Comments / Profile of maisvendoo / Habr

How to become an author

Дмитрий Притыкин @maisvendoo

Пользователь

Profile Publications 79Comments 1.6KBookmarks 1.6K

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 20:19

Только если m = c. В остальных случаях все имеет смысл.

Нет!

Общее решение уравнения (1)

$x(t) = k_1\, \sin(a\,t) + k_2 \, \cos(a\,t)$

Пусть t_1 = 0

t_1 = 0

а $t_2 = \frac{\pi\,n}{a}$ . Из краевого условияя x(t_1) = 0

x(t_1) = 0

получаем

$x(t) = k_1 \, \sin(a\,t)$

При значении t_2

t_2

кратном полупериоду колебаний k_1

k_1

может быть любым. Вычисляем действие непосредственно, учитывая всё выше принятое

$S = \frac{1}{2}\,\int\limits_0^{t_2} (m\,\dot x^2 - c\,x^2)\,dt$
Учтем, что обобщенная скорость равна $\dot x = k_1\,a\,\cos(a\,t)$

$S = \frac{1}{2} \, \int\limits_0^{t_2} \left( m\, k_1^2 \, a^2 \, \cos^2(a\,t) - c\,k_1^2 \, \sin^2(a\,t)\right) \, dt$
Далее, заменяя одинарный угол на двойной имеем

$S = \frac{k_1^2}{4} \, \int\limits_0^{t_2} \left(m \, a^2 \, (1 + \cos(2\,a\,t)) - c\,(1 - \cos(2\,a\,t))\right) \, dt$
Берем интеграл

$S = \frac{k_1^2}{4} \, \left[m\,a^2\,(t + \frac{1}{2\,a}\,\sin(2\,a\,t)) - c\,(t - \frac{1}{2\,a}\sin(2\,a\,t)) \right]|_0^{t_2}$

При подстановке пределов имеем

$S = \frac{k_1^2}{4}\,\frac{\pi\,n}{a}\left(m\,a^2 - c\right)$
НО! Мы же знаем о том, что $a^2 = \frac{c}{m}$ , тогда

$S = \frac{k_1^2}{4}\,\frac{\pi\,n}{a}\left(m\,\frac{c}{m} - c\right) = 0$
Итого

$S = 0, \quad \forall k_1 \in R$

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 19:50

если же t2 = n*Pi/a

Как Вы лихо оценили действие, не считая его! Браво. А я вас сильно огорчу, что если Вы потрудитесь посчитать действие для этого случая непосредственно, то оно окажется равно нулю для любого k1, и ваша игра с константой интегрирования теряет смысл?

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 16:51

То, что вы полагаете, будто «результатом решения вариационной задачи» являются у-я Лагранжа — это просто ваша шизофрения

А ну-ка, резко извинитесь за шизофрению! Я не позволял Вам разговаривать со мной в таком тоне

А что да верности решения, так решите это задачу сами, а потом показывайте где я не прав. Вы тут кроме сомнительной игры с дифференциалами пока ни одного соотношения, подтверждающего Ваши измышления не привели

+1

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 16:47

по-этому можно данный нюанс опустить

потому что Вам так хочется?

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 16:00

А такая траектория только одна,

Что...?

$m\,\ddot x + c\,x = 0$
– уравнение Лагранжа для колебаний маятника.

Берем функцию

x(t) = 0

x(t) = 0

Проверяем

0 = 0

Верно? Верно. Берем другую функцию

$x = \sin\left(\sqrt{\frac{c}{m}} \, t\right)$
Проверяем

$\ddot x = -\frac{c}{m}\,\sin\left(\sqrt{\frac{c}{m}} \, t\right)$
$-c\,\sin\left(\sqrt{\frac{c}{m}} \, t\right) + c\, \sin\left(\sqrt{\frac{c}{m}} \, t\right) = 0$
Верно? Верно. Я же нашел две функции, удовлетворяющие одному и тому же дифференциальному уравнению.

Открою Вам секрет, только Вы никому…! Таких функций… бесконечно много!

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 15:35

И в результате решения вариационной задачи мы получаем конкретную траекторию с этими концами

Нет, Вы не правы. Решение вариационной задачи — это дифференциальное уравнение, решая которое можно найти траекторию

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 15:25

Зачем кто-то пытается применить ПНД сразу ко второй задаче — непонятно

И мне непонятно, а адекватного объяснения этому я не вижу ни в одной портянке комментариев, ни к той статье, ни к этой.

