Pull to refresh

Парадокс дней рождения

Lumber room
Утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет — 367).
Читать дальше →
Total votes 60: ↑24 and ↓36 -12
Views 7.2K
Comments 16

Так ли точна математика, как кажется?

Mathematics *
Наверное, данный вопрос задавал себе каждый, чуточку интересующийся математикой человек. Прочитав статью 2 х 2 = 4, было сделано заключение, что эта тема также может понравиться хабралюдям. Речь пойдет об аксиомах в математике, противоречиях и парадоксах. Кому интересно — добро пожаловать под кат.
Читать дальше →
Total votes 7: ↑5 and ↓2 +3
Views 19K
Comments 20

Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация

Mathematics *
Sandbox
Tutorial

Краткий синопсис


По образованию я физик-теоретик, однако имею неплохую математическую базу. В магистратуре одним из предметов была философия, необходимо было выбрать тему и сдать по ней работу. Поскольку большинство вариантов не единожды было обмусолено, то решил выбрать что-то более экзотическое. На новизну не претендую, просто получилось аккумулировать всю/почти всю доступную литературу по этой теме. Философы и математики могут кидаться в меня камнями, буду лишь благодарен за конструктивную критику.

P.S. Весьма «сухой язык», но вполне читабельно после университетской программы. По большей части определения парадоксов брались из Википедии (упрощённая формулировка и готовая TeX-разметка).

Введение


Как сама теория множеств, так и парадоксы, ей присущие, появились не так уж и давно, чуть более ста лет назад. Однако за этот период был пройден большой путь, теория множеств так или иначе фактически стала основой большинства разделов математики. Парадоксы же её, связанные с бесконечностью Кантора, были успешно объяснены буквально за половину столетия.

Следует начать с определения.

Что есть множество? Вопрос достаточно простой, ответ на него вполне интуитивен. Множество это некий набор элементов, представляемый единым объектом. Кантор в своей работе Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre даёт определение: под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)[1]. Как видим, суть не изменилась, разница лишь в той части, которая зависит от мировоззрения определяющего. История же теории множеств как в логике так и в математике весьма противоречива. Фактически начало ей положил Кантор в XIX веке, далее Рассел и остальные продолжили работу.

Парадоксы (логики и теории множеств) — (греч. image — неожиданный) — формально-логические противоречия, которые возникают в содержательной множеств теории и формальной логике при сохранении логической правильности рассуждения. Парадоксы возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (например, приводимая Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное, предложение), возникает задача выявления источников подобных противоречий и нахождения способов их устранения. Проблема философского осмысления конкретных решений парадоксов — одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики.

Целью данной работы является изучение парадоксов теории множеств как наследников античных антиномий и вполне логичных следствий перехода к новому уровню абстракции — бесконечности. Задача — рассмотреть основные парадоксы, их философскую интерпретацию.
Читать дальше →
Total votes 40: ↑35 and ↓5 +30
Views 58K
Comments 18

Эй, НАСА, а черные дыры таки существуют!

Astronautics
Translation
«Моя цель проста: полностью разобраться в устройстве Вселенной и понять, почему она такая и зачем она существует».
Стивен Хокинг

От переводчика. А ты, хабражитель, заметил, что тема космоса становится всё популярнее? Curiosity покоряет Марс, Virgin Galactic продает билеты на суборбитальные космические полеты, а Китай стал третьей страной, добравшейся до Луны. На самом деле, еще большие изменения происходят в космической теории. В этой статье с Medium речь пойдет о том, как изменилось представление ученых о черных дырах за последние пару лет. Я не физик, поэтому в переводе не исключены ляпы — пишите в личку или подробно (чтобы всем было понятно и интересно) в комментариях. Заранее большое спасибо и приятного чтения!
(Претензии на тему jpeg/png отправлять автору статьи.)

Читать дальше →
Total votes 194: ↑171 and ↓23 +148
Views 96K
Comments 245

В мире математических парадоксов

Entertaining tasks Mathematics *

Доброго времени суток, уважаемое хабрасообщество.

Сегодня я хотел бы затронуть такую увлекательную тему, как математические парадоксы. По данной теме на хабре уже было опубликовано несколько замечательных статей (1,2,3,4,5), но в математике интересные парадоксы этой выборкой далеко не исчерпываются.

