнях математики, достаточно интересная, но не видно содержательного результата, который можно использовать для чего-либо, пусть даже в абстрактных теориях. Особняком, правда, стоит шестой уровень, который позволяет перекинуть мост в нашу практическую реальность. И то, требуются дополнительные принципы и суждения.
Что именно вы называете концептуальной логикой? Можно ссылку?
То, что я вкладываю в этот термин, не соответствует тому, что об этом думают другие. Но, поскольку, термин достаточно сырой, то я им тоже пользуюсь. А, поскольку, «философия это не наука, а всего лишь форма мировоззрения», то этот уровень нужен не столько математикам, сколько «философам».
Я упоминал о «снижении неопределенности или, если хотите, противоречивости» в теориях, как неком метакритерии практической истины. Другими словами, если есть две мировоззренческие теории, то более верна та, которая имеет меньшую локальную неопределенность / противоречивость. Естественно, речь идет об относительной истинности (более правдоподобна / менее правдоподобна).
Возьмем, для примера, любую религию. Люди с формальным мышлением давно заметили, что: «Там, где начинается религия, там заканчивается логика». Вопрос, можно ли как-то решить этот логический парадокс? Для этого надо, сначала, сформулировать главное противоречие всех религий. А именно их отношение к Дьяволу. Совершенно непонятно, зачем, скажем, хороший Бог создал плохого Дьявола и во всем потакает ему?
Это противоречие легко снимается, если полагать, Бог Дьявола не создавал, и что это две равновеликие Сущности, одного уровня. А их обоих создала Сущность более высокого порядка, которую условно назовем Создатель. Для чего? Хороший вопрос. Цель Создателя – Развитие Всего Сущего, на принципах Разнообразия, Гармонии и Красоты. А как мы знаем из диамата К. Маркса, источником движения и развития являются антагонистические противоречия. Поэтому Создателю понадобились две антагонистически противоборствующие Сущности, которых он и создал. Причем, оба они имеют те же (конкурирующие) Цели, что и у Создателя. Только у Бога это Божественное Развитие, а у Дьявола – Дьявольское Развитие. На Западе даже есть термины «хищническое творчество» и «параллельные человечества» (в нашей терминологии это люди Бога и люди Дьявола, поскольку антагонистические противоречия пронизывают все уровни нашего Мира).
Можно задаться вопросом, а чем, принципиально, отличается Божественное Развитие от Дьявольского? Только одним, у Бога есть (моральные) ограничения на Развитие, а у Дьявола их нет. Соответственно, Бог ориентирован на интенсивное Развитие, а Дьявол на экстенсивное. Люди Бога готовы учитывать чужие интересы равных себе, а люди Дьявола – нет, они стремятся к достижению своих целей любой ценой за счет подавления интересов окружающих (войны и т.п.). Вспомним, что Владимир Путин недавно посетовал, что у коллективного Запада нет никаких моральных ограничений. В нашем понимании западная элита это люди Дьявола.
В общем, эта Теория Развития, или, другими словами, Научная Религия, очень продуктивна и не имеет явных противоречий, присущих обычным религиям. Более того, она завязана на диалектический материализм Маркса, который создан в интересах Создателя, тем самым, может быть полезен как людям Дьявола, так и людям Бога.
Короче говоря, продолжать можно долго, но для примера работы принципов концептуальной логики, вполне достаточно. Кстати, постоянно вертится мысль о «Троице»: Создатель – Бог – Дьявол.
А мы то, всего добавили один метапринцип в наши религиозные рассуждения. И сразу устранили массу противоречий и неопределенностей, что делает эту теорию вполне правдоподобной.
Не разбираюсь в физике почти совсем, быстро погуглил. Там же есть мнимая единица в уравнении? Т.е. одно из значений h будет комплексным, что не особо интересно для реальности. И даже если бы там было не i, то вполне вероятно, что из двух решений h одно было бы отрицательным, что тоже не особо интересно.
Хотя всё это не важно. Важнее то, что при попытке решить уравнение относительно константы, скорее всего окажется, что второе решение будет переменной, а не константой.
Действительно, физическая сторона задачи, как и мнимость i, здесь практически не имеют никакого значения. Задача, чисто логическая. А в логике важна именно полнота рассуждений. Чего здесь не хватает?
1. Допустим, верно первое утверждение. Разделяем УрШ на два уравнения, решаем его, получаем некий частный, вырожденный случай. Что, явно, не интересно и намекает, на то, что корней у квадратного уравнения должно быть два. Но, если мы не хотим переходить на физический уровень, то достаточно просто сформулировать вопрос: «А два частных уравнения Шредингера, вместо одного, общего, будут иметь смысл?»
2. Ладно, допускаем, что корней два. Но, как вы правильно заметили, кто сказал, что второй корень будет константой, пусть даже и комплексной? Опять же, опускаясь на физический уровень, рассматривая частные решения УрШ, мы легко увидим, что второй корень всегда функция, что на фундаментальную константу явно не тянет. Наверное, при большом желании, это можно доказать и для общего случая УрШ. Однако, даже если второй корень был бы константой, то нам, все равно, предстояло бы еще доказать, что этот корень не является паразитным. Как, скажем, в случае тождества x = 1, при возведении его в квадрат: x^2 = 1, мы получаем паразитный корень х = –1. По-видимому, должна существовать система линейных, относительно h, уравнений, в частных производных, эквивалентных уравнению Шредингера. А физики любят несколько линейных уравнений заменять одним нелинейным.
Итак, оставаясь в рамках одной логики, можно если не решить данную задачу полностью, то, по крайней мере, определить пути ее разрешения. А именно, задаться вопросами:
1. Будут ли два частных уравнения Шредингера иметь смысл, вместо одного общего? (Ответ, без доказательства, не будут!)
2. Будет ли второй корень константой? (Ответ, без доказательства, не будет!)
3. Не является ли второй корень паразитным? (Ответ, без доказательства, является!)
