У Александрова А.Д. есть работа «О заполнении пространства многогранниками», там есть Теорема 1 и Теорема 2, которые обосновывают используемый в моей публикации подход и доказывают, что всё сходится. Кому интересно можно скачать избранные труды Александрова А.Д. тут, на странице 309 сформулированы эти две теоремы.
Сам я, признаться, доказывать эти теоремы не умею, а только пользуюсь ими. :)
Да, я уже определения поправил, добавил выпуклость, чтобы уж совсем не было нареканий. Изначально определение правильного многогранника было дано не правильно :), смотрите комментарии ниже.
Прошу прощения, должен поправиться, посмотрел на таблицу и увидел, что {3, 7} и {7, 3} меньше искривлены, чем {5, 4} и {4, 5}, так как в {3, 7} лямда равно 20/21, что ближе к единице (Евклиду), чем 9/10, как в {5, 4}
Но {5, 4} действительно чем-то «завораживает» :) не знаю чем.
Учёл популярность вашего замечания и подредактировал вступление статьи, правда, к сожалению, путём усложнения формулировок.
Конечно школьных учителей нужно уважать и ценить их труд, возможно исходное вступление было в этом отношении не совсем корректно.
Да. Как раз собирался это сделать, но думал это сделать как-нибудь потом. Однако, ввиду живого интереса хабраюзеров и наличия среди них действительно грамотных коллег, постараюсь сделать это в ближайшее время.
Замечания принимаются. Прошу прощения за неточности и спасибо.
Да, конечно же вместо «т.е.… правильные многоугольники» нужно указать, что грани обязательно являются правильными многоугольниками.
Думаю, что найти учебник на русском языке с похожим материалом будет проблематично, а публикация на русском. Если найдёте, то дайте мне знать. На иностранном языке, думаю, что найти кое-что получится, у Коксетера и у Соммервиля, но у них этот материал очень сильно сжат, а в публикации стараюсь всё разжевать, как говорится.
У программистов возникают порою вопросы по разбиению сферы, в подразделе «Итоги» публикации дана ссылка на такой вопрос на одном из форумов.
Во-вторых, хочется помочь желающим пощупать геометрию Лобачевского, которая, как ни странно, используется в некоторых статьях на хабре, ссылка дана тоже в итогах.
В-третьих, на хабре есть хаб: математика и тут, я посмотрел, довольно серьёзные математические вопросы рассматриваются, которые, как ни странно, действительно на первый взгляд не имеют отношения к программированию. Ну например про фракталы. Какое они имеют отношение к программированию?
В-четвёртых, ЭВМ (электронные вычислительные машины), языки программирования и пр. — придумали математики (Лейбниц придумал двоичную систему счисления, и сделал вычислитель) и поэтому в основе программирования (и не только) лежит математика.
Можно продолжить, но не буду, и так многословен.
Да, {5/2, 4} не существует, честно говоря даже не понимаю, что вы под этим понимаете, т.е. это многоугольники с 2.5 вершинами и 2.5 рёбрами, сходящиеся по 4? Как его построить? Вероятно вы в символ Шлефли вкладываете какой-то дополнительный, неизвестный мне, смысл.
Про склеивание развёрток тоже пока не готов ответить. Про разбиение трёхмерной сферы на правильные тетраэдры (и другие многогранники) планирую рассказать в следующей публикации.
Кажется понял вопрос по поводу замыкания. Положим мы получили сферический треугольник с углами по 120 градусов, и начнём прикладывать к нему по рёбрам такие же треугольники, получим четыре треугольника. По свободным рёбрам этих треугольников приложим ещё такие же треугольники, потом ещё раз, потом ещё раз и т.д. Вас интересует, почему при таком алгоритме построения разбиения сферы, уже пятый треугольник наложится, один в один, на уже нарисованный ранее треугольник?
На этот вопрос, можно было бы в первом приближении ответить, что площадь этого треугольника ровно в 4 раза меньше площади всей сферы, а значит на сфере ложится ровно 4 таких треугольника.
Но тут надо подумать. Не в качестве ответа, а в качестве мыслей вслух: в 3D всё замкнётся, потому, что формула Эйлера В-Р+Г = 2, а в 4-х мерии формула Эйлера (точнее её обобщение данное Пуанкаре) даёт В-Р+Г-ГГ=0 и этот ноль порождаёт серьёзные проблемы при подсчёте числа вершин, рёбер, граней и гиперграней у многогранников 4D. Может быть если найти ответ на ваш вопрос: почему в 3D всё сходится, то можно будет понять трудности возникающие в 4D? По меньшей мере ответив на него, можно сделать шаг в этом направлении.
