Можно предположить, что трёхмерное пространство ведёт себя так же, как пространства более высоких размерностей. Добавление измерения лишь создаёт новое направление для движения, не меняя фундаментальных свойств пространства: его бесконечности и однородности. Однако каждое измерение обладает уникальным характером. Например, в размерностях 8 и 24 шары можно упаковать особенно плотно, в некоторых измерениях существуют «экзотические» сферы, которые кажутся смятыми, а в третьем измерении возможны узлы, которые в более высоких размерностях всегда можно развязать.

Почему всё, что мы знали о прочности яйца — оказалось ошибкой

Если вы когда-то участвовали в «яичном челлендже» — где нужно сбросить яйцо с высоты так, чтобы оно не разбилось — скорее всего, вы держали его вертикально. За острый конец. Почти все так делают. Почему? Потому что считается, что в этой ориентации яйцо прочнее. Так говорят учителя, блогеры, популярные научные журналы. Мол, купольная форма, как у соборов или арок, отлично держит вертикальные нагрузки. Звучит логично.

Но оказалось, что это неправда. И не просто немного — а принципиально.

Математик Деннис Гайцгори из Института математики Макса Планка в Бонне, Германия, получил престижную премию «Прорыв» в области математики в размере 3 миллионов долларов за доказательство геометрической гипотезы Ленглендса — одной из самых сложных математических проблем современности. Эта гипотеза является важной частью того, что математик Эдвард Франкель назвал «великой объединённой теорией математики», призванной связать разрозненные математические области.

Во многих уголках мира, где искусственный интеллект стал реальностью, существует мнение, что к моменту окончания школы моими детьми мы будем существовать в условиях роскошного, полностью автоматизированного космического коммунизма. Автоматизация затронет не только отдельные задачи, но и целые профессии – как существующие, так и те, о которых мы только можем помыслить. «Целые дата-центры, заполненные нобелевскими лауреатами» – так выразился Дарио Амодей, один из основателей Anthropic.

В истории вычислительной техники существует замечательная и часто упускаемая из виду глава: разработка аналоговых водяных компьютеров в Советском Союзе. Среди этих инноваций гидравлический интегратор Владимира Сергеевича Лукьянова представляет собой пионерское достижение, которое опередило сложные математические расчеты почти на полвека. Благодаря этой чудо-машине был построен БАМ, Саратовская ГЭС и огромное количество других масштабных проектов.

Чемпионат мира по фигурному катанию 1995 года в Бирмингеме стал не просто спортивным событием, а настоящей математической загадкой. Четыре фигуристки, три программы и одна система подсчёта очков, которая нарушила все ожидания. Когда Мишель Кван заняла третье место в произвольной программе, это неожиданно изменило судьбу подиума: Сурия Бонали, которая уже завершила свои выступления, оказалась на втором месте, обойдя Николь Бобек. Но самое удивительное — Бонали отказалась подниматься на пьедестал, считая, что серебро ей не принадлежит. Как математика перевернула итоги соревнований? Почему система ранжирования нарушила принцип независимости от посторонних альтернатив? И как этот случай навсегда изменил фигурное катание? Погрузитесь в историю, где лёд, слёзы и теорема Эрроу слились воедино, создав один из самых парадоксальных моментов в истории спорта.

Представьте карандаш на столе. Задача: повернуть его так, чтобы он указал в каждом возможном направлении ровно один раз, минимально соприкасаясь со столом. Можно вращать карандаш круговым движением вокруг середины, но существуют более эффективные способы.

По словам Джонатана Хикмана из Эдинбургского университета, эта проблема, хоть и кажется простой задачей о пересечении прямых, содержит удивительное богатство связей с другими математическими задачами.

Математики полвека искали оптимальное решение для трехмерной версии этой задачи: как направить карандаш во все стороны в пространстве, минимизируя объем, через который он проходит. Эта проблема не поддавалась решению даже выдающимся математикам и связана со многими нерешенными вопросами.

В 1694 году в Кембриджском университете Исаак Ньютон и астроном Дэвид Грегори завели разговор о природе звёзд. В ходе беседы они наткнулись на математическую загадку, которая оставалась нерешённой на протяжении веков. Детали их обсуждения сохранились плохо и, возможно, частично вымышлены, но суть сводилась к тому, как звёзды разного размера вращаются вокруг центрального светила. Этот разговор вдохновил на более общий вопрос: если есть центральная сфера, сколько одинаковых сфер можно разместить вокруг неё так, чтобы они касались её, но не пересекались друг с другом?

