Comments 41
Мы знаем, что квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 решается, если его дискриминант b^2-4ac оказывается неотрицательнымНет, мы знаем, что квадратное уравнение решается всегда. Просто не всегда его корни будут вещественными.
Ваше утверждение не противоречит цитируемому. И цитируемое является верным.
Квадратное уравнение решается, если дискриминант неотрицателен. Из этого не следует, что оно не решается, если дискриминант отрицателен.
Более точной была бы формулировка "Квадратное уравнение решается в действительных числах, только если его дискриминант неотрицателен".
*имеет решения
можно ещё добавить "тогда и только тогда", но это, как по мне, уже лишнее
Зануда моде он
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Итого квадратное уравнение можно решить "в действительных числах" при любом дискриминанте.
То, что вы попытались донести, формально должно звучать примерно так: корни квадратного уравнения будут действительными числами если дискриминант неотрицателен.
Зануда моде офф
Вот если честно, то мне сейчас трижды стыдно
За руководителя маткружка (он же автор статьи), который использует левую формулировку и игнорирует эту ветку комментариев.
За ваше авторитетное "экспертное" мнение.
За тех, кто поставил минус автору первого комментария, ориентируясь на ваше "экспертное" мнение, и за тех, кто добавил еще один плюс к вашему комментарию после появления моего занудного мнения.
Если опираться на чистое определение, то квадратное уравнение всегда решается. Только в части случаев ответ звучит "действительных корней нет". Когда руководитель маткружка переводит это простым "не решается" - мне стыдно. Потому что математика - это строгие логические формулировки.
Ну, раз уж в этой ветке оказалось воззвание к автору, отреагирую.
Уважаемый топикстартер указал на неточность в статье, за что я ему благодарен. И я бы с радостью исправил еë, как досадный огрех, тем более, что весь дальнейший текст статьи развивает указанную комментатором мысль, если бы это было написано в личку, как принято на Хабре. Комментарии быстро превратились в обсуждение и менять текст статьи после этого уже некорректно, ошибка "благодаря" комментатору вошла в историю. И вот за это я уже благодарности не испытываю. Так что минусы тут прилетели (не от меня) не за мысль, а за некотрую бестактность.
По существу же ветки и сказать нечего, вопрос не стóит обсуждения и споров: решение любого уравнения имеет смысл лишь в контексте конкретной числовой или алгебраической системы. Да, в алгебраически замкнутом поле комплексных чисел решение есть всегда, но это не значит, что все алгебраические уравнения "по определению" имеют решения. Так что данная ветка, увы, это упражнение не в точности формулировок, а в занудстве, и в желании указать на ошибку опонента. Мне это показалось не сильно интересным делом.
Два момента, которые я хотел бы прояснить:
По математике
Да, в алгебраически замкнутом поле комплексных чисел решение есть всегда, но это не значит, что все алгебраические уравнения "по определению" имеют решения.
Судя по вот этому комментарию вы так и не поняли, в чем ваша ошибка. В поле действительных чисел любое квадратное уравнение имеет решение. Только когда дискриминант отрицательный - решением уравнения будет пустое множество. Проблема в том, что вы заменили пустое множество или отсутствие корней (присутствующее решение) на "не решается" (отсутствие решения).
По софт-скиллам
И я бы с радостью исправил еë, как досадный огрех, тем более, что весь дальнейший текст статьи развивает указанную комментатором мысль, если бы это было написано в личку, как принято на Хабре. Комментарии быстро превратились в обсуждение и менять текст статьи после этого уже некорректно, ошибка "благодаря" комментатору вошла в историю. И вот за это я уже благодарности не испытываю. Так что минусы тут прилетели (не от меня) не за мысль, а за некотрую бестактность.
Если бы этот комментарий был под моей статьей, то моя адекватная реакция могла выглядеть так
Исправить статью с UPD (указал бы, что статья обновлена ради исправления неточности) и без реакции на комментарий.
Исправить статью без UPD и с ответным на комментарием "спасибо, что заметили, я внес исправления".
Оставил бы статью без изменений, а в ответном комментарии пояснил, почему принял такое решение.
