Я, к сожалению, не понимаю, как это относится к моему вопросу.
Хорошо, я взял номинальную траекторию из номинальной начальной точки. Сдвинул начальную точку на единицу и построил новую траекторию. Её максимально отклонение от базовой пять единиц. Сдвинул начальную точку на единицу в другую сторону. Что дальше?
Я не занимаюсь робототехникой и не знаком с этим курсом. Судя по содержанию, там дальше будет MPC и адаптивное управление, так что функция Ляпунова потребуется, и есть основания ввести её пораньше.
Только не называйте то, что у вас в разделе "Как этим рулить на практике?" LQR - это не оно, так как под LQR обычно понимается квадратичное оптимальное управление.
У вас статья состоит из двух частей. Основная, как мне кажется, это про решение стационарного уравнения Ляпунова и численные методы. Она прекрасна, и к ней никаких вопросов. Вторая же часть это мотивация для стационарного уравнения Ляпунова. Я рискну предположить, что проблемы систем управления не ваша основная область интересов, и вы больше пересказываете, чем делитесь опытом и собственным пониманием. Получается сумбурно и не очень точно.
Основаня загвоздка в том, что для линейных стационарных систем аппарат функций Ляпунова не очень то и нужен. Можно построить хороший курс, рассказать про управляемость и наблюдаемость, про канонические формы, про устойчивость, про наблюдатели, про оптимальное управление и модальный синтез (pole placement), про рабостность в Hinf смысле, и при этом вообще не говорить про функции Ляпунова. Можно даже поговорить про граммианы, редукцию моделей и минимальные реалиазции -- уравнение Ляпунова появится, а функия нет!
Конечно, если поговорить про функцию Ляпунова, то переход потом от линейных стационарных к нелинейным или нестационарным (или же к более продвинутым техникам синтеза на основе матричных неравенств) будет проще. Да и в тех областях без функции Ляпунова обойтись сложно. Но пока мы говорим о линейных стационарных, то перкрасно обходимся без функции Ляпунова.
Вы обновили пост, добавили про управление через функции Ляпунова. Вот только так, как вы написали, не делают. Если искать статический вектор обратной связи K, то это делают через pole placement и уравнение Сильвестра (опять же, оно появляется без функции Ляпунова) или через оптимальное управление LQR и уравнение Рикатти. Самое близкое, к тому что вы написали в разделе "Как этим рулить на практике?", это синтез через матричные неравенства. И он выглядит не так, как вы написали, а, например, через явное задание скорости сходимости в форме P A + A^top P < -alpha P.
A = [-1, exp(2t); 0, -1]. У вас второе состояние автономно уходит в ноль, а певое к бесконечности. Есть примеры и с ограниченными элементами матрицы A, но они более громоздкие (могу картинку в личку отправить). Есть примеры и неустойчивых переключающихся систем, у которых переключение происходит между двумя устойчивыми. Вроде функция Ляпунова всегда убывает, но меньше, чем растёт на переключениях. В целом, как только ушли из мира LTI, собственные числа могут сильно обманывать.
Ок, понятно. Под влиянием LMI, сегодня чаще предпочитают писать уравнение в форме PA+A^\top P + alpha P = 0 и искать максимальное альфа, при котором это возможно. Это даёт более явное представление о темпе сходимости функции Ляпунова :
нет оценки М.Г. Крейна для решения уравнения y'=Ay: |y(t)|\le (|H| |H^{-1}|)^(1/2) exp{t/|H|} |y(0)|, Где H - решение HA+A^*H=-E
Вы уверены, что у вас формула правильно написана? Вызывает сомнение |H| |H^{-1}|. Так же, у вас для устойчивой матрицы A будет положительно определённая матрица H, разве нет? Тогда будет расходящаяся экспонента.
Я знаю, какое строгое определение, и оно мне кажется не совпадающим с текстом в комментарии выше. По крайне мере, не в том смысле как я его читаю. Потому я и прошу уточнить, что автор хочет сказать.
Для меня «малое отклонение начального условия ведет к слабому изменению траектории» подразумевает некоторую непрерывность, которой нет в строгом определении. Для вас не так?
Вы можете привести пример проектирования управления для линейных стационарных систем через функцию Ляпунова? Или оценку робастности (по отношению к чему)? К нелинейным или нестационарным системам вопросов нет.
Научные учреждения имеют собственные площадки и журналы. Ученые всегда привязаны к каким-то учреждениям.
О каких учреждениях идет речь? Мне не приходят в голову примеры top-level журналов, привязанных к научным учреждениям, но, может, это специфика моей области.
Если у нас система нелинейная - надо ее линеаризовать, т.е. разложить в ряд Тейлора в окрестности равновесия. И тогда получить такую систему из нелинейной, и дальше по алгоритму.
Вот бы все было так просто. А если линеаризация не валидна?
Вы не ответили на вопрос. Ученые пишут для других ученых, это высокая планка отсечения потенциальных читателей. Не рецензентами, и даже не ценой подписки, а просто требуемой экспертизой для понимания. Зачем ученым это менять и заведомо упрощать статьи?
Общественная коммуникация это, часто, отдельный отдел университета, или хотя бы отдельные популяризаторские мероприятия, круглые столы. Это не про статьи.
Я, к сожалению, не понимаю, как это относится к моему вопросу.
