Занимательная математика с цветными кубиками

iqbiki
Интеллектуальные игры, подобные головоломкам, дисциплинируют мышление, формируют мыслительную культуру, значение которой трудно переоценить, развивают воображение, причем, все эти собственные усовершенствования человек приобретает в самой захватывающей форме – в форме игры.



Совсем немного истории


Головоломка «Instant Insanity» (Мгновенное Безумие), возможно, одна из самых востребованных для иллюстрации применимости теории графов в решении задач подобного ей типа. Во всяком случае, на youtube вы найдете много примеров такого именно её использования немалым числом преподавателей математики. Трудно сказать, как давно известна сама эта головоломка, но она была достаточно популярна для того, чтобы ещё в 1947 году обратить на себя внимание одного из членов студенческого математического «Архимедова общества» Кембриджского университета, скрывавшегося за псевдонимом «F. De Carteblanche» (настоящее его имя, по информации известного коллекционера и хронолога головоломок Роберта Штегмана/Rob Stegmann – Cedric A. B. Smith), и быть отмеченной в публикации периодического издания «Eureka» №9 (1947) общества «The Archimedeans». После публикации изящного решения F. De Carteblanche, и до сегодняшнего дня, математики находят поводы, чтобы возвращаться время от времени к этой задаче, и к классу происходящих от нее задач.

Сама головоломка представляет собой 4 кубика, раскрашенные в 4 цвета, которые предлагается уложить в ряд таким образом, чтобы на каждой стороне получившейся призмы/пирамиды были представлены все 4 цвета. Для краткости и удобства, часто пользуются обозначением для самой пирамиды «1х1х4».

Коммерческое имя «Instant Insanity» закрепилось за этой головоломкой в конце 1960-х. Другие известные торговые её имена – это «Tantaliser», «Crazy Cubes», и найдется с дюжину других, известных менее, но достаточно распространенных, не мало также клонов, представляющих её модификации.

В 1969 году журнале «Наука и жизнь», номере 2, появилась небольшая заметка об этой головоломке от Бронислава Ивановича Колтового, известного популяризатора науки, большого любителя головоломок и автора многочисленных книг, посвященных головоломкам и занимательным математическим задачам. Позднее, по меньшей мере, две фабрики игрушек в СССР, в Одессе и Кирове (ПО «Вятка») выпускали эту головоломку.

Головоломка ПО Вятка
Рис. 1. Головоломка, выпускавшаяся в 1970-х годах ПО «Вятка», г. Киров

Головоломка, действительно, очень увлекательна, так как все те особенности, что делают игру подобного рода популярной, в ней присутствуют: она умеренно сложна, и обладает привлекательным дизайном – она решается не более чем за 8 шагов, и может быть сколь угодно компактна.

Головоломка на фотографии, хранящаяся у меня более 40 лет, в англоязычной литературе зовется «головоломкой с одним решением» (иногда употребляется еще выражение «simple solution/простое решение»). Такое название может показаться не самым очевидным, и ниже я объясню его происхождение.

Я обязательно приведу здесь и графическое решение головоломки, но ранее этого я бы хотел ввести некоторые определения, назначенные упростить мне дальнейшее изложение материала.

Ради чего, собственно?


Много ли существует наборов кубиков по четыре, обладающих «одним решением»? – Мне нигде не встретились попытки осуществить такой подсчет, хотя он чрезвычайно прост, зато встретились указания на патенты, защищающие права владельцев, включавшие как торговое имя игры, так и саму комбинацию раскрашенных кубиков. Мысль же такой подсчет произвести пришла сразу вслед за мыслью написать компьютерную версию головоломки. Может показаться, что задача нахождения всех возможных комбинаций кубиков с «одним решением» слишком узкая, специфическая, однако использованный мною для поиска массива четырехэлементных сборок подход может оказаться весьма удобным для описания и формализации других задач с кубиками, и для решения этих задач.

Собственно цель данной статьи, кроме того, чтобы развлечь читателя примерами пространственно-цветовых превращений четырехэлементных сборок кубиков, состоит ещё и в том, чтобы предложить сообществу увлеченно обсуждающих головоломки, подобные той, о которой идет речь, простой, лаконичный и понятный язык описания состояний такого, как кубик объекта, вместо пространных и мучительных «развертка номер 2, повернуть вокруг оси Z, в правосторонней системе..» и т. д. Любой, кому приходится, хотя бы изредка, утомлять своё воображение за чтением подобных фраз, полагаю, досадовал на отсутствие более кратких и выразительных приемов описания состояния обсуждаемого объекта. Особенно возмущают пространные описания состояний объектов программистов, мыслительная культура которых изощрена привычкой к формализации, логике и алгоритмизации.