Ваша же реакция похожа на обиженного ребенка. "Если ты публично указал мне на мою ошибку, то ты виноват в том, что ты бестактен. Теперь ты виноват в том, что я не могу (хотя на самом деле можете) исправить эту ошибку, все же её видели (видят). И вообще, это не стоит обсуждения, я же не могу обсуждать свою ошибку на людях, и так всё понятно."
P.S. Личное мнение. Спасибо за то, что пояснили свою позицию.
Спасибо, теперь я знаю, как поступили бы вы.
Мне неясно, как множество (пустое) может быть решением уравнения в каком-либо поле. Множество не является элементом поля. А если элементов, удовлетворяющих уравнению нет, то мы и говорим, что уравнение неразрешимо в таком-то поле, и думаем дальше, как с этим быть, если надо. Конечно, фраза "не решается" звучит несколько неформально, но не является преступлением против истины.
Впрочем, неужели эта по большей части, филологическая дискуссия, и вправду, так интересна, что стоит еë продолжать?
Впрочем, неужели эта по большей части, филологическая дискуссия, и вправду, так интересна, что стоит еë продолжать?
Видите ли, с моей точки зрения это дискуссия о математической ошибке.
Мне неясно, как множество (пустое) может быть решением уравнения в каком-либо поле.
Если до вас не доходит логика из математического определения (еще раз вспомните, что значит решить уравнение), я вам скажу бытовым языком "Отрицательный результат - тоже результат". И важно про это помнить.
Конечно, фраза "не решается" звучит несколько неформально, но не является преступлением против истины.
До тех пор, пока не находятся "эксперты", готовые отстоять неформальную точку зрения с помощью риторики.
Пойду форточку открою, потому что я слишком душный.
P.S. Я понимаю, что вы про привязку математики к реальной жизни, когда не может быть отрицательной длины и поэтому из двух корней уравнения с разными знаками можно выбрать только один. Но я бы хотел, чтобы даже эту мысль вы могли донести корректно, без неформальностей. Т.е. стали более лучшей версией себя. Хотя кто-то может подумать, что это всё ради того, чтобы сделать вас неправым.
Впрочем, после этой дискуссии мне тоже есть о чем подумать. Хочу ли я быть настолько душным.
Улучшение себя, безусловно вещь достойная, невозможно не согласиться. Но по поводу решений уравнений, мне кажется, что у нас какая-то путаница.
Вы всë время ссылаетесь на какие-то определения, которые я должен отыскать, и которые должны до меня дойти. Для того, чтобы дискуссия была содержательной, имеет смысл привести эти определения. Я приведу свои:
Решить уравнение в какой-то аглебраической структуре, поле или кольце, значит найти элементы структуры, при которых уравнение имеет смысл (корректно) и становится верным.
Решениями (корнями) являются конкретные элементы структуры. Решение можно подставить в уравнение и получить верное равенство. Если элементов, удовлетворяющих уравнению не существует, имеет смысл говорить об отсутствии решений. Уравнение решается (разрешимо) в том или ином числовом поле (кольце), если в нëм существуют решения уравнения.
Имеет смысл говорить о множестве решений (пустое множество тоже является множеством решений).
Например, уравнение 2x³=3 в целых и рациональных числах решений не имеет. Нет таких элементов, которые при подстановке в уравнение дадут верное равенство. Множество его рациональных решений пусто. Вещественное решение одно, а комплексных — три.
Некорректно говорить, что множество является решением, поскольку уравнение формулируется в терминах элементов. То есть, если мы подставим в уравнение "решение" {}, то не получим верного равенства, поскольку множества не образуют числового поля (или кольца), и для них операции возведения в степень, умножения на число и сравнения с числом не определено.
Бывают и тонкости, например, имеющее вещественные корни уравнение пятой степени, согласно теореме Абеля, может не решаться в радикалах. Это значит, что в подмножестве вещественных чисел, выразимых конечным алгебраическим выражением, содержащим корни различных степеней, решений этого уравнения нет.
Некорректно говорить, что множество является решением, поскольку уравнение формулируется в терминах элементов. То есть, если мы подставим в уравнение "решение" {}, то не получим верного равенства, поскольку множества не образуют числового поля (или кольца), и для них операции возведения в степень, умножения на число и сравнения с числом не определено.
