Мы познакомимся с элементами математики, каждодневно пользуемыми каждым естествознателем (математиком, физиком, инженером). Высшее образование строят на их познании и умении применить. В доступном изложении вы узнаете о современной геометрии и универсальных инструментах математической физики и инженерии (пространстве состояний, уравнениях движения, теории поля, энергии, конечных автоматах).
Магия тензорной алгебры: Часть 4 — Динамика точки в тензорном изложении
8 min
31KСодержание
- Что такое тензор и для чего он нужен?
- Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
- Криволинейные координаты
- Динамика точки в тензорном изложении
- Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
- Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
- Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
- О свертках тензора Леви-Чивиты
- Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
- Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
- Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
- Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
- СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
- Нестандартное введение в динамику твердого тела
- Движение несвободного твердого тела
- Свойства тензора инерции твердого тела
- Зарисовка о гайке Джанибекова
- Математическое моделирование эффекта Джанибекова
Введение
Итак, настал момент применить на практике всё то, о чем мы так долго рассуждали теоретически. Данная заметка будет использовать в основном материал предыдущей статьи, в которой есть ссылки на предыдущие публикации по тензорной тематике.
А заниматься мы будем механикой. Именно решение задач механики и побудило меня разбираться с тензорным исчислением. И поговорим мы об уравнениях Лагранжа 2 рода, которые применяются для анализа движения сложных механических систем. Эти уравнения имеют вид, хорошо известный большинству специалистов в данной области
где s — число степеней свободы механической системы; — обобщенная координата; — кинетическая энергия механической системы; — обобщенная сила.
Те, кто сталкивался с этими уравнениями наверняка замечали, что после выполнения трехкратного дифференцирования кинетической энергии получаются выражения, представленные линейной комбинацией вторых производных от обобщенных координат и линейной комбинации произведений их первых производных. И это, по крайней мере меня, наводило на мысль о том, что кинетическую энергию можно продифференцировать один раз в общем виде, а потом просто составлять уравнения движения, используя полученные выражения общего вида. Только вот попытки проделать это самостоятельно не приводили меня к успеху.
Тем не менее это можно сделать, если опираться на тензорное исчисление, в общем и не прибегая к дифференцированию кинетической энергии (хотя такой подход тоже возможен). И мы сделаем это в данной статье, правда пока только для точки, и заодно решим какую-нибудь не слишком сложную задачку, иллюстрирующую эффективность рассмотренного подхода.
Что же, начнем!
+32
Принцип наименьшего действия в аналитической механике
10 min
23KTutorial
Предыстория
Причина данной публикации — неоднозначная статья на тему принципа наименьшего действия (ПНД), опубликованная на ресурсе несколько дней назад. Неоднозначна она потому, что её автор в популярной форме пытается донести до читателя один из основополагающих принципов математического описания природы, и это частично ему удается. Если бы не одно но, притаившееся в конце публикации. Под спойлером приведена полная цитата данного отрывка
Задача о движении шарика
Не все так просто
На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально.
Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время.
Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией.
Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в следующий раз.
Так в чем же, с моей точки зрения, проблема?
+29