Pull to refresh

Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие

Mathematics *
Sandbox
Tutorial

Введение. Постановка вопроса.


В школьной программе, к сожалению, сферическую геометрию и геометрию Лобачевского не изучают. Тем временем, их изучение совместно с Евклидовой геометрией, позволяет глубже понять происходящее с объектами. Например, понять связь правильных многогранников с разбиениями сферы, разбиениями плоскости Евклида и разбиениями плоскости Лобачевского.
Знания геометрии пространств постоянной кривизны помогает подниматься над трёхмерием и выявлять многогранники в пространствах размерности 4 и выше. Вопросы нахождения многогранников, нахождения разбиений пространств постоянной кривизны, вывода формулы двугранного угла правильного многогранника в n-мерном пространстве — так тесно переплетены, что выносить всё это в название статьи оказалось проблематично. Пусть в центре внимания будут, всем понятные, правильные многогранники, хотя они не только результат всех выводов, но и, одновременно, инструмент для постижения пространств высших размерностей и равномерно искривлённых пространств.

Для тех кто не знает (забыл) сообщаю (напоминаю), что в привычном нам трёхмерном Евклидовом пространстве всего пять правильных многогранников:
1. Тетраэдр: 2. Куб: 3. Октаэдр: 4. Додекаэдр: 5. Икосаэдр:





Читать дальше →
Total votes 88: ↑85 and ↓3 +82
Views 87K
Comments 46

Правильные многогранники. Часть 2.5 (вспомогательная)

Mathematics *
Tutorial


В двухмерном пространстве два одномерных отрезка имеют общую точку, взаимное расположение таких отрезков определяется обычным углом. На видео показан поворот одного отрезка вокруг общей точки, при этом угол меняется от 0 до 360 градусов.
Читать дальше →
Total votes 10: ↑9 and ↓1 +8
Views 6.5K
Comments 9

Правильные многогранники. Часть 1.1 Символ Шлефли

Mathematics *
Tutorial
image Хабрахабр, уважаемые коллеги! Когда смотрю на соты, то думаю не о пчёлах, а о Символе Шлефли. Прочитав эту статью, вы уже не сможете смотреть на мир по старому, вы поймёте, что между сотами и правильными многогранниками есть прямая связь.

По опыту разъяснения друзьям вывода правильных многогранников в четырёхмерном пространстве и пространствах высших размерностей, оказывается, что мало кто знает, что такое Символ Шлефли, поэтому решил посвятить этому отдельную статью с картинками, без аналитических вычислений, которые делаются у меня в других, соседних, статьях, при непосредственном выводе многогранников. В данной статье моя задача дать образно-интуитивное понимание термина Символ Шлефли, поэтому я не буду тратить ваше внимание на строгие определения и формулировки, которые можно почитать в википедии. Понятие Символа Шлефли будем осваивать от лёгкого к трудному. Самое простое на плоскости.
Total votes 42: ↑41 and ↓1 +40
Views 24K
Comments 23

Математики совершили новое открытие, связанное с додекаэдром

Mathematics *
Translation

Трое математиков получили ответ на фундаментальный вопрос о прямых путях на 12-гранном платоновом теле




Несмотря на то, что математики уже более 2000 лет [а, возможно, и ещё больше / прим. перев.] разбирают структуру пяти правильных многогранников (платоновых тел) – тетраэдра, гексаэдра (куба), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра – мы ещё очень многого о них не знаем.

И вот трое математиков ответили на один из самых базовых вопросов, касающихся додекаэдра.

Допустим, вы стоите на одной из вершин правильного многогранника. Существует ли прямой путь, по которому можно вернуться в точку старта, не проходя ни через одну из остальных вершин? Для четырёх других правильных многогранников, составленных из квадратов или равносторонних треугольников — тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра – математики недавно дали отрицательный ответ на этот вопрос. Любой прямой путь, начинающийся с одной из вершин, либо наткнётся на другую вершину, либо будет вечно виться по поверхности фигуры, так и не вернувшись в исходную точку. Однако математики не знали, чего можно ожидать от додекаэдра, состоящего из 12 пятиугольников.
Total votes 26: ↑23 and ↓3 +20
Views 14K
Comments 4