Pull to refresh
  • by relevance
  • by date
  • by rating

Введение в геометрию правильных шестиугольников на плоскости

Mathematics *
Задание системы координат
При реализации перемещения по карте в играх последнее время стало модным использование
для точки пространства правильного шестиугольника (hex). Это и вправду решает большое количество вопросов. Например, не требует перемещения через углы многоугольника. Шести направлений для движения оказывается вполне достаточным для передачи реалистичности перемещений.
Читать дальше →
Total votes 25: ↑21 and ↓4 +17
Views 2.4K
Comments 5

Сравнение тестов по математике в Англии и Китае

Mathematics *
Английским студентам предлагается решить простую задачу по математике из вступительного экзамена в Китайский университет.

Королевское общество химии (Соединённое Королевство) выплатит приз в £500 одному счастливчику, который правильно решит задачу, взятую из китайского теста:
Читать дальше →
Total votes 31: ↑30 and ↓1 +29
Views 4.1K
Comments 144

Гениальный садовник

Entertaining tasks Mathematics *
Хочу порадовать уважаемое хабрасообщество ещё одной занимательной задачей, она мне показалась достойной внимания просвещённой компании и я ее предлагаю вам, друзья.
Читать дальше →
Total votes 37: ↑25 and ↓12 +13
Views 1.4K
Comments 70

Преобразования Мебиуса — наглядное объяснение (видеоролик)

Mathematics *
Наверняка многие из вас слышали про Мебиуса — это немецкий математик и астроном-теоретик, наиболее известный благодаря так называемому «листу мебиуса». Даже вон наш дизайнер Всея Руси торгует эспандерами на его основе.

Лист Мебиуса — это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.


Читать дальше →
Total votes 45: ↑36 and ↓9 +27
Views 2.7K
Comments 26

Парадокс Смейла или “Как вывернуть сферу наизнанку?”

Mathematics *
Недавно перевел замечательный видеоролик. Вы знаете, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, т. е. с возможными самопересечениями, но без перегибов, а окружность нельзя?

В ролике наглядно показан способ выворачивания сферы, изобретенный не так давно Уильямом Терстеном. Сначала это кажется чем-то невероятно сложным и просто немыслимым, однако к концу ролика все становится понятно. Посмотрите до конца, и вы не пожалеете!:)
Читать дальше →
Total votes 107: ↑80 and ↓27 +53
Views 8.6K
Comments 195

Представляем десятое измерение

Self Promo
imageЛюбители квантовой физики и сайта TED.com наверняка слушали доклад Брайна Грина про теорию суперструн, в котором упоминалось, что данная теория будет работать только при наличии целых 11 измерений!

Эх… А ведь нам даже четвертое-то измерение представить довольно трудно, а вы про какие-то десять говорите… Но, несмотря на это, мы попытались перевести и переозвучить видеоролик, который интересно и доходчиво объясняет, как же можно представить себе аж десятое измерение!

Читать дальше →
Total votes 133: ↑122 and ↓11 +111
Views 4.9K
Comments 375

Геометрическая философия дизайна

Mathematics *
Разливающийся Нил каждый год затапливает свои берега, а потом обнажает их вновь, оставляя открытой плодороднейшую почву. Каждый год древние египтяне должны были заново измерять свои участки земли и определять их границы. Позже, древние греки описали этот процесс и назвали его геометрией — измерением земли. Геометрия представлялась принципом установления порядка и закона в мире. Бытовая процедура стала наукой.

Древние геометры стремились найти универсальные принципы и законы, которые воплощаются в фигурах всех вещей на земле. Сегодня их открытия часто используются в дизайне. Например, типографские сетки можно строить на основе известных пропорций. Результат будет выглядеть гармонично и приятно для глаза.




Но знаем ли мы почему возникли именно такие пропорции? Какой смысл в них закрыт? Что видели древние и почему упорно применяли их для создания произведений искусства, особенно, носивших религиозный смысл?



На этом изображении XVI в. геометрия представлена женщиной. Она предается размышлениям о законах и принципах устройства мира. Мужчины, изображенные вокруг нее, воплощают эти принципы в ежедневном быту. Таким образом идеи и философские концепции находят выражение в материальных объектах и практиках.

Все мы в дизайне сегодня увлеченно занимаемся практиками, производим продукты. Однако интересно и полезно иногда вернуться к классическому образованию и даже покопать еще глубже, чтобы узнать об идеях, стоящих за нашей практикой, существующих многие сотни лет. Ну то есть больше узнать про женщину :)

Под катом я еще немного ее обрисую.