Когда в статье делается вывод, что «многогранник возможен», то он делается для конкретного символа Шлефли {p1, p2}, а этот символ однозначно определяет строение многогранника и разбиения двумерной сферы. Если возможен {3, 3}, то как его не назови, он возможен. Просто можно брать по определению, что {3, 3} — будем называть тетраэдром и т.д.
Если взять разбиение сферы {3, 3}, то у этих сферических треугольников, сошедшихся по 3 в вершине, все три угла равны по 2*Пи/3, т.е. по 120 градусов. Как уже говорилось, углы многоугольника на сфере однозначно определяют его размер (длинны сторон), значит правильный треугольник такого размера единственный, а значит и разбиение единственное, а значит и многогранник, порождаемый этим разбиением сферы единственный.
:) Ну возможно. Может быть я ушами прохлопал на том уроке, где многогранники изучали. :) Во всяком случае я их только недавно начал клеить из бумаги :) Может быть в спец. школах их изучают внимательнее.
Геометрию Лобачевского и сферическую геометрию тоже уже в школе проходят? Многогранники в статье — одна из целей статьи, на их примере, как мне кажется, лучше начинаешь понимать структуру и смысл искривлённых пространств. К тому же, я говорил, хочется показать аналогичный подход на пространствах высших размерностей и не просто показать, а так, чтобы все поняли. Поэтому данная статья подготовительная. :)
Если даже в статье дано другое доказательство, не как в учебнике, то это уже тоже полезно, так как позволяет взглянуть на предмет с другой стороны.
Ой, мне тоже больше всего нравятся разбиения {5, 4} и {4, 5}. Между прочим, из разбиений плоскости Лобачевского, именно эти два разбиения меньше всего искривлены, т.е. почти Евклидовы, поэтому мозг их воспринимает легче всего.
Кстати, раз уж вам понравились именно разбиения плоскости Лобачевского, то должен отметить особенность интерпретации Пуанкаре II, которая заключается в том, что углы в этой интерпретации не искажаются. Т.е. если 5-тиугольники сходятся по 4-ре штуки в вершине, то это значит, что все углы при этой вершине = 2*Пи/4 = Пи/2 т.е. 90 градусов, прямые (полный круг 2*Пи разделить на число многоугольников, p2= 4 в данном случае). Естественно углы нужно измерять между касательными к «дугам» в этих вершинах. Посмотрите на {5, 4} — там действительно прямые углы в вершинах.
Да, приблизительно это и делается, только в общем виде. Вы берёте треугольники и уже знаете, какой у него угол при вершине «угол между рёбрами 60 градусов». В статье берётся p1 угольник, угол при вершине у него = Пи — 2*Пи/p1 и дальше делаются выкладки. Я рад, что эта идея понятна хабраюзерам, а она вам понятна (или была известна), судя по правильным выкладкам.
Кроме того, в статье можно увидеть, что правильные многогранники, разбиения плоскости Евклида и разбиения плоскости Лобачевского — нечто родственное, что между ними много общего. А это очень важно, это помогает, как мне кажется, почувствовать смысл пространств постоянной кривизны и вообще понять, что же это за кривизна такая.
В-третьих, указанный подход можно ещё немного упростить, чтобы не использовать всякие там лямда и сумму углов треугольников и в этом упрощённом виде окажется возможным применить такой же подход в 4-хмерном пространстве и вывести все 6-ть правильных многогранников. В статье используются лямда и сумма углов треугольника из расчёта на читателей не знакомых со сферической геометрией и геометрией Лобачевского, чтобы и им было всё понятно. Но в следующей статье уже придётся работать без лямд. :)
Сам я, признаться, доказывать эти теоремы не умею, а только пользуюсь ими. :)
Но {5, 4} действительно чем-то «завораживает» :) не знаю чем.
Конечно школьных учителей нужно уважать и ценить их труд, возможно исходное вступление было в этом отношении не совсем корректно.
Да, конечно же вместо «т.е.… правильные многоугольники» нужно указать, что грани обязательно являются правильными многоугольниками.
Во-вторых, хочется помочь желающим пощупать геометрию Лобачевского, которая, как ни странно, используется в некоторых статьях на хабре, ссылка дана тоже в итогах.