Доказательство того, что нет таких элементов, которые бы удовлетворяли равенству - это и есть решение уравнения.
Квадратное уравнение как раз дает нам возможность либо найти корни, либо четко доказать, что их нет.
Больше того. в школьной программе довольно много примеров, когда уравнение решается не в лоб, а через ОДЗ. Именно доказательством, что корней быть не может.
Для того, чтобы дискуссия была содержательной, имеет смысл привести эти определения
Я чуть выше уже приводит определение из школьного учебника
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Аналогичная формулировка присутствует в википедии. Я понимаю, что это не аргумент.
А откуда вы взяли свое определение?
Ура, мы, наконец-то пришли к ясности! Вы имеете в виду решение, как процесс, а я решение как элемент. Правда, ни в том, ни в другои случае пустое множество не может быть решением но это уже детали.
Определение я сформулировал сам, так чтобы оно было непротиворечивым, полезным и понятным большинству коллег. Если есть недопонимание, как в нашем с вами случае, то оно разъясняется.
Вы имеете в виду решение, как процесс, а я решение как элемент. Правда, ни в том, ни в другои случае пустое множество не может быть решением но это уже детали.
Я побуду еще немного душным.
То, что вы называете решением - в математике называется корнем уравнения.
В результате решения мы можем получить либо набор корней, либо пустое множество.
Вы можете скорректировать ОДЗ при помощи здравого смысла и других ограничений. Но от этого уравнения не станут нерешаемыми.
Сравните:
"объём нерешаемых уравнений?" и "объем уравнений, не имеющих действительных корней"
Второе точно передает смысл, хотя и более занудно. Но с моей точки зрения без занудства в математике никуда.
Итого: преподавателю математики стоит использовать математические термины во избежание путаницы.
Следовать этой рекомендации или не следовать - решать только вам.
С моей точки зрения если преподаватель математики не понимает разницы между решением и корнем уравнения - это печально.
В Википедии так:
Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).
Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Видимо у нас с вами какие-то разные википедии. По той же ссылке
Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).
Так это *решить уравнение*. А речь шла про *решение уравнения*. Моя википедия здесь. Вы, возможно, пользуетесь другой.
Но и у вас
Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).
То есть, решая уравнение вы или находите множество решений (корней) , или доказываете, что решений (корней) нет вовсе.
А чем "решить уравнение" отличается от "решения уравнения"? Особенно в рамках термина "нерешаемые уравнения".
Прекрасно, что вы с автором статьи на одной волне и понимаете друг друга. Странно, что вы не видите причин для того, чтобы другие вас не понимали. А для того, чтобы вас понимали - стоит использовать правильные термины. И правильный термин - это корень уравнения.
Следите за процессом. Сначала идет переход от "уравнение имеет корень" к "уравнение имеет решение". Потом это незаметно доходит до "уравнение решается".
Так вот: "решается" - это процесс. Не элемент. Итого из-за использования неточных терминов возникла математическая ошибка. В цитате из статьи именно это
Мы знаем, что квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 решается, если его дискриминант b^2-4ac оказывается неотрицательным
Так почему же вы приводите определения для *решение уравнение*, а не для *решить уравнение*, если в цитате, с которой все началось, речь идет про процесс?
А откуда вы взяли свое определение?
О терминах не спорят, о терминах - договариваются (с)
Прошу представить решение "квадратного" уравнения 0*x^2+0*x+1=0 в студию!
Или линейного: x = x + 13, которое, кстати, разрешимо в поле 
Вы опять просите предоставить вам корень уравнения (элемент), словно не было нашей с вам дискуссии о том, что данная фраза относится к решению уравнения (процессу).
квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 решается
Это разве про элемент? Это же про процесс. А решить данные уравнения можно. Используйте каноническую терминологию, и будет вам счастье.
Вопрос в том, что вы до сих пор настаиваете на том, что у фразы может быть только один смысл (который вы подразумевали, но не смогли точно передать).
В то время как любой школьник, использующий каноничную терминологию из учебника, скажет вам, что вы ошиблись. И вы будете с ним спорить.