Таким образом, прямой ответ, корней у УрШ, относительно h, – два, но второй корень паразитный и, вообще говоря, не является константой. С этим легко согласиться, даже без доказательства, поскольку иначе мы все равно никаких выгод не получим (два частных уравнения не заменят одно общее и вторую константу h мы, все равно не вычислим).
А седьмой уровень всё ещё пытается понять, что такое число...
Т.е. числа это API внешнего мира для математики.
Т.е. числа — это 6й уровень. Философия :)
удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам арифметики)
Действительные, комплексные, кардинальные и всевозможные другие числа это, получается, не числа? Арифметическими-то средствами их и не запишешь...
Ваше определение - это одной категории с "число - существительное, неодушевлённое, средний род, 2-е склонение", ничего не объясняет.
Определение, кстати, не моё — передаю по памяти в режиме «испорченного телефона». Мне оно понравилось именно своей конкретикой и материалистичностью. Пользуясь им можно любое действие с (арифметическими) числами перевести в конкретный алгоритм реальных физических действий (пусть и невозможных вроде 1-3).
P.S. на счет «неарифметических» чисел — это тоже действия, но уже абстрактные, математические.
Во всём этом (включая подсчёт камешков) совершенно не понятно, что такое "1". Вот, например, у меня на столе лежит "1" телефон и над столом "1" воздух. Так?
Дайте вашу методологию подсчёта телефонов и воздуха (при чём такую, чтоб удовлетворяла аксиомам натуральных чисел) и я вам скажу так это или нет. Нет методологии измерений/счёта — нет чисел.
В том и сила математики: она позволяет предсказывать результат совершенно различных действий над совершенно разными объектами пользуясь общими для них свойствами.
Я понимаю, что нам, образованным людям сложно понять неочевидность того, что складывать камни и объёмы жидкости — это одно и тоже. Но я реально встречался с «дикими людьми» (дети-подростки, которые росли сами по себе в буквальном ауле и не умели считать) для которых была очень странной идея того что сложение камней и стаканов воды в ведре можно делать одинаково. Для них чисел — не было (пока я их не научил).
Для них чисел — не было (пока я их не научил).Тут необходимо уточнение. Действительно понимание абстрактных чисел и операций над ними приобретаются в процессе обучения. Однако нативная база оценки численности является в немалой степени врожденной. В некотором виде она присутствует с рождения, присуща животным разных видов, начиная с насекомых. Это достаточно надежно установленный факт, и казалось бы о нем можно забыть — есть нативная поддержка, и есть. Даже ребенок или обезьяна с большей вероятностью выберет из двух куч кучу с большим числом, например, фруктов (специальной постановкой можно нивелировать влияние общего размера куч на выбор). При этом речь не идет о подсчете, оценка производится интуитивно, благодаря чувству численности. Но исследования показали что именно чувство численности несет отвечает за понимание смысла чисел, включая в абстрактном представлении. Эта проблема понимания смысла чисел сейчас всплыла в связи с разработкой языковых моделей ИИ. Писал развернутый комент на эту тему со ссылками на источники, см. чтобы не повторять.
Можно для человека без мат образования объяснить, почему разворачивать в обратную сторону это плохой тон в математике?
После некоторого размышления, я подумал,что 2+2=4 это истинное выражение при этом 4=2+2 уже не совсем. Т.к. 4 это не только 2+2, но и 1+3 и корень и 16 и т.д. Это если понимать знак "=" как строгое соответствие. К сожалению, я не знаю точно, что такое это самое "=", что именно оно означает
Меня как-то заинтересовал такой выносящий мозг вопрос. Существовала ли теорема Пифагора до того, как ее открыли люди?
Для платониста - да, существовала. Математические сущности существуют вне времени
Тогда и вселенная может быть такой математической сущностью, правильно?
Безусловно
https://habr.com/ru/post/443894/
А что гарантирует, что математические законы выполняются правильно? Почему например электрон не может развернуться и полететь в обратном направлении?
А кто гарантирует, что число 17 не перестанет вдруг быть простым?
Если предполагать, что вселенная получается, например, повторяющимся применением некотого правила к изначальному состоянию, что гарантирует, что наблюдаемое состояние вселенной будет именно тем, которое достижимо в результате вычислений, а не любым другим из всего множества возможных состояний?
В множестве возможных состояний есть такие, которые немного отличаются от полученного в результате вычислений. Например, если бы у фрактала Мандельброта были нескольки битых пикселей. Что гарантирует, что "существуют" только те состояния, которые могут быть получены в результате вычисления?
Это гарантирует эквивалентность физики и математики в mathematical universe hypotesis Тегмарка
Не понимаю, как из эквивалентности физики и математики следует, что существуют только некоторые определенные состояния вселенной, а не все возможные из фазового пространства состояний. Ведь они тоже являются математической струткурой.
Никак не следует. "Существуют" все возможные структуры. Но не все могут содержать жизнь и брать населены разумом
Но например существует условная вселенная, в точности такая как наша, где условный электрон развернулся и полетел в обратном направлении, и эта вселенная тоже будет математической структурой. Почему она менее "реальна", чем та, в которой выполнялись правила преобразований? Хотя у меня есть мысль, что такие вселенные тоже существуют, но менее вероятны.
А почему вы считаете, что она менее реальна? Если там такие законы и они непротиворечивы, то она существует
Есть ли там жизнь, другой вопрос
Хотя у меня есть мысль, что такие вселенные тоже существуют, но менее вероятны.
На подобные вопросы можно конечно можно отвечать только гипотезами и мое объяснение следующее.
Электрон не может на ходу повернуть вопреки принятым во вселенной законам потому, что так он нарушит некий принцип, который можно назвать "принцип сохранения информации".
Электрон своим импульсом и координатами (точнее, своей волновой функией) несет информцаию о том, когда и в какой точке случилось нечто испускающее электроны. Например, можно поставить в космосе "электронный телескоп" и увидеть в него этот источник, собрав достаточно электронов. Если электрон развернется в нарушении законов, он сотрет эту информацию. А информация из мира не должна пропадать бесследно.
Следующий логичный вопрос - почему сохранение информации (она же обратимость, она же унитарность в квантовой механике) так важна для существования вселенной.
