• Теорема Бошерницана

    • Tutorial
    В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.



    Отображение $f:E\rightarrow E$ метрического пространства с метрикой $\rho (\cdot ,\cdot )$ называют изометрией, если для любых $x,y\in E$ справедливо равенство $\rho (x,y)=\rho (f(x),f(y))$. Мы докажем здесь следующее утверждение:

    Теорема. Если $f:E\rightarrow E$ отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

    $\rho (x,y)\leq \rho (f(x),f(y))(1)$

    для любых $x,y\in E$, то отображение $f$ — изометрия.

    Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

    Через $|A|$ будем обозначать количество элементов конечного множества $A$.

    Для $x\in E$ и $\varepsilon >0$ множество $Q_{x,\varepsilon }=\{y:y\in E,\rho (x,y)<\varepsilon \}$ назовем $\varepsilon$-окрестностью точки $x$ (или открытым шаром с центром в точке $x$ и радиусом $\varepsilon$).

    Конечное множество $A\subset E$ назовём $\varepsilon$-сетью в $E$ (или просто $\varepsilon$-сетью), если для любой точки $x\in E$ найдётся точка $y\in A$ такая, что $\rho (x,y)<\varepsilon$. Множество $B\subset E$ назовём $\varepsilon$-разреженным, если $\rho (x,y)\geq \varepsilon$ для любых $x,y\in B$, таких, что $x\neq y$.

    Для любого конечного множества $A=\left\{a_1,\ldots ,a_m\right\}\subset E$ обозначим через $l(A)$ сумму $\sum _{i\leq j} \rho \left(a_i,a_j\right)$. Величину $l(A)$ назовём длиной множества $A$.
    Читать дальше →
  • Разминка для тех, кто умеет в Python

      Привет! Мы обожаем квизы, посвященные языкам программирования. В нашем блоге мы разместили уже целых три: первый — по Python, PHP, Golang, DevOps, второй — полностью по Go, третий — только по PHP. Сегодняшний квиз посвящен исключительно Python.


      Предлагаем вам размяться в честь конца ещё одной летней недели и в преддверии PyCon Russia 2018. (Кстати, кто едет? Мы там будем).


      Под катом — семь вопросов, советы от друга, Чапаев, отрывки из ABBA (что? да!) и крутой мерч.


      Читать дальше →
    Самое читаемое