Да не буду я спорить. Если школьник мне скажет, что я ошибся, я объясню, что имел в виду. Если это будет важно, исправлю. Если его моя ошибка оскорбляет, то, простите, это его проблемы. Пока спор поддерживаете вы, и, честно говоря, я не вижу в его продолжении большого смысла и интереса. Когда, например, бесконечный процесс путают с бесконечным результатом, это, действительно, чревато логическими ошибками и парадоксами, а здесь, ну, правда, не к тому вы придрались. Масштаб вопроса не тот, чтобы поднимать философские основы математики.
Точность в математике, конечно же необходима, и да, мою фразу можно интерпретировать, как некорректную. Но это, во-первых, никак не сказывается на дальнейшем изложении и результатах, во-вторых в контексте статьи это явно опровергаемое по ходу изложения утверждение, а в-третьих, если так непримиримо подходить к математическому образованию, то точность превратится в казуистику, и толковые ученики разбегутся, оставив место тем, кто более склонен к демагогии и занудству, чем к творчеству.
Я предлагаю нам всем перестать дискутировать по этому вопросу, и направить силы и время на написание новых полезных и интересных материалов, на живые беседы с теми же школьниками, или на получении новых результатов.
Если его моя ошибка оскорбляет, то, простите, это его проблемы.
Это вы придумали.
Но вы правы, меня действительно кое-что возмущает. Позиция "Даже если я допустил двусмысленность, ничего страшного в этом нет. Большинство поняли правильно, а остальным я потом объяснил, и поэтому такая терминология допустима. Буду и дальше выражаться двусмысленно".
С другой стороны - это ваше право. Продолжать набрасывать своими двусмысленностями. И потом успешно всем объяснять, что это другие дурачки, а вы всё делаете правильно.
Да не буду я спорить.
Взгляд со стороны. Своим комментарием "Или линейного: x = x + 13, которое, кстати, разрешимо в поле " вы продолжаете спор. Предлагаете найти элемент, хотя речь шла про процесс. Ради чего?
Ради того, что это интересно: уравнение, выглядящее некорректным в привычных полях и кольцах, оказывается корректным в некотором разумном контексте. Я исключительно за то, что бы было интересно и полезно. А не просто шумно.
И да, вы, победили, конечно. Добавлю ссылку на эту дискуссию в статью, чтобы мне неповадно было. Благодарю вас за интерес и неравнодушие к математике. Приглашаю прочесть и следующие мои статьи и уже вышедшие. Ваша конструктивная критика, несомненно сделает их ещё лучше.
Ради того, что это интересно: уравнение, выглядящее некорректным в привычных полях и кольцах, оказывается корректным в некотором разумном контексте.
Это выше уровня моих познаний в математике. В моей памяти осталось небольшое количество школьных знаний. Решить такие уравнения я могу только графическим способом. И ответ там будет "корней нет".
И да, вы, победили, конечно. Добавлю ссылку на эту дискуссию в статью, чтобы мне неповадно было. Благодарю вас за интерес и неравнодушие к математике. Приглашаю прочесть и следующие мои статьи и уже вышедшие. Ваша конструктивная критика, несомненно сделает их ещё лучше.
Печально, что ваш текст выглядит так, словно мы с вами боролись. Для меня это выглядит так, словно я таки "задушил" в вас что-то хорошее.
Мне ваша статья понравилась. Но какое это имеет значение, если я стал "придираться" к форме?
Попробую привести оправдание для своей душности: для меня это все равно, что кто-то в коде напишет define true=false. Но это всего лишь мое мнение. Если вам так легче объяснять - прекрасно, что вас понимают.
Еще я бы не смешивал решение задачи, которую можно свести к поиску корней квадратного уравнения, и решение самого квадратного уравнения. Это тоже вносит некоторую путаницу.
Вы смогли сделать так, чтобы мы друг друга поняли. Спасибо вам.
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Жаль, что было невозможно прочитать этот материал с анимированными картинками во второй половине 1980-ых годов, когда я в школе решал эти самые квадратные уравнения...
Прочитал, посмотрел на картинки и задумался:
Истинное лицо квадратного уравнения на самом деле ... гиперболический папараболоид
Может быть в школе для детей пусть лучше уж остаются квадратными? Жизнь на самом деле конечно сложная штука. //sarcasm
Если серьезно, статья просто шедевр. Снимаю шляпу за проделанную работу.