Читать дальше →
Total votes 113: ↑96 and ↓17 +79
Views 12K
Comments 35

Философская геометрия, Часть 2. Корень из трех и его практическое применение

Mathematics *
Сейчас я вам что покажу, закачаетесь. Обязательно загляните под кат, самые интересные картинки я припрятал там.

Я продолжаю рассказ о применении философской геометрии на практике. Прошлая часть была обзорная, она говорила о том, что многие века геометрия использовалась для поиска универсальных идеальных законов природы. Эти законы повсеместно использовались в произведениях искусства, архитектуре и духовной жизни.

Сегодня я расскажу про замечательную пропорцию «корень из трех». Я покажу ее сакральный смысл, а под катом продемонстрирую пример из современного дизайна, который повергнет вас в шок ;)

Начнем с построения пропорции. Возьмем отрезок AB.



Примем его за радиус и построим окружность с центром в A.



Теперь построим вторую окружность с тем же радиусом, но с центром в B.



У нас получилась фигура ACBD, имеющая огромное значение для наших предков. Она называется Vescica Piscis (пузырь рыбы). Самый простой и важный пример — она давно является символом христианства.



Я продолжу под катом. Спорим, никогда не догадаетесь чем там все закончится :)

Читать дальше →
Total votes 316: ↑253 and ↓63 +190
Views 9.4K
Comments 192

Философская геометрия. Часть 3. Корень из двух и идеальный ноутбук

Mathematics *
Еще не все копья сломались по поводу айфона, вписанного в древнюю сакральную фигуру, как у меня готово продолжение. Под катом я покажу как еще современные предметы используют идеи многовековой давности.

Эта статья — продолжение первых двух.
Сначала был обзор, где я говорил как древние геометры искали неизменное во всем сущем и воплощали это в произведениях искусства.
Потом была статья, где я показал как число √3 использовалось в религиозных символах и современном всем известном предмете дизайна

На этот поговорим о числе √2. Корень из двух является символом природного роста. Визуальное представление геометрической прогрессии показывает как ничтожный объект может вырасти до гигантских размеров за короткое время. Корень из двух — это то неизменное, что находится в основе этой прогрессии. В этом росте — сила данного числа.



Но что такое рост? Что вообще такое процесс творения и как ничтожное может развиваться и становиться большим? Давайте представим себе точку.



Само по себе — это ничтожество. Это сущность, присутствующая в одном измерении, но в то же время, в ней заключена огромная энергия. Давайте высвободим ее.



Что дальше? Нам нужен прорыв. Откроем для себя второе измерение. Построим квадрат ABCD



Теперь, откроем новые формы движения. С центром в точке С радиусом CB давайте проведем дугу.



Найдем новые пути движения. Соединим AC и CE. Длина AC — это √2 — фактор, удваивающий измерение.



К чему же это приведет? К бесконечному множеству вещей. Но давайте возьмем практическую задачу. Под катом мы будем выращивать идеальный ноутбук. (Можете даже не сомневаться, чей логотип там окажется :)

Читать дальше →
Total votes 202: ↑106 and ↓96 +10
Views 5.4K
Comments 148

Философская геометрия. Часть 4, Заключительная. Золотое сечение и корень из пяти

Mathematics *
О, Боже, четвертая часть! Это выше моих сил! Спокойствие, у меня заканчиваются таблетки, поэтому это последняя статья, и в ней будут разоблачения. Под катом описание процесса подгонки, ушепритягивания, запутывания и манипуляций.

В предыдущих (1, 2, 3) частях мы видели как разные пропорции использовались в геометрии, античном искусстве и современном промышленном дизайне. У нас осталась нераскрытой тема золотого сечения и еще одного корня — √5. Начнем же.

Однажды, люди натолкнулись на идею пропорций. В различных фигурах постоянно встречались одни и те же закономерности. Это впечатляло. Потом кто-то додумался измерить парочку растений, зверюшек и некоторые части тела, которые обычно от посторонних прячут. Закономерности оказались и там. Это впечатляло еще больше.

Терпеть не осталось больше мочи, самые распространенные отношения были объявлены священными. Некоторые видели в них проявление божественного вмешательства. Некоторые — самого бога. А раз священные пропорции так часто встречаются, то можно под них подогнать все что хочешь, сделать из этого символ и стращать паству.

Мистификации и приписки из самых благих намерений встречаются в истории постоянно. Например, переписчики классического труда «Церковная история народа Англов» Беды Достопочтенного приделывали к тексту куски, дабы определенные церковные вопросы выглядели более благоприятно. А 25-28 главы VI книги «Записок о галльской войне» Цезаря по всей видимости не такие уж и Цезаря.

