Pull to refresh

Разрезание на две равные части, часть первая

Mathematics *
Задачи на разрезание — это та область математики, где, как говорится, мамонт не валялся. Множество отдельных проблем, но по сути нет общей теории. Помимо всем известной теоремы Бойяи-Гервина, других фундаментальных результатов в этой области практически нет. Неопределённость — вечный спутник задач на разрезание. Мы можем, например, разрезать правильный пятиугольник на шесть частей, из которых можно сложить квадрат; однако мы не можем доказать, что пяти частей для этого было бы недостаточно.

С помощью хитрой эвристики, воображения и поллитры нам порой удаётся найти конкретное решение, но, как правило, мы не обладаем подходящим инструментарием, чтобы доказать минимальность этого решения или же его несуществование (последнее, разумеется, относится к случаю, когда мы решение не нашли). Это печально и несправедливо. И как-то раз я взял чистую тетрадку и решил восстановить справедливость в масштабах одной конкретной задачи: разрезания плоской фигуры на две равных (конгруэнтных) части. В рамках этого цикла статей (их, кстати, будет три) мы с вами, камрады, рассмотрим вот этот забавный многоугольник, изображённый ниже, и попытаемся беспристрастно разобраться, можно ли разрезать его на две равных фигуры, или же таки нет.



Скандалы, интриги, расследования
Total votes 61: ↑53 and ↓8 +45
Views 52K
Comments 11

Разрезание на две равные части, часть вторая

Mathematics *
С первой частью можно невозбранно ознакомиться здесь.

Итак, дорогие друзья, в предыдущей части мы с вами поговорили о параллельном переносе, а сегодня займёмся поворотом. Это будет интересно. Сейчас быстренько вспомним основные понятия — и вперёд.



Интриги, расследования, скандалы
Total votes 27: ↑27 and ↓0 +27
Views 17K
Comments 39

Разрезание на две равные части, вторая часть второй части

Mathematics *
Первая часть
Первая часть второй части

Майские праздники продолжаются, количество употреблений слова «часть» на строку текста зашкаливает, а мы с вами, дорогие читатели, наконец прикончим случай поворота с центром внутри фигуры.



Интриги, расследования, интриги
Total votes 18: ↑14 and ↓4 +10
Views 12K
Comments 4

Разрезание на две равные части, часть третья

Mathematics *
Первая часть
Первая часть второй части
Вторая часть второй части

Ну что ж, господа, пора заканчивать. В последней статье цикла (название которой разрывает мой ещё толком не проснувшийся шаблон) мы поставим жирную точку в истории этой задачи. Несмотря на то, что в комментариях ко второй части был предложен более удобный и универсальный способ это сделать, я всё же воспользуюсь инструментарием, разработанным лично мной ещё до написания первой из статей. Во-первых, не пропадать же добру, а во-вторых, я думаю, все понимают, что задача — это просто повод порисовать красивые чертёжики в GeoGebra и запостить их на хабр. Ну, как говорится, понеслась.



Расследования, скандалы, интриги
Total votes 35: ↑32 and ↓3 +29
Views 23K
Comments 13

Наибольшие малые многогранники: новые решения в комбинаторной геометрии

Wolfram Research corporate blog Entertaining tasks Programming *Mathematics *
Translation

Перевод поста Ed Pegg Jr."Biggest Little Polyhedron—New Solutions in Combinatorial Geometry".
Скачать файл, содержащий текст статьи, интерактивные модели многогранников и код, приведенный в статье, можно здесь.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.

Во многих областях математики ответом будет единица 1. Возведение неотрицательного числа в квадрат, которое больше или меньше единицы, даст большее или меньшее число соответственно. Иногда для того, чтобы определить, является ли что-то «большим», необходимо выяснить, больше ли единицы наибольший размер этого объекта. К примеру, гигантский гексагон Сатурна с длиной стороны в 13,800 км можно было-бы отнести к большим. «Малый многоугольник» — это тот, у которого максимальное расстояние между вершинами равно единице. В 1975 году Рон Грэм открыл наибольший малый шестиугольник, который, как показано ниже, имеет большую площадь, чем у правильного шестиугольника. Красные диагонали имеют единичную длину. Все остальные (непроведённые) диагонали имеют меньшую длину.

Regular hexagon, biggest little hexagon, biggest little octagon showing lengths of 1
Читать дальше →
Total votes 24: ↑20 and ↓4 +16
Views 10K
Comments 26

Головоломка Арнольда: от комбинаторной геометрии к браузерной игрушке

Self Promo

Представьте игру, в которой выполняются простые правила:
1. На плоскости проведены несколько линий, каждая пара линий пересекается в одной точке.
2. Линии разбивают плоскость на области, раскрашенные в шахматном порядке.
3. Вы можете перестраивать разбиение, «схлопывая» и «выворачивая» треугольники.
4. Ваша цель – получить максимально возможное количество темных областей.

Я уже запрограммировал браузерную игрушку по этим правилам. Под катом – гифка прохождения для 5 линий, личный опыт игры и краткое описание математики в основе головоломки.

Читать далее
Total votes 20: ↑20 and ↓0 +20
Views 3.9K
Comments 14