В трёхмерном пространстве легко расположить 12 сфер вокруг центральной, каждая из которых будет касаться её в одной точке. Однако при таком расположении между сферами остаются зазоры. Возникает вопрос: можно ли добавить 13-ю сферу, чтобы она тоже касалась центральной? Грегори считал, что это возможно, а Ньютон был уверен, что нет.

Эта задача, известная как проблема «поцелуев» (отсылка к касанию шаров, как в бильярде), оказалась важной для многих областей, включая изучение атомных структур и создание кодов с исправлением ошибок. Однако её решение было крайне сложным. Лишь в 1952 году математики смогли доказать, что Ньютон был прав: в трёхмерном пространстве максимальное число сфер, которые могут касаться центральной, равно 12.

Калькулятор должен показывать результат математического выражения, которое вы ввели, и это намного, намного сложнее, чем кажется. То, что я собираюсь вам рассказать, — это величайшая история о разработке приложения-калькулятора. Взгляните на калькулятор iOS. Что-нибудь заметили? Он показывает неверный результат. (10^100) + 1 − (10^100) равно 0, а не 1. В Android всё правильно. И история о том, как это произошло, совершенно безумна.

Почему даже самые передовые языковые модели, такие как GPT-4, справляются с умножением четырёхзначных чисел только в 4% случаев и дают правильный ответ в сложной головоломке лишь в 10% случаев? Исследования показывают, что трансформеры сталкиваются с фундаментальными математическими ограничениями. Учёные ищут способы расширить их возможности — от встроенной позиции чисел до подсказок цепочки мыслей.

Изобретатель Джо Вудленд нарисовал первый штрихкод на песке в Майами-Бич за несколько десятилетий до того, как технологии позволили воплотить его идею в жизнь

В разведке, где информация является ключевым фактором успеха, важнейшей задачей всегда была оценка потенциала и возможностей противника. Традиционные методы, основанные на сборе информации от шпионов, анализе открытых источников и допросах пленных, зачастую оказывались неэффективными, предоставляя неполные, неточные и противоречивые данные.Во время Второй мировой войны перед Союзниками встала острая необходимость определить реальные масштабы производства военной техники в нацистской Германии.

Решением этой проблемы стал нетрадиционный подход, основанный на применении статистического анализа к, казалось бы, незначительным деталям — маркировке на захваченном немецком оборудовании. Этот метод, известный как «Германская танковая проблема», позволил получить удивительно точные оценки производства немецких танков, превосходящие по точности данные, полученные традиционной разведкой. История германской танковой проблемы демонстрирует, как статистические методы способны превратить, казалось бы, хаотичную информацию в ценные разведывательные данные, играя решающую роль в стратегическом планировании и ведении боевых действий. Однако, статистическим анализом производства танков всё не ограничивалось.

Осенью 2021 года Малорс Эспиноза решил создать особенную математическую задачу. Она должна была быть достаточно сложной, чтобы стимулировать размышления и вызывать интерес к её решению, но при этом оставаться доступной для старшеклассников. Малорс, будучи аспирантом по математике в Университете Торонто, столкнулся с этим дополнительным вызовом.

В течение нескольких лет он организовывал летние семинары для местных школьников, знакомя их с основами математических исследований и обучая писать доказательства. Некоторые ученики проявляли интерес к более глубокому пониманию математики — к задачам, где нет очевидного ответа. Им требовался правильный вопрос, чтобы направить их интерес.

Такой вопрос Малорс нашёл, изучая учебник по теории хаоса. Там он наткнулся на знакомый объект — фрактал под названием «губка Менгера». Этот самоподобный объект строится по простому, но изящному принципу: сначала куб делится на части, подобные кубику Рубика. Затем удаляется центральный куб и центральные части каждой из шести граней. Этот процесс повторяется для оставшихся кубов снова и снова. С каждой итерацией структура становится всё более пористой, что и делает её похожей на губку.

Данные часто бывают неполными. В клинических испытаниях пациенты могут выбывать, респонденты пропускать вопросы в опросах, а школы и правительства — скрывать определённые результаты. Когда отсутствуют данные, стандартные статистические методы, такие как вычисление средних, становятся неэффективными.