И здесь можно связать этот принцип с некого рода сильным антропным принципом, действующим в реальном времени для каждого события. Потеря информации из мира означает, что наблюдатель никогда не воспримет это событие. Кроме того она означает, что вся цепочка событияот большого взрыва, приведшая к этому событию тоже будет утрачена. Таким образом для наблюдателя потерянная часть реальности не существовала никогда (как фантаскике вроде "Доктор кто" или триллере про ведьму, когда из мира похищают всю память о человеке а не только самого человека). А значит наблюдатель способен наблюдать только обратимую часть реальности, не нарушающую однажды установившихся законов.
Дальше можно привести еще рассуждения, почему мир наблюдателя устойчив и не рассыпается...
Что такое вообще существует?
Если я могу представить эту Вселенную в голове, значит ли это, что она существует физически, потому что мои нейроны её смоделировали?
"Существует" - это значит можно посмотреть какое оно, потом отвернуться, потом снова посмотреть и убедиться что оно все еще там. Все остальное от лукавого.
Значит атомов не существует?)
Существуют. Мы в принципе можем зафиксировать атом, определить его тип, положение, импульс, а потом повторить то же через некоторое время, зная из законов физики как он должен измениться и увидев это новое состояние.
А вот если речь идет о фотонах, виртуальных частицах или волновой функции (особеннно такой, в которой может быть неопределенное количество частиц), то здесь уже понятние "существует" напрямую не применимо. Эти сущности вводятся в теорию для того чтобы теория работала. Мы дстраиваем мир сущностей, которые "существуют" дополнительными сущностями, которые логически замыкают картину, но которые нельзя наблюдать так же как существующие. Назначать эти дополнительные сущности "существующими" ошибочно, потому что тогда кажется что с ними можно сделать все выше описанное, а это не факт.
Да нет же. Вы не видите атом. Вы смотрите на стрелки больших приборов, на фото с электронного микроскопа, но не на сам потом непосредственно
Эта крайняя точка зрения называется macroscopic realism и имеет право на существование, как философская концепция
Разумеется, нет разницы между атомами и данном частицами
Тут нет ничего интересного. Когда я смотрю глазами на предмет я тоже не вижу его непосредственно. По сути я вижу мозгом, который зная как устроен мир делает выводы о существовании наблюдаемого объекта исходя из сигналов сетчатки. При этом вооружен глаз микроскопом или нет не важно. С микроскопом только цепочка выводов мозга снановится длиннее. В остальном никакой разницы.
Ну так и субъективный идеализм опровергнуть нельзя
Ну так и субъективный идеализм опровергнуть нельзя
Имхо, можно. :)
Опровергайте!
Опровергайте!
Так уже. На всякий случай уточню, что опровергнуть это одно, а кого-то убедить в этом - совсем-совсем другое.
Солипсизм опровергается тривиальным наблюдением, что регуляция происходящего выходит за пределы собственной воли. Субъективный идеализм, который постулирует, что всё существующее существует как предмет восприятия, подвержен ударам со многих сторон (и в этом аспекте напоминает мне материализм). Например, со стороны необходимых условий, как у Канта с трансцендентальным субъектом как условием субъективности и трансцендентной вещью в себе. Или со стороны интенциональности как, емнип, это происходит у Гуссерля. Или со стороны противоречивости тотальности множественности - конкретной схемы моего рассуждения я ни у кого не припомню, но совершенно точно направление мысли мне подсказал Маймонид. Наверняка есть ещё способы, о которых я сейчас либо не вспомнил, либо не знаю.
Хороший комментарий, но есть ряд замечаний.
Во-первых, хотелось бы при "опровержении" в дальнейшем видеть полную цепочку рассуждений, а не ссылки на "направления мысли" других авторов.
Во-вторых, касательно солипсизма: управление миром своей волей (кстати, что значит "акт воли" в данном случае? Это необязательно умение силой мысли поднимать 10 тонн и офигевше летать по небу), не является обязательным условием для существования реального солипсиста. Солипсизм постулирует, что единственная реальность, существующая достоверно, — это собственное сознание и ощущения (которые также воспринимаются непосредственно). Существование же объективного внешнего мира является лишь гипотезой, так как не существует никакого концептуального или логически необходимого перехода между субъективным и объективным — между возникновением сознательного опыта (квалитативных переживаний и «обладанием» диспозициями « внешнего мира» (объектами).
Могу ошибаться, но знаменитое Декартово "я мыслю, следовательно существую" самим же Декартом отвергалось в форме логического вывода. Соответственно, все рассуждения о том, что могло стать причиной этого существования: внешний мир или трансцендентно существующий бог-идея,- являются также набором гипотез.
Объективный идеализм мне всегда казался зацикленным в буквальном смысле: объективный идеалист, признавая объективный мир, сохраняет проблему отношений субъекта и объекта, но решает ее посредством своего рода круга: сознание субъекта выводит из внешнего по отношению к нему мира, а этот последний – из «мировой идеи».
Так и живем
╰(▔∀▔)╯
Во-первых, хотелось бы при "опровержении" в дальнейшем видеть полную цепочку рассуждений, а не ссылки на "направления мысли" других авторов.
Как я это понимаю! Ах, как мне хотелось бы, чтобы кто-нибудь за меня всё досконально изучал, а потом мне забесплатно всё объяснял, причём обязательно так, чтобы коротко (напр., в комментариях на Хабре), чтобы всё сразу было предельно понятно, и чтобы сразу был вынь-и-положь абсолютно убедительный ответ на любые мои возражения и вопросы. Но увы...
Солипсизм постулирует, что единственная реальность, существующая достоверно, — это собственное сознание и ощущения (которые также воспринимаются непосредственно).
