Привет, Хабр!

При тестировании алгоритмов у меня часто возникает задача сгенерировать случайное бинарное дерево. Причем хотелка сводится не к абы какому случайному дереву, а взятому из равномерного распределения. Не смотря на кажущуюся простоту, эффективно построить такое дерево совсем нетривиально.

В названии этой статьи присутствуют слова «скобочная последовательность». За этими словами скрывается нечто большее, поскольку с помощью скобок можно описать очень разнообразные объекты, в том числе и бинарные деревья. На Хабре этому факту был посвящен отдельный пост.

В этой статье я расскажу несколько способов генерирования случайной скобочной последовательности, в том числе за линейное время, а потом приведу пример преобразования последовательности в бинарное дерево. Интересно?

Некоторое время назад в московский офис Яндекса приезжал Игорь Пак — ученый с множеством научных работ, выпускник мехмата МГУ и аспирантуры Гарварда. Сейчас Игорь работает в Калифорнийском университете. Его лекция в Яндексе была посвящена различным классам последовательностей и перестановкам. В том числе прямо по ходу лекции он представил выкладки, опровергающие гипотезу Нунана и Зайлбергера — одну из ключевых в области перестановок.



Под катом — подробная текстовая расшифровка и большинство слайдов.

Джеймс Тэнтон разбрасывается задачками по теории чисел с той же щедростью, с которой Джон Д. Рокфеллер раздавал десятицентовики. Я уже писал об одной из задач Тэнтона. Спустя несколько недель моё внимание привлёк этот твит о факториалах и квадратах и уже не давал мне покоя:


«4!+1 = 25, квадрат числа. 5!+1 = 121, тоже квадрат числа. Можете привести ещё один пример? Ещё два примера?»

С помощью ручки и бумаги легко показать, что $$ не подходит. Факториал $$ — это $$; прибавив $$, получим число $$, которое не является квадратом. (Оно раскладывается на множители как $$.) С другой стороны, $$ равно $$, а прибавив $$, мы получим $$, что равно $$. Это даёт нам очень милое уравнение: