Pull to refresh
  • by relevance
  • by date
  • by rating

Комплексные числа — Неизбежность (музыкальный проект)

Popular science
Данный топик предназначен для тех, кому небезынтересны смесь интрересной музыки и науки.
Всех, кто не способен взглянуть дальше обертки (в частнности восклицания «Гы! Смотрите, это Флэш» будут смешны), я прошу пролистнуть дальше страницу.

Вы все еще читаете?
Скажите, а вы умеете одновременно читать английский текст, слушать русский поэтизированный текст и наблюдать за происходящим на экране? Вы постараетесь, да?
Добро пожаловать подкат!
Total votes 78: ↑55 and ↓23 +32
Views 1.5K
Comments 55

Кош на комплексной плоскости

Mathematics *
В какой-то из весенних дней этого года я ехал в троллейбусе и листал комикс о Коше. В одном из выпусков была такая фраза «НО! Её можно понять, она же фракталами в горизонт перетекает, я бы тоже замешкался...». После этого я посмотрел в окно и понял, что если мы возьмём два подходящих дробно-линейных преобразования комплексной плоскости a(z) и b(z), и рассмотрим систему итерированных функций для a(z), b(z), a−1(z), b−1(z), взяв в качестве начального множества картинку с Кошем, то Кош будет перетекать фракталами в горизонт!

И вот несколько дней назад у меня дошли руки, чтобы написать нужный скрипт на питоне. Результаты мне и моим друзьям понравились, и я решил написать эту хабрастатью.

Итак, если вы хотите узнать, что такое дробно-линейные преобразования комплексной плоскости, и как с помощью них получать фрактальные картинки, то добро пожаловать под хабракат. Там будет немножко бесполезной математики и много гифок.



Читать дальше →
Total votes 214: ↑206 and ↓8 +198
Views 64K
Comments 26

Построение множества Жюлиа

Algorithms *C# *Mathematics *
Привет. Кипят страсти, конец года, сессии, дедлайны, новый год, а так же цензура проникает во все слои интернетов, что не может не печалить. Хабр уже не торт. Просто хотелось написать, что я не согласен с таким подходом, но тогда бы меня просто забанили. Так что придется написать интересный контент. Хотя если забанят из-за предисловия к посту о множестве Жюлиа, ну что, тогда остатки торта стухли и шансов нет.

Итак, вернемся к теме поста. Я давно хотел немного больше узнать о комплексных числах, а не только то, что корень из минус единицы равен i. Особенно вызывали интерес фигуры имеющие фрактальную структуру, хотелось понять, что это значит, и как сделать такую визуализацию. Где то на полке стояла книжка по ТФКП, а так же закончился курс по комплексному анализу на курсере, и появилось немного свободного от работы времени. Приступим.
Читать дальше →
Total votes 119: ↑110 and ↓9 +101
Views 68K
Comments 42

О решении неполного кубического уравнения

Mathematics *
Tutorial
image

Intro


Я публикую этот топик как обучающий. Собственно говоря, существенной новизны в материале нет, тема заезжена. Думаю, что интересным будет подход к решению задачи.

Помню, на первом курсе на занятиях по математическому анализу пришел в голову один интеграл. Преподаватель вызвал к доске, но прозвенел звонок. По дороге домой в автобусе сложился «скелет» решения кубического уравнения. Общая схема, конечно, не самая рациональная. Есть более эффективная — тригонометрическая формула Виета. Там сразу выписывается корень по виду уравнения, а, вообще, по объему вычислений все-таки лучше использовать численный метод Ньютона, поскольку степенные ряды для обратных тригонометрических функций сходятся медленно (по ним строятся вычисления таких функций в некоторых библиотеках). Вот что получилось.
Читать дальше →
Total votes 43: ↑34 and ↓9 +25
Views 37K
Comments 4

Откуда есть пошло комплексное число

Mathematics *
Sandbox
В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.
Читать дальше →
Total votes 144: ↑139 and ↓5 +134
Views 139K
Comments 59

Квадратичное уравнение с комплексными числами в 3D

Mathematics *
Sandbox
Всем привет! Со школы, решая квадратичные уравнения ( КУ ), например $x^2+x+1=0$, получал корни обладающие мнимой составляющей, $x=-\frac{1}{2}\pm i \frac{\sqrt3}{2}$, и при желании увидеть как график пересекает ось $Y$ в точках $x=-\frac{1}{2}\pm i \frac{\sqrt3}{2}$, в интернете находил графики вроде:


Как график с мнимой частью выглядит ( по моим размышлениям ) в 3D ($X\bot Y\bot I$), и есть тема данной статьи.