Хорошо, я взял номинальную траекторию из номинальной начальной точки. Сдвинул начальную точку на единицу и построил новую траекторию. Её максимально отклонение от базовой пять единиц. Сдвинул начальную точку на единицу в другую сторону. Что дальше?
Я не занимаюсь робототехникой и не знаком с этим курсом. Судя по содержанию, там дальше будет MPC и адаптивное управление, так что функция Ляпунова потребуется, и есть основания ввести её пораньше.
Только не называйте то, что у вас в разделе "Как этим рулить на практике?" LQR - это не оно, так как под LQR обычно понимается квадратичное оптимальное управление.
У вас статья состоит из двух частей. Основная, как мне кажется, это про решение стационарного уравнения Ляпунова и численные методы. Она прекрасна, и к ней никаких вопросов. Вторая же часть это мотивация для стационарного уравнения Ляпунова. Я рискну предположить, что проблемы систем управления не ваша основная область интересов, и вы больше пересказываете, чем делитесь опытом и собственным пониманием. Получается сумбурно и не очень точно.
Основаня загвоздка в том, что для линейных стационарных систем аппарат функций Ляпунова не очень то и нужен. Можно построить хороший курс, рассказать про управляемость и наблюдаемость, про канонические формы, про устойчивость, про наблюдатели, про оптимальное управление и модальный синтез (pole placement), про рабостность в Hinf смысле, и при этом вообще не говорить про функции Ляпунова. Можно даже поговорить про граммианы, редукцию моделей и минимальные реалиазции -- уравнение Ляпунова появится, а функия нет!
Конечно, если поговорить про функцию Ляпунова, то переход потом от линейных стационарных к нелинейным или нестационарным (или же к более продвинутым техникам синтеза на основе матричных неравенств) будет проще. Да и в тех областях без функции Ляпунова обойтись сложно. Но пока мы говорим о линейных стационарных, то перкрасно обходимся без функции Ляпунова.
Вы обновили пост, добавили про управление через функции Ляпунова. Вот только так, как вы написали, не делают. Если искать статический вектор обратной связи K, то это делают через pole placement и уравнение Сильвестра (опять же, оно появляется без функции Ляпунова) или через оптимальное управление LQR и уравнение Рикатти. Самое близкое, к тому что вы написали в разделе "Как этим рулить на практике?", это синтез через матричные неравенства. И он выглядит не так, как вы написали, а, например, через явное задание скорости сходимости в форме P A + A^top P < -alpha P.
A = [-1, exp(2t); 0, -1]. У вас второе состояние автономно уходит в ноль, а певое к бесконечности. Есть примеры и с ограниченными элементами матрицы A, но они более громоздкие (могу картинку в личку отправить).
Есть примеры и неустойчивых переключающихся систем, у которых переключение происходит между двумя устойчивыми. Вроде функция Ляпунова всегда убывает, но меньше, чем растёт на переключениях.
В целом, как только ушли из мира LTI, собственные числа могут сильно обманывать.
До меня дошло, что запись |H| |H^{-1}| это число обусловленности матрицы, сначала не считал. :)
Ок, понятно. Под влиянием LMI, сегодня чаще предпочитают писать уравнение в форме PA+A^\top P + alpha P = 0 и искать максимальное альфа, при котором это возможно. Это даёт более явное представление о темпе сходимости функции Ляпунова :
Вы уверены, что у вас формула правильно написана? Вызывает сомнение |H| |H^{-1}|. Так же, у вас для устойчивой матрицы A будет положительно определённая матрица H, разве нет? Тогда будет расходящаяся экспонента.
Отличный пример. А есть такой же, но размерностью поменьше?
Я знаю, какое строгое определение, и оно мне кажется не совпадающим с текстом в комментарии выше. По крайне мере, не в том смысле как я его читаю. Потому я и прошу уточнить, что автор хочет сказать.
Для меня «малое отклонение начального условия ведет к слабому изменению траектории» подразумевает некоторую непрерывность, которой нет в строгом определении. Для вас не так?
Да? Я не считал совсем. Да и мне там выше по комментариям про IEEE рассказывают как часть сайта учреждения, чтобы оно не значило…
Вы можете привести пример проектирования управления для линейных стационарных систем через функцию Ляпунова? Или оценку робастности (по отношению к чему)?
К нелинейным или нестационарным системам вопросов нет.
О каких учреждениях идет речь? Мне не приходят в голову примеры top-level журналов, привязанных к научным учреждениям, но, может, это специфика моей области.
Для этого надо писать « о сложном просто и интересно »?
Я не знаю, какой у вас опыт публикаций, но в больших журналах это не так устроено.
По полной системе это да, но на основе квадратичной это если сильно повезет.
Вот бы все было так просто. А если линеаризация не валидна?
Скажите, а зачем искать матрицы P и Q? Ведь проверить устойчивость можно просто по собственным числам матрицы A?
Что значит слабо?
Вы не ответили на вопрос. Ученые пишут для других ученых, это высокая планка отсечения потенциальных читателей. Не рецензентами, и даже не ценой подписки, а просто требуемой экспертизой для понимания. Зачем ученым это менять и заведомо упрощать статьи?
Общественная коммуникация это, часто, отдельный отдел университета, или хотя бы отдельные популяризаторские мероприятия, круглые столы. Это не про статьи.