Поэтому попробуем рассмотреть другие занимательные парадоксы (а некоторые и «не совсем» парадоксы), которые пока еще не получили здесь должного освещения.
Читать дальше →
Total votes 98: ↑84 and ↓14 +70
Views 106K
Comments 92

Саморегулирование биткойна

Cryptography *Payment systems *
Translation
Небольшой фрагмент лекции из курса Принстонского университета, лектор — Arvind Narayanan

Сейчас я хочу продемонстрировать вам еще одну тонкую мысль, довольно сложную, это очень четкая идея саморегулирования, которая захватила меня в первый раз, когда я с ней встретился. Я хочу поделиться ей с вами.

Что я имею в виду под саморегулированием? Я говорю о сложном взаимодействии между тремя вещами в биткойне. Что это за три вещи?
Читать дальше →
Total votes 19: ↑12 and ↓7 +5
Views 12K
Comments 45

Парадокс Симпсона и немного Pandas

Python *Mathematics *

О чем статья?


В этой статье я хочу рассмотреть один из наиболее известных примеров парадокса Симпсона, попутно немного рассказав о MultiIndex в Pandas.
Обо всем по порядку.

Парадокс Симпсона — контринтуитивное явление в Статистике, когда мы видим в каждой из групп данных определенную зависимость, но при объеденении этих групп зависимость исчезает или становится противоположной. Например, если смотреть изменение среднего заработка женщин 25 лет и старше, работающих полный день, между 2000 и 2012 годами с различным уровнем образования, то мы получим следующие цифры (все расчеты проводились с поправкой на инфляцию):

  • Less than 9th grade -3.7%
  • 9th-12th but didn’t finish -6.7%
  • High school graduate -3.3%
  • Some college but no degree -3.7%
  • Associate’s degree -10.0%
  • Bachelor’s degree or more -2.7%

По этим цифрам можно сделать вывод, что заработок женщин за 12 лет снизился. Однако, на самом деле, средний заработок женщин с полной занятостью вырос на 2.8% (подробнее про этот пример можно почитать тут).

Одним из наиболее известных примеров парадокса Симпсона является случай половой дискриминации при поступлении в Калифорнийский унивеситет Berkeley. Его и будем рассматривать далее.
Читать дальше →
Total votes 49: ↑46 and ↓3 +43
Views 31K
Comments 7

Проблемы эгоистов: дорожные пробки и парадокс Браеса

System Analysis and Design *Mathematics *
Translation

Строительство более широких дорог может ухудшить ситуацию с дорожным движением. Обычно этот контринтуитивный и контрпродуктивный результат объясняют следующим образом: чем больше дороги, тем более крупные торговые центры они привлекают, что в свою очередь привлекает больше автомобилей. Но это ещё не вся история. В 1960-х Дитрих Браес обнаружил теоретическую конфигурацию дорог, в которой строительство новой соединительной дороги может замедлить движение каждого, даже если количество машин остаётся постоянным. И наоборот, закрытие одной дороги в сети Браеса позволит всем добираться домой быстрее. Такое явление настолько странно, что заслуживает собственного определения — «Парадокс Браеса».

Несколько лет назад Джоел Коэн сказал мне, что парадокс Браеса может стать хорошей темой для моей колонки в «Computing Science». Я засомневался. Опубликовано уже немало обсуждений этого парадокса, в том числе потрясающие статьи самого Коэна, а также книга Тима Рафгардена (обзор которой я написал для American Scientist). Я не считал, что смогу добавить что-то новое к дискуссии.

Однако недавно я начал рассматривать задачу визуализации парадокса Браеса — представлении его таким образом, чтобы мы могли наблюдать отдельные автомобили, едущие через дорожную сеть, а не просто вычислять средние скорости и время в пути. Возможность поэкспериментировать с моделью — понажимать рычаги и кнопки, попробовать разные алгоритмы маршрутизации — может привести к более чёткому пониманию того, почему хорошо информированные и имеющие собственный интерес водители могут выбирать маршрут, который в результате тормозит всех.
Читать дальше →
Total votes 85: ↑85 and ↓0 +85
Views 83K
Comments 711

Пользователи не рады изменению алгоритма показа обновлений в Инстаграм

Professional literature *Copyright Social networks and communities
Вчера в официальном блоге Инстаграм сообщил о новом алгоритме выдачи обновлений в ленте. Теперь пользователи увидят фотографии не по дате публикации, а в соответствии с предпочтениями.