+1

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 14:59

И предлагаю шарик заменить маятником, тогда не будет разрывов в скорости

Извольте.

Будем говорить не о маятнике в чистом виде, а об заменяющей его эквивалентной системе — точке, совершающей одномерное движение под действием восстанавливающей силы, линейно зависящей от положения. Функция Лагранжа для такой системы имеет вид

$L(x,\,\dot x) = \frac{m\,\dot x^2}{2} - \frac{c\,x^2}{2}$
Если Вам так хочется, зададим краевые условия

$x(t_1) = x(t_2) = 0 \quad(1)$
Закон движения точки x(t)

x(t)

должен быть таким, чтобы выполнялось

$S = \frac{1}{2}\,\int\limits_{t_1}^{t_2} \, \left(m \, \dot x^2 - c\,x^2 \right)\, dt \to \min$
Варьируем закон движения, а вариацию функционала приравниваем к нулю

$\delta S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \, \left(m \, (\dot x + \delta \dot x)^2 - c\,(x + \delta x)^2 \right)\, dt - \int\limits_{t_1}^{t_2} \, \left(m \, \dot x^2 - c\,x^2 \right)\, dt = 0$
Раскрываем скобки, раскрываем квадраты, отбрасываем бесконечно малые второго порядка и загоняем всё под один интеграл

$\int\limits_{t_1}^{t_2} (m\,\dot x \, \delta\dot x - c\,x\,\delta x)\,dt = 0$
Учитываем, что $\delta\dot x = \frac{d(\delta x)}{dt}$

$\int\limits_{t_1}^{t_2} \left[m\,\dot x \, d(\delta \dot x) - c\,x\,\delta x\,dt\right] = 0$

Интегрируем по частям первое слагаемое подынтегрального выражения

$m\,\dot x \, \delta x|_{t_1}^{t_2} + \int\limits_{t_1}^{t_2} \left[\left(-m\,\frac{d\dot x}{dt} - c\,x\right)\, \delta x \right]\,dt = 0$
Учитывая, что

$\delta x(t_1) = \delta x(t_2) = 0$
имеем

$\int\limits_{t_1}^{t_2} \left[\left(-m\,\ddot x - c\,x\right)\, \delta x \right]\,dt = 0$
Что, исходя из свойств определенного интеграла и независимости вариации (благо она ещё и одна!), приводит нас к дифференциальному уравнению

$m\,\ddot x + c\,x = 0 \quad (2)$
Учитывая, что все сделано "по учебнику", который, как Вы смеете утверждать я не понимаю, то где хотя бы один раз применено условие (1)? ПНД дал нам дифференциальное уравнение движения. На этом он может покинуть сцену, так как уже отработал. Теперь мы имеем уже решение задачи о движении рассматриваемой системы, и это всем известное уравнение (2). ПНД гласит, что если закон движения удовлетворяет (2), то этот закон движения доставляет минимум интегралу действия.

Все дальнейшие игры с начальными и краевыми условиями — чистая софистика к ПНД не имеющая никакого отношения.

+1

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 13:13

ПНД удовлетворяет только та траектория, которая проходит через заранее известные начало и конец

ПДН удовлетворяет любая траектория, обращающая уравнение Лагранжа в верное равенство. А уравнение Лагранжа непосредственно вытекает из ПНД. Траектория покоящегося шарика уравнению Лагранжа удовлетворяет, значит соответсвует ПНД. Точка

+1

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 13:06

Но поскольку мы решаем общую задачу, мы просто обозначаем начало и конец за q0 и q1

Разве я не об этом говорю?

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 11:57

Стоящий шарик не удовлетворяет ПНД

Покажите, почему не удовлетворяет

С точки зрения законов классической механики шарик покоящийся, и шарик равномерно летящий в сторону стенки — состояния эквивалентные, описываемые одним и тем же дифференциальным уравнением

$\ddot x = 0$

которое непосредственно вытекает из ПНД
Что касается Вашего вопроса, данного ранее, то вот человек уже ответил на него, а я с этим ответом согласен

При задании координат в качестве краевых условий шарик может двигаться по любой траектории, но каждая эта траектория будет удовлетворять ПНД. Краевые условия в данном случае задают семейство возможных решений.