Допустим. Т.о., в случае такого солипсизма тотальность реальности дана в непосредственном восприятии. Если не отрицать каузальность, то сразу тривиально ясно, что такое невозможно. Т.е., надо отрицать каузальность. Метафизика такого солипсизма получается смешной, но пусть. Форма остаётся в любом случае, и тогда можно задать вопрос: возможна ли такая форма реальности, при которой всё множественно? Такое предположение ведёт к противоречию (да, да, я знаю, что хотелось бы видеть полную цепочку рассуждений, но увы..), из которого следует необходимость существования немножественного. Немножественное не может быть дано в восприятии (хотелось бы цепочку, но сами, сами), и следовательно, солипсизм невозможен. Как, кстати, и субъективный идеализм.
объективный идеалист, признавая объективный мир, сохраняет проблему отношений субъекта и объекта, но решает ее посредством своего рода круга: сознание субъекта выводит из внешнего по отношению к нему мира, а этот последний – из «мировой идеи»
Не знаю, откуда Вы черпаете такие представления, но рад, что Вам всё понятно. Мне пока удалось только исключить материализм, физикализм, субъективный идеализм и солипсизм. Осталось возможным то, что осталось, каковым бы оно ни было. И честно, я искренне рад, что это не солипсизм. :)
Если не представлять "полную цепочку рассуждений", ссылаясь на "асамиищите", то можно доказать любой бред, как например:
(хотелось бы цепочку, но сами, сами), и следовательно, солипсизм невозможен.
Следовательно, солипсизм возможен:)
(つ . •́ _ʖ •̀ .)つ
Если не представлять "полную цепочку рассуждений", ссылаясь на "асамиищите", то можно доказать любой бред, как например:
Вы серьёзно считаете, что кто-то кому-то непременно должен что-то доказать?
На самом же деле никому, кроме себя, ничего доказать нельзя. Максимум, что можно сделать, это сформулировать нечто, что при определённых условиях другим человеком может восприниматься как доказательство.
Следовательно, солипсизм возможен:)
Ах, как можно, Вы со мной не согласны? Я же теперь спать не смогу от тревоги и беспокойства... На самом деле, нет. :)
Вы серьёзно считаете, что кто-то кому-то непременно должен что-то доказать?
С чего взяли, что я так считаю?:) Я говорил о формате доказательства, а не о том, кто и что должен.
На самом же деле никому, кроме себя, ничего доказать нельзя.
Я знаю)
Добро пожаловать в субъективный идеализм (если Вы, конечно, до этого в нем на самом деле не были( ͡° ͜ʖ
Я же теперь спать не смогу от тревоги и беспокойства... На самом деле, нет. :)
И это хорошо) Доброй ночи:)
Я знаю)
Тогда Вы должны понимать, что это утверждение
Если не представлять "полную цепочку рассуждений", ссылаясь на "асамиищите", то можно доказать любой бред
ложно, т.к. ложен его консеквент.
Добро пожаловать в субъективный идеализм
Это никак не следует из того, что никому, кроме себя, ничего нельзя доказать. И вообще, приходить к метафизическим (да вообще к любым) убеждениям ассоциативными путями - так можно доказать себе что угодно. Например, что человек - зло, потому что в библейском имени "Адам" есть буквосочетание "ад". Я реально сталкивался с субъектом, рассуждающим вот таким вот образом, по ассоциации и внешнему сходству. Исключительно не рекомендую. Конкретно по метафизическим убеждениям - имхо, если они не выстраданы годами логических походов ко всё большей ясности, то нет смысла относиться к ним серьёзно. И в этом, кстати, большая проблема в предоставлении доказательств метафизического характера. Крайне трудно, и, б.м., вообще невозможно выложить в формулировку все условия воспроизведения ясности. И даже если такое возможно, то, имхо, чтобы эффективно объяснить другому, как именно декодировать формулу обратно в ясность, нужно быть очень хорошо лично знакомым с его личностью и особенностями персонального восприятия.
На всякий случай: все эти интерсубъективные коммуникативные трудности не доказывают реальность субъективного идеализма, равно как тяжёлые предметы не доказывают реальность материализма.
На всякий случай уточню, что опровергнуть это одно, а кого-то убедить в этом - совсем-совсем другое.
Странно, вроде всегда под "опровергнуть" понималось именно второе: привести цепочку рассуждений проследив которую другой человек скажет что да: цепочка верна. А то что у кого то в голове есть цепочка рассуждений верность которой видна только ему самому это не "опровергнуть", это как бы вообще никому не интересно, мало ли ли на свете людей видящих верными всякие рассуждения о астрологии или плоской земле. :)
Странно, вроде всегда под "опровергнуть" понималось именно второе: привести цепочку рассуждений проследив которую другой человек скажет что да: цепочка верна.
Всегда это кем?
Если придерживаться конвенциональной теории истины, то слова "опровергнуть" и "доказать" навсегда должны оставаться в кавычках. Потому что по этой теории истинно то, с чем согласно некоторое экспертное большинство. При этом, даже если сделать безумное допущение, что эксперты контролируют истину, откуда можно узнать, что "группа Х это и есть то самое экспертное большинство"? От другого экспертного большинства, которое избрано третьим и т.д.? Или по циклу?
Нет уж, спасибо. Я продолжу, по старинке, считать, что доказательство и его частный случай опровержение это абстрактные сущности, некоторые формы которых доступны нашей интуиции. А доказать и опровергнуть это, в первую очередь, отработать персональный доступ к соответствующим абстракциям.
Лучше страдать лёгкой формой платонизма, чем считать, что теорема Пифагора не была доказана, пока первооткрыватель доказательства не убедил кого-то ещё в её истинности.
привести цепочку рассуждений проследив которую другой человек скажет
Нет надёжного метода сделать это. Студент математического факультета может быть вынужден соглашаться с изложением профессора и не понимая всех деталей доказательства - чтобы в принципе получить возможность понять их в более отдалённой перспективе. И в этом случае студент скажет "да" просто под давлением авторитета. И он будет убеждён в истинности слов профессора, даже если тот на деле ошибается. Зато если приятель, начитавшись чего-то умного, изложит корректное доказательство, то наш студент лего от него презрительно отмахнётся - приятель это ж не профессор. При желании до любого изложения можно докопаться вплоть до прямого отрицания любой логики. "Это всё слова", "это всего-лишь человеческая логика", "мысль изречённая есть ложь" и в током духе - универсальные и непрошибаемые контраргументы против любой ненасильственной аргументации.