Так же и в символике. Надо чтобы люди чувствовали ее глубинный смысл, а сама форма не так важна. Возьми любую картинку, в ней обязательно да что-нибудь отыщется. Чем древнее, тем лучше. Самый древний у нас Египет, поупражняемся на нем.

Вот схема барельефа из гробницы Петосириса, найденной в 1919 году.



Посидев достаточное время с линейкой и циркулем, в нем можно отыскать и золотое сечение и еще кучу разных отношений (помимо буковок text, остряки, для этого не нужен циркуль).



Выглядит достаточно круто, поэтому нет причин не заявить, что Египтяне знали о золотом сечении и специально все так сделали.

Мистифицировать геометрию легко и просто. Сейчас я покажу вам пару приемов. Загляните под кат.

Читать дальше →
Total votes 207: ↑159 and ↓48 +111
Views 6.9K
Comments 63

Третья проекция

Mathematics *

Вспомнилась интересная пространственная задачка с одного собеседования:


Есть 2 проекции фигуры (нет скрытых линий, т.е не шар внутри куба),
надо найти третью проекцию или нарисовать всю фигуру. Удачи.


третья проекция
Читать дальше →
Total votes 49: ↑35 and ↓14 +21
Views 1.1K
Comments 290

Равносторонний треугольник из листа бумаги А4

Mathematics *
Не оригами, но всё же. У меня не так давно произошел случай. Я что-то слушал, о чем то думал, и сгибал лист бумаги формата А4. В результате я офигел от того, что получился равносторонний треугольник. Взял линейку, обмерил — всё верно.

Хочу спросить у Вас, мои дорогие: существуют ли такие способы уже? Вряд ли я первый.

P.S. Спрашивал у интернетов — они сказали не знают.

=========================================================
UPD: В сявзи с минусующими и тем кто в поисках смысла:

Ещё раз о задаче:

Есть лист А4. Используя только сгибы сделать равносторонний треугольник.

Вопрос: кто каким путем придет к решению задачи?

Это не просто, не сложно. Это не зачем.
Я спрашиваю о последовательности действий only.
Total votes 53: ↑24 and ↓29 -5
Views 3.2K
Comments 28

Когда не нужна тригонометрия

Algorithms *Mathematics *
Просматривая различный код по выводу на экран какой-нибудь даже примитивной графики, я заметил чрезмерную любовь некоторых программистов к тригонометрии. Часто код пестрит синусами, косинусами и арктангенсами там, где без них можно обойтись. Этим грешат даже хорошие программисты, которые способны спроектировать сложную систему, но почему-то не освоили вектора в объёме школьной программы. Буквально азов векторной алгебры хватает для решения многих насущных проблем. В этом топике я хочу провести краткий ликбез, напомнить основные действия с векторами на плоскости и в качестве примера решить две задачи без тригонометрии: поиск отражённого луча по падающему лучу и произвольно расположенному зеркалу, а также рисование наконечника стрелки. Если вы можете представить в голове рисование произвольно направленной стрелки без синусов и косинусов, смело пропускайте этот топик. Для остальных постараюсь объяснять попроще.
Читать дальше →
Total votes 219: ↑209 and ↓10 +199
Views 47K
Comments 66

Геометрия на Хабре

Geometria.ru corporate blog Mathematics *
Geometria LabДорогие коллеги, Геометрия начинает вести свой блог на Хабрахабр.

Наш технический отдел (Geometria Lab) в ходе работы над проектами порой сталкивается с достаточно сложными и интересными задачами. О наших решениях, наработках, open source проектах мы и будем рассказывать в этом блоге.


Сейчас мы работаем над двумя основными нашими проектами:
  • Geometria.ru — культурная среда, освещает ночную и светскую жизнь в более чем 100 городах России и ближнего зарубежья. В среднем ежемесячно 3 000 000 человек просматривают 40 000 000 страниц.
  • Geometria.me — дата-ориентированная социальная сеть, которая позволяет людям и заведениям отражать самих себя. На данный момент проект находится в стадии тестирования.
В обоих проектах мы используем PHP, Zend Framework, NodeJS, Redis, Memcached, MongoDb, MySQL, Nginx.

