Мне всегда нравились стрелочные часы. Я пробовал носить цифровые, так и не смог привыкнуть к часам в трее винды — для моего мозга это означает дополнительное цифро-аналоговое преобразование, поэтому вместо них у меня крутится Analog Clock.
Однажды в одной занимательной книжке я прочел условие задачи, в которой говорилось, что если поменять местами минутную и часовую стрелки, то получится абракадабра в большинстве случаев. Но есть такие состояния стрелок, когда их обращение приводит к реальному результату, тривиальное решение в данном случае — это полдень или полночь. А какие еще есть "временные пары" на циферблате? Тут я закрыл задачник и приступил к решению.
Легко узнать, что за минуту минутная стрелка проходит 6°, а часовая — 0,1°.
Пусть время на одних часах — x секунд, а на других — y секунд. Тогда для первых часов x/120 — это угол, который проходит часовая стрелка, а x/10 — это угол, который проходит минутная стрелка за время x. Но так как минутная стрелка за то же время делает столько полных оборотов, сколько прошло целых часов, то необходимо делать поправку — x/10 – 360m, где m — это количество целых часов. Аналогичная картина для вторых часов.
Теперь мы имеем систему уравнений:
x/120 = y/10 – 360m;
y/120 = x/10 – 360n;
n,m є [0,11] .
Откуда находим, что
x = 302.(097902)·(12n+m);
y = 302.(097902)·(12m+n) .
Таким образом, мы выразили время на обоих часах через лишние обороты минутных стрелок. Так как поправочные коэффициенты для обоих часов лежат во множестве целых чисел от 0 до 11, то остается только построить квадратную матрицу 12 х 12, диагональ которой будет содержать время, когда обе стрелки совпадают, и одновременно служить осью симметрии для нахождения пар времен.
Внимательный читатель обратит внимание на то, что пары времени находятся через каждые 5:02,09 мин, а через каждые 65:45 мин происходит совмещение стрелок.
Итог: 66 пар, 11 совмещений стрелок, и 2 совпадения, потому как 0 и 43200 секунд на часах — это одно и то же.
Однажды в одной занимательной книжке я прочел условие задачи, в которой говорилось, что если поменять местами минутную и часовую стрелки, то получится абракадабра в большинстве случаев. Но есть такие состояния стрелок, когда их обращение приводит к реальному результату, тривиальное решение в данном случае — это полдень или полночь. А какие еще есть "временные пары" на циферблате? Тут я закрыл задачник и приступил к решению.
Легко узнать, что за минуту минутная стрелка проходит 6°, а часовая — 0,1°.
Пусть время на одних часах — x секунд, а на других — y секунд. Тогда для первых часов x/120 — это угол, который проходит часовая стрелка, а x/10 — это угол, который проходит минутная стрелка за время x. Но так как минутная стрелка за то же время делает столько полных оборотов, сколько прошло целых часов, то необходимо делать поправку — x/10 – 360m, где m — это количество целых часов. Аналогичная картина для вторых часов.
Теперь мы имеем систему уравнений:
x/120 = y/10 – 360m;
y/120 = x/10 – 360n;
n,m є [0,11] .
Откуда находим, что
x = 302.(097902)·(12n+m);
y = 302.(097902)·(12m+n) .
Таким образом, мы выразили время на обоих часах через лишние обороты минутных стрелок. Так как поправочные коэффициенты для обоих часов лежат во множестве целых чисел от 0 до 11, то остается только построить квадратную матрицу 12 х 12, диагональ которой будет содержать время, когда обе стрелки совпадают, и одновременно служить осью симметрии для нахождения пар времен.
| 0:00:00 | 1:00:25 | 2:00:50 | 3:01:15 | 4:01:40 | 5:02:05 | 6:02:31 | 7:02:56 | 8:03:21 | 9:03:46 | 10:04:11 | 11:04:36 |
| 0:05:02 | 1:05:27 | 2:05:52 | 3:06:17 | 4:06:42 | 5:07:07 | 6:07:33 | 7:07:58 | 8:08:23 | 9:08:48 | 10:09:13 | 11:09:39 |
| 0:10:04 | 1:10:29 | 2:10:54 | 3:11:19 | 4:11:44 | 5:12:10 | 6:12:35 | 7:13:00 | 8:13:25 | 9:13:50 | 10:14:15 | 11:14:41 |
| 0:15:06 | 1:15:31 | 2:15:56 | 3:16:21 | 4:16:46 | 5:17:12 | 6:17:37 | 7:18:02 | 8:18:27 | 9:18:52 | 10:19:18 | 11:19:43 |
| 0:20:08 | 1:20:33 | 2:20:58 | 3:21:23 | 4:21:49 | 5:22:14 | 6:22:39 | 7:23:04 | 8:23:29 | 9:23:54 | 10:24:20 | 11:24:45 |
| 0:25:10 | 1:25:35 | 2:26:00 | 3:26:26 | 4:26:51 | 5:27:16 | 6:27:41 | 7:28:06 | 8:28:31 | 9:28:57 | 10:29:22 | 11:29:47 |
| 0:30:12 | 1:30:37 | 2:31:02 | 3:31:28 | 4:31:53 | 5:32:18 | 6:32:43 | 7:33:08 | 8:33:33 | 9:33:59 | 10:34:24 | 11:34:49 |
| 0:35:14 | 1:35:39 | 2:36:05 | 3:36:30 | 4:36:55 | 5:37:20 | 6:37:45 | 7:38:10 | 8:38:36 | 9:39:01 | 10:39:26 | 11:39:51 |
| 0:40:16 | 1:40:41 | 2:41:07 | 3:41:32 | 4:41:57 | 5:42:22 | 6:42:47 | 7:43:13 | 8:43:38 | 9:44:03 | 10:44:28 | 11:44:53 |
| 0:45:18 | 1:45:44 | 2:46:09 | 3:46:34 | 4:46:59 | 5:47:24 | 6:47:49 | 7:48:15 | 8:48:40 | 9:49:05 | 10:49:30 | 11:49:55 |
| 0:50:20 | 1:50:46 | 2:51:11 | 3:51:36 | 4:52:01 | 5:52:26 | 6:52:52 | 7:53:17 | 8:53:42 | 9:54:07 | 10:54:32 | 11:54:57 |
| 0:55:23 | 1:55:48 | 2:56:13 | 3:56:38 | 4:57:03 | 5:57:28 | 6:57:54 | 7:58:19 | 8:58:44 | 9:59:09 | 10:59:34 | 12:00:00 |
Итог: 66 пар, 11 совмещений стрелок, и 2 совпадения, потому как 0 и 43200 секунд на часах — это одно и то же.