При этом даже искренне желающий понять не всегда способен на это. Например, из-за разности понятийного аппарата, особенностей языковой культуры, философских навыков типа остлеживания допущений, интроспекции, рефлексии, медитации (в смысле целенаправленного последовательного размышления), знакомства с той же логикой, наконец.
чем считать, что теорема Пифагора не была доказана, пока первооткрыватель доказательства не убедил кого-то ещё в её истинности.
Звучит так как будто вы в принципе отрицаете возможность наличия ошибок в доказательcтвах. Как вот вы считаете https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза доказана или нет?
Как вот вы считаете https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза доказана или нет?
Без понятия. У меня точно доказательства не имеется. Гарантировать, что его (вне зависимости от официальной версии) нет и не было ни у кого из людей, не могу.
Звучит так как будто вы в принципе отрицаете возможность наличия ошибок в доказательcтвах.
Не отрицаю. А вот убеждение, что доказательство корректно, только если какая-то группа людей в это верит, равнозначно убеждению о принципиальной невозможности достоверных доказательств. Проверка доказательства массой экспертов существенно повышает вероятность нахождения ошибок только, если речь о строго формализованном дедуктивном фреймворке, применяемом к строго формальному языку - таким, что крайне мала вероятность разночтения экспертами дедуктивных правил или корректных формул. Ну и формальное изложение доказательства должно быть достаточно большим, чтобы вероятность отдельного человека ошибиться была существенно выше. Обратите внимание, я различаю между самим доказательством и его формальным (или неформальным) изложением. Если человек просто проверил, что все используемые дедукции формально корректны, то этого недостаточно для предметного понимания доказательства.
Что такое вообще существует?
Это как раз самый интересный вопрос. Хотя на него навряд ли возможно дать адекватный ответ в рамках здравого смысла. Как может существовать математическая структура, которой не то что нет в реальном мире, её даже не вычисляли на компьютере, и о ней даже не знают? Но при этом она описывает какую-то сложную систему, в которой могут находиться существа, осознающее свое существование.
Математика живёт в умах людей, а не в реальном мире. Иногда с её помощью физики моделируют реальный мир. Законы математики by definition не могут выполняться неправильно. Если электрон развернётся и полетит в другом направлении - это говорит о физической модели, не соответствующей реальности. Математика при этом будет работать отлично, просто ожидание не совпало с реальностью.
Парадокс Зенона.
Если выбрать аксиомы соостветствующие реальному миру, то математические закономерности будут соответствовать физической реальности. А вот если выбрать кривые аксиомы, то.. нафиг нужна такая математика.
Соответствует ли аксиома исключённого третьего реальному миру?
Есть контрпример?
Простите, а что такое контрпример к аксиоме?
Простите, а что такое контрпример к аксиоме?
В данном случае конкретный пример, удовлетворяющий схеме "не (А или не А)".
стандарт C++, где это условие для неинициализированных переменных не выполняется.
Да ладно, как это можно считать контрпримером? :) Можно создать стандарт, по которому вообще на всё, что угодно, будет возвращаться "false" (и это в любом случае не логическая ложь), это ничего не иллюстрирует. Мы же не будем из-за этого выбрасывать теорию моделей, не так ли? Потому что если будем, то тогда заодно и теорию доказательств придётся выкинуть - можно создать стандарт, который будет всегда возвращать "доказательство невозможно". Да чего там - стандарт, по которому "true" это "false", а "доказательство" это "не доказательство". В общем, от всей математики придётся отказаться, походу, и не только.. :)
Ура, вы доказали, что искать основание математическим аксиомам в реальном мире — дело гиблое.
Как? Стандарты, сколько бы их ни было - частные случаи. Впрочем, вроде, я это и не отрицал. Просто я исхожу из того, что то, что попадает под определённые формы, необходимо подчиняется их законам - пока под них попадает, конечно. Мир нашего восприятия, определённо, попадает под разные формы - в том числе и логические. При этом разные аспекты мира попадают под разные логики - для чего-то достаточно классической, а где-то уже может потребоваться модальная, темпоральная, конструктивная, инфинитарная и т.д. и т.п. Я убеждён в этом потому, что любое явление попадает под форму пропозиции: оно, поскольку явление, утвердительно. Необходимой подчинённостью явлений формам, в которые они вписываются, можно объяснить эффективность математики в эмпирических науках.
Конкретно же к нашему случаю - закон исключённого третьего можно интуитивно интерпретировать следующим образом: если А это некоторая тотальность, то при любом вычитании из этой тотальности мы получим не-А. Но любое доступное нам явление доступно нам в качестве некоторой тотальности.
Одно и то же правило может быть аксиомой внутри одной теории и чем-то доказуемым внутри другой.
Мы пронаблюдали правило в физической вселенной (в физике повторяемость = доказанность), и решили построить математическую теорию об этом (а в математике доказанность = выводимость логически; а значит, нам нужны аксиомы), взяв его в виде аксиомы.
Вопрос про контрпример этой аксиоме это не уровень той самой теории, где она взята в виде аксиомы, а уровень физической теории, где мы его наблюдаем (а значит, доказываем).
Не соответствует. Логические парадоксы это прекрасно иллюстрируют.
Из этих лулзов люди потом делают далеко идущие выводы о принципиальной непознаваемости вселенной.
Парадокс лжеца, например.
И теоремы Гёделя как раз показывают, что эти "решения" в виде ограничения выразительной мощности языка легко обходятся.
Гёделевому числу соответствует формулировка парадокса лжеца в выбранной формальной системе.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гёделя_о_неполноте#Связь_с_парадоксами
Всё-таки доказуемость и истинность это не одно и то же. Формула Гёделя истинна, но не доказуема средствами системы, в которой формулируется. В отличие от парадокса лжеца, здесь не возникает противоречия.