В-третьих, на хабре есть хаб: математика и тут, я посмотрел, довольно серьёзные математические вопросы рассматриваются, которые, как ни странно, действительно на первый взгляд не имеют отношения к программированию. Ну например про фракталы. Какое они имеют отношение к программированию?
В-четвёртых, ЭВМ (электронные вычислительные машины), языки программирования и пр. — придумали математики (Лейбниц придумал двоичную систему счисления, и сделал вычислитель) и поэтому в основе программирования (и не только) лежит математика.
Можно продолжить, но не буду, и так многословен.
Про склеивание развёрток тоже пока не готов ответить. Про разбиение трёхмерной сферы на правильные тетраэдры (и другие многогранники) планирую рассказать в следующей публикации.
Кажется понял вопрос по поводу замыкания. Положим мы получили сферический треугольник с углами по 120 градусов, и начнём прикладывать к нему по рёбрам такие же треугольники, получим четыре треугольника. По свободным рёбрам этих треугольников приложим ещё такие же треугольники, потом ещё раз, потом ещё раз и т.д. Вас интересует, почему при таком алгоритме построения разбиения сферы, уже пятый треугольник наложится, один в один, на уже нарисованный ранее треугольник?
На этот вопрос, можно было бы в первом приближении ответить, что площадь этого треугольника ровно в 4 раза меньше площади всей сферы, а значит на сфере ложится ровно 4 таких треугольника.
Но тут надо подумать. Не в качестве ответа, а в качестве мыслей вслух: в 3D всё замкнётся, потому, что формула Эйлера В-Р+Г = 2, а в 4-х мерии формула Эйлера (точнее её обобщение данное Пуанкаре) даёт В-Р+Г-ГГ=0 и этот ноль порождаёт серьёзные проблемы при подсчёте числа вершин, рёбер, граней и гиперграней у многогранников 4D. Может быть если найти ответ на ваш вопрос: почему в 3D всё сходится, то можно будет понять трудности возникающие в 4D? По меньшей мере ответив на него, можно сделать шаг в этом направлении.
Если взять разбиение сферы {3, 3}, то у этих сферических треугольников, сошедшихся по 3 в вершине, все три угла равны по 2*Пи/3, т.е. по 120 градусов. Как уже говорилось, углы многоугольника на сфере однозначно определяют его размер (длинны сторон), значит правильный треугольник такого размера единственный, а значит и разбиение единственное, а значит и многогранник, порождаемый этим разбиением сферы единственный.
Геометрию Лобачевского и сферическую геометрию тоже уже в школе проходят? Многогранники в статье — одна из целей статьи, на их примере, как мне кажется, лучше начинаешь понимать структуру и смысл искривлённых пространств. К тому же, я говорил, хочется показать аналогичный подход на пространствах высших размерностей и не просто показать, а так, чтобы все поняли. Поэтому данная статья подготовительная. :)
Если даже в статье дано другое доказательство, не как в учебнике, то это уже тоже полезно, так как позволяет взглянуть на предмет с другой стороны.
Кстати, раз уж вам понравились именно разбиения плоскости Лобачевского, то должен отметить особенность интерпретации Пуанкаре II, которая заключается в том, что углы в этой интерпретации не искажаются. Т.е. если 5-тиугольники сходятся по 4-ре штуки в вершине, то это значит, что все углы при этой вершине = 2*Пи/4 = Пи/2 т.е. 90 градусов, прямые (полный круг 2*Пи разделить на число многоугольников, p2= 4 в данном случае). Естественно углы нужно измерять между касательными к «дугам» в этих вершинах. Посмотрите на {5, 4} — там действительно прямые углы в вершинах.
Кроме того, в статье можно увидеть, что правильные многогранники, разбиения плоскости Евклида и разбиения плоскости Лобачевского — нечто родственное, что между ними много общего. А это очень важно, это помогает, как мне кажется, почувствовать смысл пространств постоянной кривизны и вообще понять, что же это за кривизна такая.
В-третьих, указанный подход можно ещё немного упростить, чтобы не использовать всякие там лямда и сумму углов треугольников и в этом упрощённом виде окажется возможным применить такой же подход в 4-хмерном пространстве и вывести все 6-ть правильных многогранников. В статье используются лямда и сумма углов треугольника из расчёта на читателей не знакомых со сферической геометрией и геометрией Лобачевского, чтобы и им было всё понятно. Но в следующей статье уже придётся работать без лямд. :)