Введение
Каждый уважающий себя инженер или IT-шник должен быть на «ты» с вычислительной математикой и ее численными методами для решений различных задач, возможно даже тривиальных, которые «голову в порядок приводят». В процессе изучения хотелось обратить более тщательное внимание на методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений, а так же их анализ.
Методы численного решения нелинейных уравнений
Задачу решения я разделил на 3 части:
- Аналитический способ отделения корней
- Численные методы уточнения корней
- Программная реализация вычислительного процесса
Метод дихотомии или половинного деления.
Метод дихотомии заключается в последовательном делении отрезка. Выберется промежуток функции — необходимо отделить корни, на пример графическим способом. Получив интервал функции вычисляется его середина и определяется какой отрезок функции, разделенный серединой, больше или меньше нуля, это необходимо для выбора дальнейшего сужения интервала. Процесс сужения продолжается до определенной погрешности, которая задается. К плюсам данного метода конечно стоит отнести его простоту. Им легко вычислять как аналитически, так и программно. К минусам нужно отнести затраты на приведенные итерации, по сравнению с методом хорд и касательных на пример.
Комбинированный метод или метод хорд и касательных
Методы хорд и метод касательных дают приближения к корню с разных сторон. Совместное использование методов позволяет на каждой итерации находить приближенные значения с недостатком и с избытком, что ускоряет процесс сходимости.
Идея метода хорд состоит в том чтобы заменить функцию на отрезке хордой, а идея метода касательных или метода Ньютона является замена дуги кривой функции ее касательной. Стоит отметить, что начальное приближение метода хорд определяется тот конец промежутка для которого производная в данной точке умноженная на двойную производную этой же точки меньше нуля, а для метода касательных больше нуля. Процесс сужения так же производится до указанной точности. К плюсам, как уже отмечалось относится быстрота нахождения и меньшая затратность на приведенные итерации Метод итераций
Предварительно необходимо преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду x = φ(x).
В качестве начального приближения x0 выбирается любая точка интервала [a,b].
Выделяют 2 итерационных метода: лестница и спираль. Если знак производной φ(x) положителен, то используют метод лестницы и наоборот спирали.
Главным и достаточным условием сходимости итерационного процесса является |φ'(x)|<1.
Достоинство метода. Надежность (обладает самокоррекцией): ошибка в вычислениях, при которой х остается в пределах [a,b ], не влияет на конечный результат, т.к. ошибочное значение можно рассматривать как новое х0.
Практика. Применение методов.
Возьмем для примера задачу из области автоматизированного управления — нахождения нулей характеристического уравнения передаточной функции замкнутой системы автоматического управления высокого порядка для оценки ее устойчивости по методу Ляпунова. Сам метод выходит за рамки данного поста, но в прямом методе Ляпунова используется нахождение нулевых корней для выявления устойчивости системы. А для нахождения корней вполне подходят перечисленные методы. Какой метод эффективнее? На этот вопрос сложно ответить не зная конкретной системы к которой это будет применяться. Следует учитывать не только скорость операций, но так же и занимаемые ресурсы.
Вывод:
1. Рассмотренные методы уточнения корней одинаково применимы как к алгебраическим, так и к трансцендентным уравнениям.
2. Операция отделения корней значительно сложнее для трансцендентных уравнений, чем для алгебраических.
3. Наиболее производительным из рассмотренных является комбинированный метод.
Мат.часть описанных методов.
PS: Первый пост и еще не совсем освоился. Помещаю пост в алгоритмы, т.к. блога по выч.мату не нашел.