Истинность прекрасно доказывается от противного: Если оно ложно, то существует доказательство истинности, значит оно истинно. Противоречие говорит, что оно не ложно, а значит, в соответствии с аксиомой исключённого третьего, мы доказали её истинность. А из существования доказательства следует её ложность. Тот же замкнутый круг, что и в парадоксе лжеца, но чуть завуалированный. Типичная софистика.
Противоречие говорит, что оно не ложно, а значит, в соответствии с аксиомой исключённого третьего, мы доказали её истинность.
Но не в рамках предметной формальной системы.
Да нет, именно в её рамках. Это классическое доказательство от противного, вытекающее из асиомы исключённого третьего.
Да нет, именно в её рамках. Это классическое доказательство от противного, вытекающее из асиомы исключённого третьего.
Имхо, такое рассуждение не подходит для случая теоремы Гёделя, но пока нет времени углубляться. Однако, поправьте меня, если я Вас неправильно понял. Вы утверждаете, что теорема Гёделя влечёт противоречие? Т.е., что она на самом деле не доказана?
В том, что она не является истинной, ибо выводится из аксиомы исключённого третьего.
Выводы там не верные, а хак с гёделевым числом довольно красивый.
Абсолютно правильно с небольшим уточнением: для TOE (теории всего) модель полностью эквивалентна реальности, и карта совпадает с территорией по определению TOE - ведь если реальность отличается от модели, то теория не является TOE.
Для платониста - да, существовала. Математические сущности существуют вне времени
Платонист платонисту рознь. Если различать между формами самой истины, пропозиций об этой истине и множеств экземплификаций этих пропозиций, то может оказаться и так, что сама теорема существовала не всегда несмотря на вечность утверждаемой истины. Например, если под теоремой понимать экземпляр пропозиции, а не саму пропозицию. Причём, вечность самих пропозиций это тоже довольно дискуссионный момент.
Также, под математикой можно понимать совокупность дисциплин, изучающих априорные стороны абстрактного, и это не противоречит возможности темпоральности абстрактного. В конце концов, настоящее, с одной стороны которого сращение (в терминологии Уайтхеда) форм, а с другой их аннигиляция, это тоже форма - в которой абстрактное случайно (в смысле контингентно), а не априорно необходимо.
P.S. За статью, кстати, спасибо!
> Существовала ли теорема Пифагора до того, как ее открыли люди?
действительно хороший вопрос, можно добавить другой вероятно более легкий:
концепция 3х мерного (декартова) пространства - это открытие (типа америки) или изобретение (типа паровоза)?
также из более поздних комментариев, тоже не все так просто:
> Для платониста - да, существовала. Математические сущности существуют вне времени
а для Пифагора с учениками, который жил до платонистов?
с его точки зрения платонизма как бы не было даже в проекте, типа мог к примеру Платон вообще не родится, тогда как быть :)
Ну вы слышали про "единство сил природы"? Поптыки объединить три фундаментальных взаимодействия (гравитационное, сильное и электрослабое) в какой-то один основополагающий принцип. И часто высказывается мнение что принцип этот может быть... геометрическим. В частности из-за количества доступных измерений в нашей Вселенной. Как по мне, теоретически звучит довольно правдоподобно.
Тогда получается что математика это не какая-то абстракция. А наоборот, служит отправной точкой для физического воплощения нашего мира. Т.е. наша Вселенная именно такая, потому что такова математика.
Интересное видео на связанную тему https://www.youtube.com/watch?v=IOiZatlZtGU
Спикер утверждает, что есть открытые (discovered) и изобретенные (invented) языки программирования. Например, лямбда-исчисление было открыто относительно независимо математиками и информатиками. Если люди разными путями пришли к одной идеи, значит за ней стоит что-то действительно фундаментальное, видимо существующее само по себе, а мы это только открываем.
Существовала ли теорема Пифагора до того, как ее открыли люди?
Мой ответ: возможно.
«Людьми» считаем компьютеры особого рода, способные выполнять вычисления, называемые нами «универсальное творческое мышление». Название у нас есть, а объяснений к нему пока нет. На нашей планете эта разновидность компьютеров представлена нашим биовидом, в остальных местах — неизвестно.
Доказательство теоремы Пифагора — разновидность вычисления, которое является физическим процессом, имеющим начало и конец во времени. Оно входит в репертуар вычислений, доступных людям.
С этой точки зрения, казалось бы, оно не существовало до открытия людьми. Как, впрочем, и большую часть времени после открытия, до тех пор, пока математику не начали массово преподавать. В наши дни оно, возможно, существует постоянно (из-за массовости школьного обучения), но я сомневаюсь (хотя бы потому, что каждый учебный план привязан к календарю с каникулами).
Но доказательство теоремы Пифагора не требует универсального творческого мышления и может быть осуществлено на узкоспециализированном компьютере, который не является человеком. Самопроизвольное возникновение такого компьютера и осуществление им этого вычисления маловероятно, но не невозможно.
Мой ответ: возможно.
может быть осуществлено на узкоспециализированном компьютере (не являющимся человеком).
Без кого-то, кто способен оценить результат, как доказательство, это будет вычисленный определённым способом специфический набор бит. Аналогично этому вычисленный видеокартой игровой пейзаж останется не более, чем набором бит, пока кто-то не включит монитор.
Объективная реальность, частью которой, без сомнения являются физические процессы, не требует для существования ничьей оценки.
Действительно известная нам объективная реальность является подмножеством субъективной. О реальности, которая не входит в субъективное, можно только знать, что она есть, и что в ней нет ничего из того, что в субъективном. Впрочем, это всё метафизика. Доказательства, равно как и пейзажи - субъективные штуки.
Истинность теоремы не требует вычисления. Число 17 остаётся простым вне зависимости от того, существует ли компьютер, который все время пытается его делить, проверяя простоту
Почему? Существует решение уравнения x'=x, это экспонента. Для существования экспоненты не нужен калькулятор с кнопкой exp
Что касается экспоненты, калькулятор с кнопкой “exp” обеспечивает НЕ ТО вычисление, за счёт которого существует упомянутая вами математическая абстракция. ТО вычисление осуществляется в мозгу математика, когда он постигает её суть.