Буду рад, если наши изыскания и опыт вам пригодятся. В следующем посте я расскажу о том, как мы реализовали прямые трансляции вечеринок из клубов на Geometria.ru.
Total votes 61: ↑30 and ↓31 -1
Views 6.6K
Comments 34

Подсчет объектов на бинарном изображении. Часть 2

Image processing *Mathematics *

Аннотация


image Эта статья написана в продолжении первой части статьи про работу с бинарными изображениями, в которой рассказывается как подсчитывать объекты. Однако от одного подсчета толку мало, часто хочется узнать некоторые геометрические параметры распознаваемых объектов. Кажется, что тут считать — узнал количество восьмерок — площадь равна 19, посчитал количество семерок — площадь равна 7 (см. картинку в Аннотации).
Делая так, мы будем вынуждены использовать дополнительный проход по изображению, желательно этого избегать — в пользу повышения эффективности реализации. Как и было запланировано, в этом топике рассказывается о подсчете геометрических характеристик объектов без дополнительного прохода.
А так же: фактор формы и розы Гвидо-Гранди и чем отличается квадрат от прямоугольника, а он от звезды.
Читать дальше →
Total votes 31: ↑31 and ↓0 +31
Views 8.5K
Comments 10

Трисекция угла

Entertaining tasks Mathematics *
Задачу решают со времен Древней Греции, а звучит она так: c помощью только циркуля и линейки требуется разделить произвольный угол на три равные части. При этом делений на линейке не должно быть, а в процессе построения никаких отметок на ней делать не допускается. Пользоваться можно только простым циркулем и линейкой без засечек и обеспечить идеальную точность построения для всех видов углов. В 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель доказал нерешаемость трисекции угла в таком виде.

Недавно друг озадачил меня своим вариантом решения. Самое странное, что не смотря на его простоту, ошибку в нём у нас найти так и не получилось. Сразу оговорюсь, что альтернативные варианты решения, которые публиковались ранее (и оказались не правильными), были изучены. Иллюзий, что вот так просто нашлось решение задачи, которую человечество пыталось решить больше 2000 лет, никто не строит. Тем не менее, мы с другом будем очень благодарны Хабрасообществу за помощь в поиске ошибки.
Читать дальше →
Total votes 22: ↑15 and ↓7 +8
Views 2.4K
Comments 38

Решение обратной задачи аналитической геометрии. Теория R-функций

Algorithms *Mathematics *
Sandbox
Навеяно недавним постом о построении различных картинок с помощью кривой Гильберта. Будет немного теории и немного картинок.

Немного теории


Компьютерный век породил теорию R-функций — функций с «логическим зарядом», возникшую на стыке дискретного и непрерывного анализов, использующую аппарат булевой алгебры, который органически присущ и ЭВМ. На основе теории R-функций была решена обратная задача аналитической геометрии, появилась возможность строить в виде элементарной функции уравнение границы сложного объекта, и притом такое уравнение, которое обладало бы необходимыми дифференциальными свойствами. В. Л. Рвачев с помощью конструктивного аппарата теории R-функций разработал единый подход к проблеме построения координатных последовательностей для основных вариационных и проекционных методов. К настоящему времени метод R-функций был применен для решения большого числа задач электродинамики, механики деформируемого твердого тела, теории пластин и оболочек, гидродинамики и магнитной гидродинамики, теплофизики и др.
Читать дальше →
Total votes 41: ↑34 and ↓7 +27
Views 8.5K
Comments 43

Simplify.js — JavaScript-библиотека для упрощения ломаных линий

JavaScript *Mathematics *
Рад представить вашему вниманию еще одну крохотную, но полезную open-source-утилиту своего авторства — Simplify.js.



Simplify.js — очень быстрая реализация упрощения ломаных линий на JavaScript. Изначально написав ее для Leaflet (библиотеки для интерактивных карт), после небольшого эксперимента по оптимизации захотелось выпустить ее в качестве отдельной библиотеки без зависимостей, которую можно использовать как в браузере, так и на серверных платформах, таких, как Node.js, и применять и для 2D, и для 3D-точек.

Подобное упрощение позволяет на несколько порядков уменьшить количество точек в ломаной линии (например, представляющей длинный маршрут на карте или график), при этом максимально сохранив ее очертания (с заданной точностью). Соответственно резко уменьшается занимаемый линией размер памяти и время, требуемое для ее обработки.

Читать дальше →
Total votes 134: ↑129 and ↓5 +124
Views 9.2K
Comments 57

Проверка принадлежности точки невыпуклому многоугольнику

Sport programming *Algorithms *
Проверить принадлежность точки невыпуклому многоугольнику за линейное время совсем не сложно. Один из самых распространенных методов — выпустить луч и посчитать число точек пересечения. Однако, при этом нужно аккуратно рассматривать случаи, когда точки многоугольника попадают на луч. Отсюда естественно возникает вопрос, как рассмотреть эти случаи проще всего?
Дать волю пефекционизму
Total votes 51: ↑49 and ↓2 +47
Views 34K
Comments 57

Топология на пальцах

Mathematics *
Sandbox
Топология — довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.

Читать дальше →
Total votes 84: ↑71 and ↓13 +58
Views 164K
Comments 55