В изучении Вселенной ученые часто обращаются к ее самым экстремальным проявлениям, стремясь раскрыть фундаментальные законы природы. Черные дыры, одни из самых загадочных объектов во Вселенной, уже десятилетиями служат инструментом для исследования границ наших представлений о гравитации, пространстве и времени. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, внутри черной дыры материя сжата настолько плотно, что ничто не может покинуть ее пределы.

Однако даже среди черных дыр существуют экстремальные случаи. Экстремальные черные дыры — это особый класс объектов, достигающих максимально возможного заряда или скорости вращения для своей массы. Их уникальное свойство заключается в том, что их поверхностная гравитация на горизонте событий равна нулю. Это означает, что объекты на поверхности такой черной дыры не испытывают гравитационного притяжения, но малейший импульс в направлении центра приведет к их падению внутрь.

В мире искусственного интеллекта произошел интересный прорыв. Исследователи разработали новый тип нейронных сетей, который может сделать их работу более прозрачной и понятной. Эти сети, названные сетями Колмогорова-Арнольда (KAN), основаны на математическом принципе, открытом более полувека назад.

Нейронные сети сегодня - это мощнейшие инструменты искусственного интеллекта. Они способны решать сложнейшие задачи, обрабатывая огромные массивы данных. Однако у них есть существенный недостаток - их работа непрозрачна. Ученые не могут до конца понять, как именно сети приходят к своим выводам. Это явление получило название "черного ящика" в мире ИИ.

В сентябре 2014 года в одном из селений на склонах Пиренеев садовник Жан-Клод, которому было под 60, был удивлен появлением соседа у своих ворот. Они не разговаривали почти 15 лет после спора о плетистой розе, которую Жан-Клод хотел подрезать. Старик, которому было 86 лет, жил в полном уединении, ухаживая за садом в своей неизменной джеллабе и проводя ночи за письмом, ни на кого не обращая внимания. Но на этот раз старик, с длинной бородой и видом ищущего истину, казался обеспокоенным.

«Ты можешь сделать мне одолжение?» – спросил он Жан-Клода.

«Если смогу».

«Можешь купить мне револьвер?»

В 1940 году французский математик и артиллерийский офицер Жан Лере попал в плен к немцам. Опасаясь, что его истинная специализация в гидродинамике может быть использована для помощи военным усилиям Германии, он сообщил своим захватчикам, что является специалистом в области топологии. На протяжении почти пяти лет заключения Лере поддерживал эту уловку, проводя исследования в топологии - разделе математики, изучающем свойства фигур, не меняющиеся при деформациях. В результате этих исследований он разработал одну из самых революционных идей в современной математике - концепцию "пучка".

История "ошибки игрока" неразрывно связана со знаменитым случаем, произошедшим в казино Монте-Карло 18 августа 1913 года.

Представьте себе эту сцену: переполненное казино, напряженная атмосфера за столом рулетки. После того, как черное выпало 10 раз подряд, среди игроков начинается настоящее безумие. Все вдруг решают, что теперь-то точно должно выпасть красное, и начинают массово ставить на этот цвет. Но черная полоса продолжается - 11, 12, 13 раз подряд... С каждым новым выпадением черного ставки на красное становятся все больше и отчаяннее.

В итоге эта удивительная серия достигла 26 подряд выпадений черного. Вероятность такого события крайне мала - примерно 1 к 136,8 миллионам. Однако игроки, поддавшись "ошибке игрока", продолжали верить, что вот-вот должно выпасть красное. В результате казино смогло заработать за эту ночь несколько миллионов франков.

В контексте экономики и теории игр отсутствие зависти является критерием справедливого раздела, при котором каждый человек считает, что при разделе какого-либо ресурса его доля по крайней мере так же хороша, как доля любого другого человека — таким образом, он не испытывает зависти. Для n = 2 человек протокол состоит из так называемой процедуры "разделяй и выбирай":

Процедура разрезания торта без зависти гласит, что если два человека должны разделить торт таким образом, чтобы каждый считал, что его доля ничуть не хуже, чем у любого другого человека, один человек ("режущий") разрезает торт на две части; другой человек ("выбирающий") выбирает одну из частей; режущий получает оставшийся кусок.

В случаях, когда количество людей, разделяющих пирог, превышает два, n > 2, сложность протокола значительно возрастает. Эта процедура имеет множество применений, в том числе (совершенно очевидно) в распределении ресурсов, а также в разрешении конфликтов и искусственном интеллекте, среди других областей.