Попробуем формализовать несколько простых наблюдений над кубиками.

Некоторые соглашения об обозначениях и терминологии


Для целей удобства использования в дальнейшем, проиндексируем грани куба следующим образом (см. Рис. 2):
0 – нижняя грань, 1 – лицевая грань, 2 – верхняя грань, 3 – задняя, 4 – левая боковая, 5 – правая боковая.

Набор 46 кубиков
Рис. 2. Развертки кубиков

Опишем все возможные повороты кубика в его локальной правосторонней системе координат, в которой расположим кубик таким образом, чтобы центры кубиков, составленных в ряд, оказались на оси Z, а ось X при этом была направлена вверх.

Таблица поворотов
Рис. 3. Индексированные повороты

Буквой обозначим поворот на 90 градусов вокруг соответствующей оси, знак «минус» перед ней указывает, что поворот осуществлен на -90 градусов.

В такой форме записи легко фиксировать пространственное положение куба, сколь угодно сложную последовательность поворотов он бы не выполнял: например, получить последовательность индексов для поворотов (X,X) можно переставив в соответствующем графе «индексы» таблицы порядке исходное положение индексов кубика.

Удобная форма записи – располагая преобразуемые индексы сверху вниз, от исходного положения к новому пространственному перемещению кубика.

Графическое решение


Отчего же оно «единственное», если кубики, в строгом соответствии с требованиями головоломки, очевидно могут образовывать несколько различных пространственных комбинаций?

Простое решение
Рис. 4. Собранная головоломка

Потому что «правильная» головоломка имеет единственное графическое решение!
Чтобы повторить решение F. De Carteblanche, нам потребуется краткий экскурс в теорию графов, причем знания, нам требующиеся, столь незначительны, что люди, не слышавшие до сих пор об этой области математики, едва ли новое знание ощутят как «багаж».

Каждый куб в представлении графов может быть записан как комбинация его противоположных сторон – для примера возьмем куб с номером 27 (Рис.2), его запись выглядит следующим образом: RY/RB/GY.

  • Порядок записи граней и самих цветов в гранях не имеет значения, что прямо указывает на инвариантность перестановок граней у отдельного кубика к состоянию решения головоломки. Факт этот кажется не самым ожидаемым, оттого несколько удивительным: поменяв, например, две противоположные грани куба дважды, мы получим этот же куб, но в другом пространственном положении, однако меняя грани один раз или три раза, мы имеем куб совершенно другой, однако он в сочетании с тремя прежними кубами набора опять образует головоломку, имеющую «простое решение». «Оживим» это наблюдение приемом индексной записи: выберем из таблицы разверток кубиков кубики с номерами 27, 16, 10, 5. Поскольку грани 4 и 5 у куба являются боковыми (в соответствии с соглашением), то очевидно, что развертки этих кубиков приведены на Рис. 2 в положении сборки (решения), приняв цифровое обозначение «красный — 0, желтый — 1, синий — 2, зеленый — 3» запишем:

    [001231] - кубик 27
    [112301] - кубик 16
    [233011] - кубик 10
    [320111] - кубик 5
    Именно эта сборка вращается на Рис. 4.

    поменяем местами противоположные грани первого куба, кроме его боковых граней, скрытых от наблюдателя: [120031] – но это тот же куб, только в положении 230145 (Z,Z); поменяем местами грани с индексами 0 и 2: [100231] – куб в положении 210354 (Y,Y) займет прежнее место в сборке, за исключением того, что скрытые от наблюдателя боковые грани поменялись местами; поменяв местами грани с индексами 1 и 3 получим куб [021031], который после поворотов 032154 (X,X) так же станет [001213], как и предыдущий. Сборка в целом, между тем, как только мы вернем «модифицированный» кубик в прежнее положение, продолжит оставаться «решенной».
  • Обратим внимание на повороты за номерами 4, 7, 8, 13, 16, 20, 22 из Таблицы индексированных поворотов (Рис. 3) – это те самые повороты, в которых участия не принимают боковые грани кубиков, и все эти повороты, примененные ко всем кубикам сборки одновременно, не ломают «решения» головоломки. Т.е. пространственно различных комбинаций кубиков, в которых может наблюдаться решение головоломки вообще-то… 8.