PS: Под катом тяжёлые анимации
Читать дальше →
Total votes 24: ↑21 and ↓3 +18
Views 8.8K
Comments 8

Операции над комплексными числами

Mathematics *
Здравствуй, %username%!
Я получил довольно много отзывов о первой части и постарался все их учесть.
В первой части я писал о сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел.
Если не знаешь это — скорей беги читать первую часть :-)
Статья оформлена в виде шпарлагки, истории здесь крайне мало, в основном формулы.
Приятного чтения!
Читать дальше →
Total votes 16: ↑8 and ↓8 0
Views 5.1K
Comments 11

Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера

Mathematics *Popular science
Translation
Посмотрев лекцию профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог понять, почему тождество Эйлера является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А здесь вы можете купить его прекрасную книгу.

Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».


Рисунок 1.0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.

Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».
Читать дальше →
Total votes 94: ↑88 and ↓6 +82
Views 83K
Comments 77

Циркулярные кривые 2-го порядка

Vector graphics *Algorithms *Mathematics *
Как известно, кривыми Безье нельзя построить дугу окружности или эллипса. В этой статье рассматриваются кривые, лишённые такого недостатка.


Дальше будут картинки и анимации
Total votes 26: ↑26 and ↓0 +26
Views 6.1K
Comments 7

Как нарисовать звезду (и не только) в полярных координатах

Algorithms *Mathematics *Graphic design *
Вопрос о формуле для многоугольника в полярных координатах регулярно возникает на тематических ресурсах — и так же регулярно остаётся без внятного ответа. В лучшем случае попадается решение через функцию остатка от деления — что не является «чистым» с математической точки зрения, поскольку не позволяет производить над функцией аналитические преобразования. Видимо, настоящие математики слишком заняты решением проблем тысячелетия и поисками простого доказательства теоремы Ферма, чтобы обращать внимание на подобные банальные задачи. К счастью, в этом вопросе воображение важнее знания, и для решения этой задачи не нужно быть профессором топологических наук — достаточно знания школьного уровня.
Дальше больше картинок
Total votes 152: ↑150 and ↓2 +148
Views 21K
Comments 31

Мнимые числа для описания реальности?

Timeweb Cloud corporate blog Mathematics *Popular science Physics
Translation
Новый мысленный эксперимент показывает, что квантовая механика не работает без странных чисел, которые становятся отрицательными при возведении в квадрат.

Много веков назад математики были обеспокоены, когда обнаружили, что вычисление свойств определенных кривых требует, казалось бы, невозможного: чисел, которые при умножении сами на себя становятся отрицательными.



Все числа на числовой прямой, возведенные в квадрат, дают положительное число; 22 = 4 и (-2)2 = 4. Математики начали называть эти знакомые числа «вещественными», а, казалось бы, невозможную разновидность чисел — «мнимыми».
Читать дальше →
Total votes 31: ↑25 and ↓6 +19
Views 11K
Comments 65

Реклама Creative Commons творчества русской группы Complex Numbers, что с 1996 года создает хорошую научную фантастику

Science fiction

Здравствуйте, я давно знаком с творчеством Complex Numbers, насколько я помню сначала меня поразила их опера 2032, которая вышла за год до первого айфона, где человек общается с машиной об оптимальной социальной формации, потом волосы встали дыбом от песенки Последее Кольцо, где рассказывается о тепловой смерти вселенной, что даже если мы и станем бессмертными пост-человеками то ничего не сможем поделать с законами физики.

Интересно что главный, Виктор Аргонов, много лет занимался физикой и имеет соответствующие научные работы, а также статьи по философии сознания. Редкий феномен, когда ученый делает песенки, и большие оперы (похоже на жанр Театр у микрофона). Музыка часто похоже на ретрофутуризм, но текст и голоса девушек исполнителей доставляют. Сегодня Виктор ушел из науки и зарабатывает статьями про криптовалюты, продолжая после работы делать новые произведения про будущее человечества и работу мозга.

На Хабре не нашел ни одной статьи об этой группе, подумал что они достойны рекламы. Тем более что творчество их мало того что бесплатно, так еще и Creative Commons. 25 лет, создавая после работы, такие особенные филосовские произведения. Какбы андерграунд, но стало удивлением что в Дальневосточном федеральном университете на кафедре «Основы биологии человека и биоэтики» в программе обучения от 2017 года содержится задание по написанию эссе после прослушивания Русалочки (одна из опер группировки). Вопросы студентам предлагаются следующие:

Read more
Total votes 51: ↑48 and ↓3 +45
Views 6.4K
Comments 42

Комплексные числа и геометрические узоры

RUVDS.com corporate blog Vector graphics *Algorithms *Mathematics *Graphic design *
Когда речь заходит о комплексных числах, в первую очередь вспоминают о преобразовании Фурье и прочих аспектах цифровой обработки сигналов. Однако у них есть и более наглядная интерпретация, геометрическая — как точки на плоскости, координатам которой соответствуют действительная и мнимая часть комплексного числа. Рассматривая некоторую кривую как совокупность таких точек, можно описать её как комплексную функцию действительной переменной.

Дальше больше картинок и анимаций
Total votes 106: ↑106 and ↓0 +106
Views 15K
Comments 39