Читать дальше →
Total votes 17: ↑14 and ↓3 +11
Views 12K
Comments 39

Кто спасёт теорию относительности?

Physics
Recovery mode


В статье речь пойдёт о втором постулате специальной теории относительности (СТО):
«Скорость света в вакууме одинакова во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга»
Оказывается, этот постулат можно опровергнуть.
Читать дальше →
Total votes 57: ↑2 and ↓55 -53
Views 15K
Comments 97

Логична ли математика или почему парадоксальны аксиоматические теории

Entertaining tasks Mathematics *Popular science Logic games
Sandbox
image

Сегодня мы поговорим об основах. Теоретические основы задают пределы возможного и показывают пути достижения целей, а потому глубина понимания в таких вопросах никогда не будет лишней.

Все основы мы осветить не сможем, поэтому пока направим свой просветительский луч на занимательные задачки, называемые парадоксами. По ходу освещения темы мы постепенно углубимся в недра подхода, называемого логикой, а затем обратим внимание на связи логики и математики, после чего наши читатели смогут легко разобраться не только в причинах полезности логики при выводе аксиоматических теорий, но и зачем вообще аксиоматические теории нужны, а так же поймут как не надо подходить к строительству непротиворечивых теорий.
Читать дальше →
Total votes 32: ↑25 and ↓7 +18
Views 18K
Comments 261

Сознание и существование. Квантовая механика без парадоксов

Popular science Physics Brain Quantum technologies

Является ли эксперимент с котом Шредингера парадоксом?


Профессор поднял голову от стола и говорит:

– Здравствуй, мальчик. Ты зачем пришёл?

– Я хочу у вас про кота спросить.

– А что про кота?

– Допустим, у вас был кот …

Эдуард Успенский «Дядя Фёдор, пёс и кот»

Квантовая суперпозиция и роль наблюдателя в квантовой физике


Согласно квантовой механике если над частицей не производится наблюдение, то ее состояние описывается как квантовая суперпозиция (когерентная суперпозиция), т.е. смешение всех возможных альтернативных состояний в которых может находится частица.


Например, ядро атома за которым не производится наблюдение

Total votes 31: ↑9 and ↓22 -13
Views 28K
Comments 52

Обратный парадокс Банаха-Тарского или как сократить хранимый объем данных в пять раз

Big Data *Mathematics *Physics
Recovery mode
Sandbox

Сразу хочу пояснить что речь идет о теоретической модели позволяющей сократить объем хранимой информации в 5 раз, а не о ее практическом применении.


Введение


Восемь месяцев назад бродил я на просторах интернета в поисках вдохновения. Сам я инженер по первому образованию, но занимаюсь в целом развитием стартапов, менторством, коучингом, консалтингом и все в этом духе. Поэтому я стараюсь следить за трендами, новыми идеями (как говориться все новое, это хорошо забытое старое) и находя какую либо информацию, всегда стараюсь задать себе вопрос: "как это можно применить на практике?". Так вот, наткнулся я на статью, честно признать я больше из лагеря физиков, чем математиков, поэтому понял примерно 10%, но суть уловил что 1=2 и так далее в прогрессии, причем это не бред сумасшедшего, а реальная математическая выкладка.
Стало интересно. image


Суть парадокса Банаха-Тарского в легком изложении


Я читал много статей, полкниги прочел, смотрел ряд видео, вот это легче и наглядней всего объясняет суть.


Говоря простым языком можно взять любое трехмерное тело, разделить его на части (точнее на 5 частей), а потом из них собрать обратно 2 тела причем абсолютно по структуре, размеру, форме, объему и всем другим параметрам равные не только друг другу, но и первоначальному телу.

Читать дальше →
Total votes 40: ↑2 and ↓38 -36
Views 6.7K
Comments 22

Теории вероятностей: готовимся к собеседованию и разрешаем «парадоксы»

Образовательные проекты JetBrains corporate blog Mathematics *Studying in IT

Каждый год я участвую примерно в сотне собеседований в образовательных проектах JetBrains: собеседую абитуриентов в Computer Science Center и корпоративную магистратуру ИТМО (кстати, набор на программу идёт прямо сейчас). Все собеседования устроены по одному шаблону: мы просим на месте порешать задачи и задаём базовые вопросы по дисциплинам, которые студенты изучали в университетах. Большинство вопросов, которые мы задаём, довольно простые — нужно дать определение некоторого понятия, сформулировать свойство или теорему. К сожалению, у значительной доли студентов все эти определения выветриваются сразу после экзаменов в университетах. Казалось бы, что тут удивительного? В современном мире любое определение можно за пару секунд нагуглить, если это нужно. Но невозможность восстановить базовое определение свидетельствует о непонимании сути предмета.