Поправьте
а=2a*A это ошибка
b=2a*A правильно
Мне ещё нравится геометрический вывод дискриминанта. Не люблю я запоминать формулы, которые "такие потому что такие". Там довольно изящный вывод через площади.
Решение квадратного уравнения не зная формулы корней: оставить в левой части полный квадрат, а в правой всё остальное, затем извлечь корень.
вот очень интересное видео:
https://youtu.be/kicp_odjsRs
Эх, а я в школе как не догнал математику на начальном уровне, так и почти всю программу проковылял не понимая зачем это вообще нужно и что от меня хотят. Непонимание росло как снежный ком, пока не достигло устрашающих размеров.
А теперь повторяю курс за пятый класс. Я не шучу. Постепенно, может и осилю школьную программу, потому что красивая наука.
А почему не объяснить через производные, ведь проще дать простой аппарат для производных многочлена, и тогда это будет применимо для уровнений любого уровня.
Например, точка перегиба - это перевая производная равная нулю (2ax+b=0), а вы к ней приходите каким-то слишком сложным образом.
Вы правы, но всего точно не объять. Экстремальную точку можно получить через производную, а можно, напротив, пояснить понятие экстремума и производной через геометрические и алгебраические рассуждения. Я здесь собрал то, что не лежит на поверхности и не перепечатывается из пособия в пособие, не кочует из паблика в паблик и из ролика в ролик.
К тому же, получить значение минимума из соображений симметрии и уметь увидеть в алгебраических выражениях семантические единицы, мне кажется, не менее важно, чем овладеть техникой дифференцирования.
Теперь ясно, что седло придумали математики
Любой многочлен порядка n имеет ровно n корней. ∅ в кв уравнениях – это хрень, которая придумана, чтобы не лезть в комплексные числа. Это я о начале, а именно "важное, чему нас научили в школе, что у уравнения может не быть корней"
А в каком поле любой многочлен имеет ровно n корней? А в конечном поле имеет? А в поле гауссовых рациональных чисел? А что в комплексных числах все уравнения имеют корни? А ведь кроме алгебраических, есть и транцеденстные и функциональные уравнения, для которых нет методов, не то, что решений.
Я писал не о квадратных уравнениях, а о том, что корректная задача может не иметь решений, и к этому надо быть морально готовым. Причем не столько в математике, сколько в жизни.
Получается, что если наугад выбрать три числа и составить с их помощью квадратное уравнение, то вероятность того, что оно будет иметь вещественные решения составит чуть менее двух третей. Конечно, эта вероятность будет зависеть от конкретного способа выбора коэффициентов, но в случае их равномерного распределения результат можно ожидать таким
Это называется не вероятность, а плотность. Это важно: например плотность четных чисел в множестве натуральных равна 1/2. Но равномерно распределить меру на натуральные числа не выйдет.
И уже тем более не бывает равномерного распределения на тройках вещественных чисел.
Вы совершенно правы, имеет смысл делать это различие,лучше говорить не о вероятеости, а о доле тех или иных троек в их общем числе. Действительно, равномерного распределения на всем множестве натуральных числах не бывает (функция вероятности будет эффективно равна нулю всюду). Однако при выборе натуральных чисел из конечных интервалов, о вероятности выбрать чëтное число говорить уже можно. По мере увеличения интервала, и при равномерной вероятности выбрать любое число на нем, эта вероятность будет сходиться к 1/2.
Область неразрешимых в вещественных числах уравнений в пространстве коэффициентов ограничена конусом и имеет конечную долю в конечном объеме на котором распределяется мера. К тому же, он сохраняет пропорции при масштабировании. Так что здесь уместно говорить о вероятности при выборе коэффициентов из конечного объема пространства (в котором,к тому же, конус расположен симметрично) .
В мою фразу о том, что вероятность сильно зависит от способа выбора коэффициентов следует добавить и конечность объëма и правильное расположение объëма относительно конуса. Согласен, что сама постановка задачи находится на грани некорректности, но на уровне беседы с ребятами это вполне допустимая задача. Кроме того, полезно обсудить с ними эти нюансы.
Математическая продлёнка. Квадратные уравнения во всей красе