Однако, вернемся к графам. Нам достаточно представления о графе, как о неком множестве вершин (узлов, nodes), пребывающих в определенных между собой связях или, проще говоря, соединенных ребрами (связями, edges). Вершинами, в нашем случае, мы будем полагать цвета или сами цветные грани, а в качестве связей физическое ребро кубика уместно лишь в смысле указания на то, что выбранные на графе два цвета образуют пару в конкретной рассматриваемой реализации кубика. Если ребро замыкается на той же самой вершине, принято граф с такой конструкцией называть псевдографом, а соответствуюшее ребро петлёй (loop).

Решим графически головоломку на Рис. 5: в строчной записи, кубики, её составляющие, выглядят как YG/RB/RY, RY/GY/BY, GB/RG/YY, GR/YY/YB. Ниже каждого кубика поместим его представление в виде вершин и ребер соответствующего ему графа, после чего, объединим все четыре псевдографа в единую графическую конструкцию.

Собственно, именно над этим хитросплетением и предстоит нам поразмыслить, чтобы решить головоломку:

  • внутри этого объединенного мультиграфа необходимо выделить два отдельных подграфа (два пути), каждый из которых только один раз проходит через все четыре цветовых вершины, используя при этом каждое из 4-х ребер, пронумерованных от 1 до 4-Х. Причем каждая вершина должна иметь лишь два исходящих ребра или только оба конца исходящей из нее петли. Один подграф будет представлять ряд кубиков в положении «решения головоломки», обращенных лицевой стороной к наблюдателю, второй – ряд кубиков в положении «сверху». Очевидно, что любое ребро не может быть использовано в обоих подграфах, т.к. одновременно представлять фронтальную и верхнюю части собранной призмы не может.

Графическое решение
Рис. 5. Графическое решение головоломки

Оказывается, разделить мультиграф на два подграфа, соблюдая все эти условия, можно лишь одним образом. Отсюда, собственно, и произошло устойчивое выражение «единственное решение».
Если каждый из кубиков в его полученном размещении (индексированная запись на Рис. 5) повернуть в последовательности XXZ(103254), то мы узнаем в этой сборке уже нам знакомые кубики 27, 16, 10, 5.

Разумеется, существуют наборы кубиков по 4-е, не имеющие ни единого решения, как и те, что имеют решений слишком много, чтобы комбинирование их казалось занимательным.
Вообще, мне продолжает казаться, что я продолжаю эксплуатировать заимствованный речевой штамп – «единственное решение» образом не самым удачным, но быть может лаконичное и точное определение для сборок с минимально возможным числом требуемых по условию задачи комбинаций кто-то вскоре предложит. Лично же у меня, любая комбинация кубиков, допускающая большее число комбинаций для сборки, нежели минимально возможное, вызывает некоторое затруднение с её классифицированием.

Симметрия 24
Рис.6. Пример сборки с 24-мя решениями

Немного о сложности


Во всех просмотренных мной текстах, посвященных этой головоломке (Instant Insanity, Tantalizer), исследования её сложности сводились к подсчету общего числа комбинаций, которыми можно разместить кубики в пирамиде, или вычислению вероятности случайного нахождения решения среди возможных комбинаций кубиков. Причем, и эти вычисления порой производятся образом столь удивительным, что просто теряешься, пытаясь проникнуть в идею автора: так, например, по мысли автора (или авторов) статьи в Википедии, вероятность случайного нахождения решения головоломки равна 13824. Цифра сия явилась результатом прозрения автора по части того, что порядок расположения кубиков в пирамиде не имеет значения, а стало быть порождает новых 24 решения, и от чего не худо поделить 24х24х24х24 на эти самые 24, для нахождения вероятности… И этот ляп распространяется по сети усилиями не знающих сомнений «опылителей» интернет-пространства.

Среди 331776 возможных комбинаций, образуемых кубиками (естественно, без попыток менять их порядок в пирамиде) может найтись только 8 решений, что даст для вероятности цифру несколько превышающую вычисленную авторами статьи в Википедии – 41472. И цифра эта также встречается в этой же статье, но уже в отношении количества уникальных или существенных для поиска решения конфигураций: первый куб достаточно последовательно зафиксировать на одной из граней каждой из трёх пар противоположных граней, тогда число вариантов значимых комбинаций будет 3х24х24х24. Эта цифра совпадает с вероятностью как раз потому, что фиксируя первый куб, мы получим единственное решение в ходе перебора возможных комбинаций.