мы живём во Вселенной, которая подчиняется физическим законам, а не философической болтологии.
Это метафизическое, т.е., философское утверждение. Оно тоже "философическая болтология"? :)
Вместо этого я предложил объяснение и предложил предложить объяснение лучше.
Вместо этого я предложил объяснение
Хммм...
мы живём во Вселенной, которая подчиняется физическим законам
Чисто философская (метафизика) аксиома, общезначимости которой нет (да и не может быть) никаких эмпирических доказательств.
В какой ещё физической форме может существовать теорема, как не в виде процесса вычисления, в ходе которого она доказывается?
Неявная метафизическая аксиома, по которой не только мы, но и теоремы непременно существуют "во Вселенной, которая подчиняется физическим законам". Подозреваю, что это следует из неявного (метафизического) допущения, что существование вне "физических форм" невозможно.
живём ... Вселенной ... подчиняется физическим законам ... физическим законам ... физической форме
Что насчёт объяснений всем этим терминам? Например. Вселенная подчиняется физическим законам? Т.е., Вселенная нетождественна физическим законам? Т.е., физические законы существуют вне Вселенной? Потому что, если они существуют как часть Вселенной, то как получается, что она вся им подчиняется, а не наоборот? Если они существуют вне Вселенной, то они существуют физически или нефизически? Если они существуют физически, то каким законам подчиняется Вселенная + физические законы? Нефизическим? Если они существуют нефизически, то почему теоремы не могут существовать нефизически? Если они не существуют, то чему подчиняется Вселенная?
и предложил предложить объяснение лучше.
Не обессудьте, пожалуйста, но Вы предложили такое объяснение, что если буквально ткнуть наугад пальцем в любого серьёзного философа, то его объяснение будет лучше, даже если оно ложно. Причём, объяснение, которое Вы предложили, носит чисто философский характер, но "тьфу" в сторону философии было необходимо, да (это я про "философическую болтологию")? :)
Спасибо, прочитал с большим удовольствием!
По поводу 6-го уровня вспоминается известный мем:
Спойлер
Эх, как давно это было. Я вот еще даже помню, что из формальной непротиворичивости теории первого порядка (невозможности в ней доказать некоторое утверждение вместе с его отрицанием) следует, что вполне определенная конструктивная процедура в пределе построит для этой теории счетную модель. Безусловно, (если полагаться на нашу логику) если теория (не обязательно первого порядка) имеет (счетно-)финитную модель, то можно утверждать ее формальную непротиворечивость. Но вот я совешенно забыл, как насчет сооотношения между формальной непротиворечивостью и существованием моделей для теорий второго порядка. Мне кажется, что когда-то давно я мог дать ответ на этот вопрос как-то используя теорему Геделя, но совершенно все забыл. Быть может Вы, уважаемый автор, помните как?
Еще некоторые уточнения насчет ZF. Мне кажется, аксиома выбора и аксиома финитности (каждое множество построенно из более простых, а самые простые - пустые множества) - есть утверждения второго порядка? Ведь множества в ZF строятся в том числе и наложением некоторых предикативных условий первого порядка на элементы и подмножества уже построенных множеств. Получается, что обе упомянутые мной аксиомы неявно перебирают предикаты языка первого порядка в ZF?
Про существование моделей для теорий второго порядка не скажу.
Что касается ZF, то да, много аксиом выглядят как выражения второго порядка (для любой функции...) что еще раз говорит о недостаточном внимании к метауровням. Но это те же regexp.
Куда интеснее дело обстоит с NBG: https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann–Bernays–Gödel_set_theory
NBG is finitely axiomatizable, while ZFC and MK are not.
A key theorem of NBG is the class existence theorem, which states that for every formula whose quantifiers range only over sets, there is a class consisting of the sets satisfying the formula. This class is built by mirroring the step-by-step construction of the formula with classes. Since all set-theoretic formulas are constructed from two kinds of atomic formulas (membership and equality) and finitely many logical symbols, only finitely many axioms are needed to build the classes satisfying them. This is why NBG is finitely axiomatizable
То есть NBG обходится без regexp. В тексте про аксиоматизацию опять вижу двусмысленность. В теории множеств иногда под фнукцией подразумеватся выражение (2 порядок) или regexp (1 порядок). А иногда пользуются тем, что функция (одного аргумента) это множество всех упорядоченных пар {<параметр,значение>} - то есть функция это множество!
Как относиться к тому, что разные математические теории могут давать разные, зачастую диаметрально противоположные выводы? Математики придерживаются разных убеждений: формалисты просто говорят: это игра. Мы задали разные правила, и получили разные результаты. Чему удивляться?
Всё так. По-научному это называется не игра, а аксиоматика. Изменим набор аксиом - получим другие результаты, не являющиеся ни ошибочными, ни лженаучными. Другое дело, что обычно на практике используется наиболее подходящая и удобная аксиоматика, остальные исключаются из рассмотрения за ненадобностью и остаются уделом любителей "задач со звёздочкой".
>обычно на практике используется наиболее подходящая и удобная аксиоматика
если интересно подумайте о том, в чем именно упомянутая практика может состоять, например в случае выбора 5-го постулата Евклида (чтобы не слишком углубляться),
конечно понятие системы аксиом является центральным в современной математике, но появилось оно не сразу, как Вы себе представляете причины появления самой концепции аксиомы или постулата?
обычно пишут что, "Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость", так кто же прав, или все-таки "наиболее подходящая и удобная на практике"?
Получается геометрия Лобачевского либо абсолютная геометрия. Вполне научные теории, но на практике почти неприменимые. Поэтому в повседневной жизни используется геометрия Евклида.
