Существует довольно известная олимпиадная задача: Если на столе расположено несколько выпуклых плоских фигур, то хотя бы одну из них можно сдвинуть, не задевая других (утверждение выглядит весьма естественно, хотя доказательство не очень простое).

Оказывается, что в трехмерном пространстве это утверждение уже неверно: можно расположить несколько выпуклых тел так, чтобы ни одно из них нельзя было сдвинуть, не трогая других.

Посмотрим на многугольник с жесткими сторонами, в вершинах которого помещены шарниры. Если у него более трех вершин, то он может изгибаться — длины сторон далеко не однозначно определяют многоугольник. А что происходит с многогранниками в трехмерном пространстве? Если зафиксировать форму их граней, смогут ли они изгибаться?


Оказывается, что иногда могут, но это очень редкое свойство

Перевод поста Ed Pegg Jr."Biggest Little Polyhedron—New Solutions in Combinatorial Geometry".
Скачать файл, содержащий текст статьи, интерактивные модели многогранников и код, приведенный в статье, можно здесь.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.

---

Во многих областях математики ответом будет единица 1. Возведение неотрицательного числа в квадрат, которое больше или меньше единицы, даст большее или меньшее число соответственно. Иногда для того, чтобы определить, является ли что-то «большим», необходимо выяснить, больше ли единицы наибольший размер этого объекта. К примеру, гигантский гексагон Сатурна с длиной стороны в 13,800 км можно было-бы отнести к большим. «Малый многоугольник» — это тот, у которого максимальное расстояние между вершинами равно единице. В 1975 году Рон Грэм открыл наибольший малый шестиугольник, который, как показано ниже, имеет большую площадь, чем у правильного шестиугольника. Красные диагонали имеют единичную длину. Все остальные (непроведённые) диагонали имеют меньшую длину.

В двухмерном пространстве два одномерных отрезка имеют общую точку, взаимное расположение таких отрезков определяется обычным углом. На видео показан поворот одного отрезка вокруг общей точки, при этом угол меняется от 0 до 360 градусов.