Между тем, используя форму записи поворотов в индексированных гранях, несложно показать, что решение головоломки может быть найдено не более чем за 8 шагов.

Внимательно рассмотрим таблицу на Рис.3: среди всех уникальных пространственных размещений, в которых может находиться каждый из кубиков, есть 6 размещений, состоящих из 3-х поворотов на 90 градусов, и 11, состоящих из 2-х поворотов.

Кажется вполне логичным, если для нахождения наибольшего количества шагов, требующихся для решения головоломки, мы возьмем комбинацию кубиков в положении решения головоломки и попытаемся, меняя пространственное размещение каждого кубика, смоделировать комбинацию, максимально «удалённую» от решения – т.е. «равноудаленную» от комбинаций, в которые могла бы перейти «сборка», если ко всем кубикам одновременно применить повороты за номерами 4, 7, 8, 13, 16, 20, 22 из таблицы Рис.3.

Начнем с исследования, какие последствия будет иметь применение 3-хкратных поворотов (номера с 19 по 24 в таблице) к каждому из кубиков: всего комбинаций из 6-ти 3-хшаговых поворотов, в применении к нашему случаю, можно составить 15-ть:
<19,20,21,22>, <19,20,21,23>, <19,20,21,24>, <19,20,22,23>, <19,20,22,24>, <19,20,23,24>, <19,21,22,23>, <19,21,22,24>, <19,21,23,24>, <19,22,23,24>, <20,21,22,23>, <20,21,22,24>, <20,21,23,24>, <20,22,23,24>, <21,22,23,24>.

Порядок кубиков в сборке не имеет значения для решения, поэтому порядок поворотов в этих комбинациях также не существенен.
Любой из поворотов за номерами 20 и 22 сразу приводит кубик, к которому этот поворот был применён, в положение, занимаемое этим кубиком в одном из 8-и решений головоломки (см.выше). В случае, если мы полагаем пространственно-зафиксированным (не нуждающимся в дальнейших вращениях) кубик, к которому был применен поворот 20, то любой кубик, находящийся в одном из 5-ти других 3-хшаговых положений, может быть переведен в положение 20 за два шага: к положению 19 следует применить поворот 11 (19+11 →20), к 21+14 →20, 22+16 →20, 23+12 →20, 24+15 →20 (просто переставляем индексы граней начального положения в соответствии с указаниями добавляемого поворота):
19+11: 21+14: 22+16: 23+12: 24+15:
435102 534120 321054 240513 250431
341520 351402 230145 425031 524013
------ ------ ------ ------ ------
103254 103254 103254 103254 103254


В случае, если мы фиксируем кубик, к которому применяли поворот за номером 22, возможные переходы для других кубиков могут выглядеть таким образом:
19+18 →22, 20+16 →22, 21+9 →22, 23+10 →22, 24+17 →22.

Итого, для достижения решения нам потребовалось всего шесть действий.

Только одна из 15-ти 3-хшаговых комбинаций не содержит ни 20-го поворота из таблицы поворотов, ни 22-го. – Это набор <19,21,23,24>. Возможно, длительность шагов до решения, в этом пространственном размещении, будет иной:
повернем куб, находящийся в положении 19 (X,X,Y) к положению 16(Z,Z): 19+1(Y) →16 (мы сделали лишь один поворот, повернув куб на 90 градусов вокруг оси Y); для оставшихся трех кубов, нам потребуется также лишь по одной операции на кубик, чтобы перевести его в положение 16(Z,Z):
19+3 →18, 21+6 →18, 23+5 →18, 24+2 →18. – В этом случае, потребовалось лишь 4 поворота, чтобы перейти к положению собранного решения.