насколько известно сами аксиомы как концепция появились благодаря довольно драматическим обстоятельствам - ученики Пифагора довольно быстро нашли доказательство того, что квадратный корень из 2 не является рациональным числом, но других кроме измеримых (рациональных) чисел не знали, так как вобщем считали что любая длина отрезка является измеримой т.е. числом в их понимании, а тут получается, что длина диагонали простейшей фигуры квадрата не является таким числом, по разным источникам автора этого доказательства они приговорили к смерти, и стали искать выход из сложившегося положения больше внимания уделяя чистой геоиетрии (отсюда Евклид и дальнейшее развитие), стараясь обойти сложные вопросы существования мат. объектов, старались рассматривать их основные свойства как нечто данное в виде аксиом и постулатов, и продолжая рассуждения с этого места в виде вывода теорем и пр., типа если дано abc, то вывод xyz, в результате алгебра как таковая появилась намного позднее геометрии (средние века), и во времена Аристотеля математика и геометрия были очень близкими понятиями
ps
вполне возможны мелкие неточности, разные источники не всегда полностью совпадают, но надеюсь что суть изложена достаточно аккуратно
Всегда интересовало - а в публикуемых математических статьях указывается, какую аксиоматику они используют? Если нет, то как вообще можно говорить о проверке и "принятии" доказательства, если в зависимости от аксиоматики результат будет разным?
>теория вещественных чисел (коих континуум) имеет счетную модель
What???
https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic#Non-reducibility_to_first-order_logic
That theorem implies that there is some countably infinite subset of the real numbers, whose members we will call internal numbers, and some countably infinite collection of sets of internal numbers, whose members we will call "internal sets", such that the domain consisting of internal numbers and internal sets satisfies exactly the same first-order sentences as are satisfied by the domain of real numbers and sets of real numbers. In particular, it satisfies a sort of least-upper-bound axiom that says, in effect:
Every nonempty internal set that has an internal upper bound has a least internal upper bound.
Countability of the set of all internal numbers (in conjunction with the fact that those form a densely ordered set) implies that that set does not satisfy the full least-upper-bound axiom. Countability of the set of all internal sets implies that it is not the set of all subsets of the set of all internal numbers (since Cantor's theorem implies that the set of all subsets of a countably infinite set is an uncountably infinite set). This construction is closely related to Skolem's paradox.
Thus the first-order theory of real numbers and sets of real numbers has many models, some of which are countable. The second-order theory of the real numbers has only one model, however.
Всё ждал, что вот-вот появится небинарная логика и решит все проблемы, но тут статья закончилась.
Очень часто в своей жизни я упирался в предел своих когнитивных способностей именно в области математики.
И заодно понял, какая же чушь, когда шестилетке задают вопрос типа "что такое молоток, рояль, пила, монтировка, скрипка", и если он лепечет "инструменты" - его отдают в физмат.
Нет, есть совершенно четкий предел мышления - умение оперировать математическими абстракциями.
Вот например учась в институте, я понимал все, что можно нарисовать, в виде эпюр, графиков, диаграмм. Интегрирование? Предельно понятная операция. Полярные координаты? Нарисовал поверхность, понял, поехали дальше. Всякие там сжатия-растяжения, закон Гука, фазовые диаграммы с кривыми плавления, эвтектикой, тройные точки, состав пара бинарной смеси при такой-то температуре? Все, что угодно, пока это можно нарисовать.
Но как только начинались простейшие вещи, описываемые только кванторами и парой заглавных букв, равно-не равно, "принадлежит", гамильтониан-лапласиан, "сведем к" – у меня мозг начинал издавать звуки той самой коробки от КрАЗа. Как-то ухитрился закончить технологический вуз, так и не поняв принцип решения ЛНДУ, вывод основных формул гидродинамики и квантовых определителей. Ну не могу я представить себе какую-нибудь целую функцию или поверхность одной заглавной буквой в скобках, а потом мысленно заменить ее этой же буквой со штрихом и еще куда-то подставить.
Я тоже часто упираюсь в предел своих способностей. Был бы поумнее, занялся бы наукой.
Задачи синтеза и анализа вообще не требуют особого навыка, тем более специфического склада ума. Я вот работаю в науке, и тут основное - это рутинная работа руками и очень формализованная публикационная активность. Многие подвиды работ здесь доступны слабоумному бабуину. На облечение результатов в правильные слова и представление в правильной форме уходит намного больше усилий, чем на собственно получение результатов и обмозговывание, что же они значат.
>Многие подвиды работ здесь доступны слабоумному бабуину ... облечение результатов в правильные слова и представление в правильной форме уходит намного больше усилий, чем на собственно получение результатов и обмозговывание
возможно если бы более-менее серьезный бабуин прочитал это, вероятно предложил бы Вам пожить с недельку в стае, типа показать свои способности, скорее всего социальный статус был бы примерно на уровне плинтуса с их точки зрения конечно, они не такие как люди, но таким делом как "формализованная публикационная активность" заниматься могут только люди, точнее научные работники :)
Наука бывает разная, я занимаюсь прикладной, в ней какие-нибудь кванторы конечно-же есть, но спрятаны так глубокого, что для практической пользы их лучше не знать. В прикладной науке, сообенно если работаешь в индустрии, больше важна чуйка, а не предельная способность к абстракции или энциклопедические знания.
Так все люди по больше части визуалы (даже кто называет себя аудиалом и кинестетиком), потому что большую часть информации о мире они получают через глаза. Поэтому, кстати, память на лица хорошая практически у всех людей.
Математика настолько мощная наука, что она другая у японцев.
P.S: или это японцы мощные?
Это, конечно, очень инетресно. Но жесть.
Скажите пожалуйста, я математик ?
Автор или кто другой, можете предположить на какой уровень понимания математики расчитана данная статья- студент, выпускник-отличник, фанат математики....
Мне как практикуещему инженеру-электронщику с высшим техн образованием, если честно, сложновато читать эту статью, вот задумался или мой уровень математики ниже плинтуса или все ОК просто статья не для всех.
Я без высшего образования, но прочитал с удовольствием.
Но статья не для всех. Имхо, она для тех, кто активно интересуется современной логикой и темами, связанными с основаниями математики. Думаю, что любой, кто вплотную изучал тот или иной вариант доказательства теорем Гёделя о неполноте, легко прочитает эту статью.
Шесть уровней метавселенной математики