Comments 14
В детстве в школе "изобрел" тетрацию или гипероператор-4 (только потом узнал как это называется). И только когда вырос, узнал, что некоторые уравнения с тетрацией решаются с использованием W-функции ламберта. Самое простое:
x^x = x, x - ?
x = ln(k) / W(ln(k))
Так что эта функция вызывает у меня приятные ностальгические воспоминания :)
Вычисление W-функции Ламберта
Разве не более эффективней раскладывать в ряд Тейлора и не использовать ни логарифмы, ни рекурсию? https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function#Asymptotic_expansions
x^x=x для х не равного 0 имеем х^(х-1) = 1 , имеет два вполне очевидных корня +1 и -1 или я что-то путаю?
Доброй ночи! Я использую рекурсию и логарифмы при подсчете значений так называемой -1-ветви функции Ламберта, а разложение в ряд Тейлора дает значение 0-ветви в окрестности нуля
Если использовать тетрацию, то запись уравнения выглядела бы так: x^^2 = k
.
любопытно... а меня с некоторых пор "тревожила" идея "мультипликата", в основе которой лежит предположение о том, что если для интегрируемой функции g(x) имеется ее первообразная G(x), то для функции f(x) представленной в виде экспоненты в степени g(x), тоже должна быть некая первообразная F(x) (и может даже только одна?), получаемая из f(x) некоторым преобразованием ("мультиплицированием"), которое соответствует интегрированию степени экспоненты (прошу прощения за невнятное пояснение, лучше взгляните на рисунок - осторожно! может быть заразно!):
Может быть, кто-то тоже переболел такими "фантазиями" и разрешился от них?
немного иначе.
Функция Ламберта является решением обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)
Если доступно средство для численного решения дифференциальных уравнений, можно найти его решение, и вычислить корень по приведенной в публикации формуле
Конечно, численное решение дифференциального уравнения устроено намного сложнее, и при этом трудно достигнуть очень высокой точности, но при наличии готовой программы для решения ОДУ можно решить исходное уравнение совсем без программирования. Для уравнения
у меня получился корень 1.03215
Зеленый — график функции Ламберта, красный — решение дифференциального уравнения
Графики были построены в GeoGebra?
w e^w =-1/e. То есть, нули этой функции это все значения, включая комплексные, аналитического продолжения функции ламберта от -1/e.
Такие нули выполняют равенство e^e^x=1+e^x.
У функции g(x) есть и полюса, все решения e^e^x=1. Вместе полюса и нули определяют функцию, и параметризированный интеграл приводит к нетривиальным нулям дзета-функции. Можно сказать, что дзета-функция и функция ламберта не просто состоят в некоторой группе, они связаны напрямую.
Есть такая задача.
Дано:
W(x)/2 = W(y/2) .
Как можно иначе выразить x через y ?
W-функция Ламберта и ее приложения