Осталось взглянуть пристально на то, что обещают нам 2-хшаговые поворотные комбинации, в которых мы сразу откажемся от поворотов за номерами 8, 13 и 16, поскольку любой из них фиксирует один из кубиков в положении решения, и возьмем, например, для целей нашего анализа последовательность <9,10,11,12> — перевести данную последовательность в любое из 8-ти положений решения (см.выше) можно в результате следующих операций, легко находящихся при помощи таблицы:

9+23(X,Y,Y) →4, 10+6(-Y) →4, 11+5(-X) →4, 12+19(X,X,Y) →4 или
9+5(-X) →7, 10+21(X,X,-Z) →7, 11+23(X,Y,Y) →7, 12+3(Y) →7 или
9+12(X,-Z) →8, 10+9(X,Y) →8, 11+10(X,Z) →8, 12+11(X,-Y) →8 или
9+10(X,Z) →13, 10+14(Y,Z) →13, 11+12(X,-Z) →13, 12+18(-X,-Y) →13 или
9+15(Y,-X) →16, 10+11(X,-Y) →16, 11+17(Z,-Y) →16, 12+9(X,Y) →16 или
9+2(X) →20, 10+1(Y) →20, 11+24(X,Z,Z) →20, 12+21(X,X,-Y) →20 или
9+24(X,Z,Z) →22, 10+19(X,X,Y) →22, 11+2(X) →22, 12+6(-Y) →22 или 
вернуть в исходное положение обратными поворотами, – в любом из этих случаев, сумма всех поворотов, произведенных над кубиками равна 8.

Так и сколько же их?


Я не хотел, чтобы в мобильной версии моей головоломки некоторая комбинация кубиков примелькалась и наскучила игроку, и не надеялся, что 24 варианта возможного перекрашивания набора кубиков способны надолго ввести в заблуждение пытливые умы.
Кроме того, просто интересно самому: сколько всего существует уникальных комбинаций четырехцветных кубиков по 4-е, являющихся комбинациями с «одним решением», и не являющимися «перекрашиванием» самих себя?

Можно просто взять все 68 возможных раскрасок кубиков (именно такое число раскрасок в 4-е цвета указывает лемма Бёрнсайда) и простым перебором «по 4-е из 68-ми» все эти комбинации найти (попутно проверяя их на «единственность» и «перекрашивания») – способ этот, однако, не отличается изяществом и обещает быть весьма затратным по времени машинного расчета (более чем в 30 раз от принятого мною, как впоследствии показали сравнения). Оптимальным мне показалось строить сразу возможные комбинации кубиков по 4-е. Кроме того, внимательный взгляд на индексную форму записи пространственных положений кубика (Таблица, Рис.3), позволяет произвести некоторую оптимизацию такого «перебора»:

  • запись через индексы позволяет легко определить, какие цветовые модели раскраски кубика не могут встречаться в сборках с «единственным» (минимальным набором удовлетворяющих условиям головоломки комбинаций) решением: 12 кубиков, использованных Rob Stegmann в его наборе из 56, как раз не подходят для таких сборок, оттого группы 5 и 6, в его классификации, нигде в «простых» решениях не появились.
  • Отсеяв «негодные» цветовые модели еще до стадии моделирования самих сборок по 4 кубика, можно существенно сократить время перебора комбинаций кубиков для сборок.
  • Эти фильтры уместно использовать, как в головоломках с трехцветной раскраской кубиков (есть и такие, но здесь мы их не рассматриваем), так и в случае четырехцветной раскраски.

Недопустимые последовательности
Рис.7. Недопустимые последовательности

Легко видеть из Рис.7, что кубики, имеющие одинаково закрашенные противоположные или смежные не боковые грани, а также кубики, закраска боковых граней которых повторяет закраску каких-либо из не боковых граней, не могут присутствовать в сборках с «одним решением», т.к. порождают новые, дополнительные решения.

Надо заметить, что и вполне «годные» кубики легко создают сборки не удовлетворяющие критерию «единственности решения»: например, комбинация на Рис.6, в которой синхронное помещение кубиков сборки в любой из 24-х возможных его пространственных положений оставляет сборку «решенной», образована как раз «годными» кубиками с номерами 25, 17, 15, 23.

«Не перекрашенных» сборок с «одним решением» набралось 1073 за время чуть превышающее минуту работы моего компьютера, и именно эти 46 кубиков, из которых все эти сборки комбинируются, представлены на Рис. 2. Меня несколько обескуражило, что в этом наборе отсутствуют еще 10 кубиков, раскраски которых я предполагал увидеть, т.к. они вполне отвечали сформулированным мною требованиям. Тогда я добавил их первыми в массив «моих» кубиков и прогнал уже обычный "злобный brute force" – в результате сгенерированный массив сборок так и продолжал оставаться числом в 1073, изменился лишь набор использовавшихся для этих сборок кубиков: четыре кубика из «новых» добавились к моему набору, но вытеснили два ранее бывших в наборе кубика… Тот же результат получился и для массива в 68 кубиков, сгенерированного исключительно из принципа уникальности раскраски.
Магическое число 1073.