Если непонимание алгебры или математического анализа может мало влиять на вашу жизнь, то непонимание теории вероятностей делает из вас лёгкую мишень для обмана и манипулирования. Суждения о вероятностях различных событий настолько глубоко вошли в нашу повседневную жизнь, что умение правильно рассуждать и отличать правду от невежества или манипуляции является необходимым. В этом небольшом обзоре мы поговорим о базовых понятиях теории вероятностей, научимся правильно формулировать утверждения про простые случайные процессы и разберём несколько парадоксов. Часть материала позаимствована из брошюры А. Шеня «Вероятность: примеры и задачи», которую я очень рекомендую для самостоятельного изучения.
Читать дальше →
Total votes 23: ↑20 and ↓3 +17
Views 41K
Comments 100

СТО как отражение философского невежества

Lumber room
Recovery mode
Виктор Кулигин, Мария Корнева

Аннотация. В статье дан расширенный анализ философских категорий «явление и сущность». Выведено «ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО», позволяющее быстро разграничивать эти категории в научных теориях. Правило позволило проанализировать парадоксы СТО и показать ошибку Эйнштейна при формулировке теории относительности. Эйнштейн, как и большинство физиков, постоянно путал явление и сущность и, как результат, получил ошибочные (парадоксальные) выводы.

1. Введение (о «философиях»)


Физики, как хорошо известно, давно не уважают философию. Академик Ландау считал: «Где начинается философия, там кончается наука!». Обучаясь в ВУЗе «философии» мы полностью разделяли этот афоризм Ландау.

Это естественно, поскольку современная философия не дала науке ничего, кроме ошибок и путаницы. Философских школ и направлений существует множество.

  • Это «измы»: идеализм, материализм, позитивизм и др.;
  • это «логии»: онтология, феноменология и т.д.

Необходимо время, чтобы во всем этом разобраться. Мы поступим проще. Очевидно, что не любая система философских направлений и знаний является научной. Отсюда вопрос: какую философскую систему следует признать «научной», а какие отнести к типичным спекулятивным или схоластическим направлениям?
Читать дальше →
Total votes 56: ↑0 and ↓56 -56
Views 5.1K
Comments 63

Гипотеза о самозатухании парадоксов путешествий во времени

Lumber room

Гипотеза: парадоксы путешествий во времени возможны, но (по моему скромному мнению) сами себя исчерпают неким сглаживанием в новую реальность, которая, в свою очередь, пойдёт линейно во времени. Другими словами самоподдерживающийся вечно парадокс путешествия во времени невозможен.

Читать далее
Total votes 13: ↑0 and ↓13 -13
Views 5.2K
Comments 13

Как избежать «парадокса убитого дедушки» или Квантовая механика решает загадки путешествия во времени

SkillFactory corporate blog Reading room Popular science Physics
Translation

Путешествия во времени давно стали основным жанром фильмов, романов и телевизионных шоу, которые служили всем: от заднего плана до подростковых весёлых комедий, таких как «Назад в будущее», и вдумчивого созерцания в новелле Рэя Брэдбери «И грянул гром». Часто эти истории сосредотачиваются вокруг одного аспекта путешествия во времени – возможных последствий того, что путешественник во времени поменяет прошлые события, в результате чего по возвращении в будущее произойдёт кошмарный сценарий, влияя на способность вообще путешествовать в прошлое.

Эта дилемма, известная как «парадокс убитого дедушки», отражает главное возражение философов и физиков против путешествий во времени – возможное нарушение причинности. В то время как само путешествие во времени остаётся в области чистой спекуляции, возможные результаты нарушения принципа причинности и то, как природа может предотвратить их, являются горячо обсуждаемыми темами, с  такими известными физиками и философами, как Стивен Хокинг и Кип Торн, размышляющими о возможных решениях. Возможно ли, что «многомировая» интерпретация квантовой механики может спасти несчастного (и неуклюжего) путешественника во времени?

Приятного чтения!
Total votes 19: ↑15 and ↓4 +11
Views 19K
Comments 30