Если хотите побеседовать о маятнике, могу привести пример с маятником, и показать что Ваши рассуждения дрейфуют уже в сторону чистой софистики

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 08:52

Твою дивизию… У нас есть две действительных траектории, обе являются локальным минимумом функционала действия, и сравнивать действие на этих траекториях некорректно. В ПНД сравниваются действия на действительной и окольной траекториях, параметризированных относительно начального и конечного положения.

Шарик движется по второй траектории, потому что его толкнули в сторону стенки. Но он движется с постоянной скоростью (до момента удара и после него), а не с переменной, именно потому, что вариант движения с постоянной скоростью обеспечивает минимальное действие.

Но, прошу заметить, что речь идет именно о постоянстве скорости, а не конкретной её величине при таком движении

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 08:50

Никакой задачи с закрепленными концами нет

мы работаем с семейством действий, параметризованных начальным и конечным положением

0

Принцип наименьшего действия. Часть 1

maisvendoo Oct 11 2018 at 08:48

Мне понятно, что конкретные значения начальной и конечной координаты в этой задаче не заданы, и при решении используется параметризированное относительно этих параметров действие. Читайте внимательно Л&Л и Гантмахера

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 07:26

Смею предположить, что это была классическая интрига

Автору никто не мешает отыграть свою интригу до конца

+1

Принцип наименьшего действия. Часть 1

maisvendoo Oct 11 2018 at 07:17

Конечно бессмысленно, когда Вы упорно настаиваете на своем неверном понимании ПНД. Вы тычете в белое и упорно говорите что оно черное, о каком конструктивном споре тут может идти речь?

0

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

maisvendoo Oct 11 2018 at 06:54

Про окрестность и локальность прямо не говорится в определении, но далее по тексту подразумевается.

Конечно, речь идет о локальном минимуме

мб, мы работаем с семейством действий, параметризованных начальным и конечным положением

Вот эта формулировка представляется мне наиболее приемлемой, так как речь все-таки не о задаче с закрепленными концами

прошу прощения, не знаю, как формулы оформлять, чтоб MathJax их отрендерил

Долго упрашивали создателей ресурса сделать TeX в статьях, и они сделали. А вот до комментов и лички руки у них не дошли. Так что предлагаю использовать Math Text Editor

0

Принцип наименьшего действия. Часть 1

maisvendoo Oct 9 2018 at 20:45

края фиксированы

В краях задана функция q(t), то есть существует действительный закон движения. Значения q(t1) и q(t2) могут быть любыми, удовлетворяющими многообразию траекторий, вытекающему из уравнений движения. А вот вариации q(t) в краях как раз таки фиксированы, что допускает наличие существование окольных движений везде, кроме краев при t1 и t2. Еще раз для тех кто в танке — это не краевая задача для ОДУ, это вариационная задача!

Кто-то из комментаторов выше понимает разницу между приращением обобщенной координаты и её вариацией? Между функцией и функционалом?

0

Принцип наименьшего действия. Часть 1

maisvendoo Oct 9 2018 at 18:26

Мы говорим о классической механике. Об общих видах тут речи не идет, тут бы с частным примером разобраться кое-кому

0

Принцип наименьшего действия. Часть 1

maisvendoo Oct 9 2018 at 18:15

Автор пишет охинею! Откройте учебник по аналитической механике и прочтите внимательно параграф о ПНД. В этой краевой задаче «края» подвижны, и в этих краях условия налагаются не на обобщенные координаты а на их вариации в заданные моменты времени. И результат решения этой вариационной задачи не одна кривая траектории, а множество траекторий, каждая из которых доставляет минимум исследуемому функционалу.

Краевая задача для ОДУ, и задача поиска эктремали для заданного функционала — это две разные задачи. Решение первой дает на выходе одну единственную траекторию, определяемую краевыми условиями. Вторая на выходе дает дифференциальное уравнение, решая которое мы находим интегралы движения, то есть семейство траекторий. Вы понимаете разницу?

Короче говоря, учебник теормеха и вариационного исчисления проштудировать не помешает, ни Вам, ни автору

0

1 2 ...

33

34 35 ...