Перекрашивание


Все 1073 найденных мной сборки уникальны, ни одну из них нельзя превратить в любую другую перекрашиванием и поворотами кубиков. При этом, любые другие сборки, скомбинированные из приведенных в таблице 46-ти кубиков, будут являться лишь изоморфными производными из этих ранее учтеных 1073 сборок.

Как это происходит, можно видеть из следующего примера.

Создадим сборку с «одним решением» из имеющихся у нас кубиков (все развертки из Рис. 2) — среди 1073-х сборок конечной выборки этот набор отсутствует, но это вполне «играбельная», «однорешаемая головоломка».

[001233] - кубик 29
[123300] - кубик 30
[230121] - кубик 17 в положении XX-Y (534120)
[312000] - кубик 32

Сборка приведена в положении решения. Перекрасим её грани следующим образом: желтый – в синий, синий – в желтый, иначе 1 – 2, 2 – 1:

[002133] - и повернем на XXZ (103254)] : [001233] - кубик 29
[213300] - и повернем на XXZ (103254)] : [123300] - кубик 30
[130212] - и повернем на XXZ (103254)] : [312021] - кубик 46
[321000] - и повернем на XXZ (103254)] : [230100] - кубик 31

Т.е., в данном примере, создать новую сущность перекрашиванием не удалось (любые сборки, образуемые из приведенного на Рис. 2 набора, уже учтены среди существующих 1073-х ) – сборка, которую мы перекрашивали, не входит в итоговый набор из 1073 уникальных головоломок, но может быть скомплектована из тех 46-ти кубиков, которые послужили материалом для всех головоломок. Однако, такая сборка будет лишь примером изоморфизма, т.к. обыкновенной заменой цветов она превращается в другую сборку (из других кубиков) уже учтенную нами. Тем не менее, «перекрашивание» создаёт немалое количество «неузнаваемо» выглядящих головоломок. На сайте R.Stegmann'а достаточно примеров изоморфно однородных Instant Insanity головоломок.

«Что же из этого следует?»


Будет чрезвычайно досадно, если культура интеллектуального досуга уступит место культуре досуга созерцательного. Надеюсь, что их мирное сосуществование возможно.
  • +26
  • 14,2k
  • 6
Поделиться публикацией
Комментарии 6
    0
    «Нам достаточно представления о графе, как о неком множестве вершин (узлов, nodes), пребывающих в определенных между собой связях или, проще говоря, соединенных ребрами (связями, edges).» А почему так? Почему графы не строим между соседними гранями или еще как? Можете объяснить по-подробнее.
      0
      Граф вообще предназначен, чтобы отразить сущностную природу взаимодействий между объектами, конкретная его реализация зависит от идеи, которую требуется передать. В данном случае, для решения описанной задачи, была уместна такая модель, в случае другом, более показательным может стать граф иной модели. Кубики прекрасно описываются в противоположных гранях, например, на Рис. 6 модель сборки может быть записана как
      ac/ab/ad
      ab/bd/dc
      ad/dc/cb
      ac/cb/bd
      Вы можете по этой записи проследить особенности смежных граней в данных кубиках, нет необходимости переходить на запись другого рода.
      На Хабре есть различные примеры использования графов, которые могут расширить Ваши представления о теории графов.
      0
      Будет чрезвычайно досадно, если культура интеллектуального досуга уступит место культуре досуга созерцательного. Надеюсь, что их мирное сосуществование возможно.

      Из всего вышенаписанного действительно следует именно это?

        0
        Я, вероятно, должен догадаться, что всё «вышенаписанное», несколько по Вашему мнению, диссонирует с заключительными акцентами публикации? – Вполне может быть. Я удержался от желания развить заключительную мысль, боясь рассеять внимание читателя, и в расчете на то, что той части внимательно читавших статью, которая интересуется или, может быть, увлечется после прочтения головоломками, пожелание содержательного досуга покажется более органичным, чем Вам.
          0

          Пожелание содержательного досуга в конце этого материала (если бы оно там было) мне показалось бы вполне органичным и оно никак не диссонирует с текстом. Вся проблема в слове "следует", у которого вполне конкретное значение — здесь не надо ни о чём догадываться и напускать туману.

        0
        Приношу извинения осуждающим практику редактирования статей спустя два месяца после публикации. Не удержался. Дополнил вычислением сложности.

        Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

        Самое читаемое