Задача про четыре стакана

    В комментариях к моему посту, одним из пользователей был задан интересный вопрос. Суть его такова: Имеем 4 стакана, с одинаковым объемом воды. 2 из них с горячей, 2 — с холодной. Смешиваем стаканы с горячей и холодной водой. Ждем 10 мин и смешиваем оставшиеся. Вопрос: в какой смеси вода будет горячее?


    Нагрев и остывание


    Нагрев и остывание подчиняются закону Ньютона-Рихмана, решение уравнений которого имеет вид:


    — температура окружающей среды;
    — начальная температура;
    — время;
    — коэффициент, описанный ниже;

    Давайте детально исследуем эту формулу:

    • в момент времени , температура равна начальной .
      Подробнее
    • с течением времени, она стремится к окружающей (в не зависимости, была начальная выше или ниже неё) по экспоненциальному закону, со скоростью, пропорциональной коэффициенту .
      Побробнее
      Так как , то

    Теперь несколько слов о коэффициенте :


    — коэффициент теплоотдачи, зависящий от многих факторов, получаемый экспериментально.
    — площадь границы раздела;
    — масса;
    — удельная теплоемкость тела;

    Если с (площадь соприкосновения воды и стенок сосуда), удельной теплоемкостью и массой все понятно, то с коэффициентом теплоотдачи все не так очевидно. Он показывает, сколько джоулей за секунду уйдет через метр квадратный границы раздела, при разности температур в 1 Кельвин. К счастью, в нашем случае, не важно знание абсолютного значения этого коэффициента.

    Смешивание


    Какой станет итоговая температура воды после смешивания? Как бы банально это не звучало, но для нашего случая (смешиваем равное количество воды):



    — температура горячей (Hot) воды;
    — температура холодной (Cold) воды;
    — температура смеси;

    Доказательство
    Количество выделенной или поглощенной энергии системы, c изменением ее температуры, связаны простым отношением:


    Горячая вода, охлаждаясь до отдаст такое же количество энергии, сколько заберет холодная, нагреваясь до той же температуры. Поэтому можем записать:




    Стаканы 2 и 4


    Температура этих стаканов изменяется по экспоненциальному закону и через время станет:



    Далее смешиваем и получаем:





    Стаканы 1 и 3


    Смешиваем:

    И через получаем:

    Казалось бы разницы нет, но…

    Подвох или еще раз о коэффициенте k


    Наш цилиндрический стакан с точки зрения потерь тепла, можно разбить на три зоны: дно (bottom), верхняя часть (top) и боковые стенки (sidewall). Поэтому и коэффициент можно записать как сумму:

    , где

    , ,

    Если стакан рассматривать как цилиндр с радиусом и высотой , то:

    , а

    Можем записать:

    Так вот, для случая 1 и 3, при смешивании, масса и высота столба воды удваиваются:


    А вот к случаю 2 и 4 это не имеет никакого отношения, так как остывают (нагреваются) они по-одиночке, и после смешивания, дальнейшее изменение температуры нас абсолютно не волнует.

    Выводы и еще один подвох


    Если рассматривать
    и

    можно сделать вывод что всегда будет меньше чем , а поэтому, если вспомнить что коэффициент определяет скорость изменения температуры, она, в случае 1 и 3 будет меньше.

    Подвох состоит в значении относительно температуры окружающей среды. Если это значение будет выше, то остывание смеси 1+3 будет медленее чем 2+4 и, как итог, температура первой — выше. Однако, если подстроить эксперимент таким образом, что среднее температур будет ниже окружающей — «горячее» будет смесь 2+4, так как она нагревается быстрее.

    Интересненькое
    Если внимательно рассмотреть коэфициенты, можно сделать еще один интересный вывод.

    • Если цилиндр выбрать таким образом, что отношение будет достаточно большим (тонкий, но длинный), так чтобы , то и их итоговые температуры будут практически одинаковы.
    • Напротив, если отношение сделать достаточно малым (широкий но короткий) так, чтобы , то .
      Подробнее


    Если подставить это значение в формулу итоговой температуры для 1+3, получим:


    Напомним что

    Если обозначить:

    , и

    Таким образом, для произвольного цилиндрического стакана и , будет лежать между и :


    А на самом деле..?


    На самом деле, данная статья очень наглядный пример того, что к практике без теории подходить нельзя. И этот абзац содержит выводы куда важнее приведенных выше. Не знание того факта, что результат зависит, помимо прочего, и от температуры окружающей среды, приведет к неправильной интерпретации последних. Вы только представьте, два друга ставят эксперимент, холодная вода 5 градусов, горячая 60. Но у одного из них дома 25, а у другого 40. Результаты будут противоречивыми. А если у них еще и стаканы разные или действия не синхронны… Но гораздо хуже, ложно утверждать о единственно верном исходе эксперимента, в случае, если результаты одинаковы (ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры). Также, всегда следует хотя бы приблизительно оценить выходные величины. Если, к примеру, разница в температурах, количественно составит 0.5 градуса, то глупо мерить ее комнатным термометром, с погрешностью в 2 градуса. Стоит упомянуть о том, что закон Ньютона-Рихмана справедлив лишь в том случае, если в воде тепло распространяется гораздо легче, чем через стенки стакана. Вдобавок коэффициент теплопроводности, как и удельная теплоемкость, может зависеть от температуры. Ну и выводы наши для цилиндрического стакана, и другая геометрия внесет свои коррективы.
    Поделиться публикацией
    Комментарии 45
      +3
      К этой задаче есть дополнение — когда добавлять сахар в чай если надо: а) погорячее, б) похолоднее
        +1
        Или сливки в кофе.
          +6
          На сколько я знаю, у сахара отрицательная теплота растворения. То есть растворяясь он охлаждает.
          0
          У меня кстати похожий вопрос. Отключили горячую воду. Вы нагреваете чайник воды и выливаете в таз. Мыться вы начнете через 5 минут. Есть два варианта — сразу добавить холодной воды или через 5 минут.
          В каком варианте потеряется меньше тепла? Если воды добавить сразу, то будет меньше разница температур с окружающей средой и по идее медленнее будет теплоперенос.
            +3
            Все верно. Горячая вода потеряет больше тепла, чем теплая (смешанная) за то же время. Но еще лучше сначала налить холодной воды. Она нагреется, прежде чем вы добавите горячей.
              0
              Хм. Логично)
              +1
              Вот только площадь поверхности воды (по которой идёт теплообмен) станет заметно больше. Имхо сомнительное решение.
                +1
                Площадь поверхности и дна останется прежней. Увеличится площадь боковых стенок (на высоту столба холодной воды). Учитывая что купаются зачастую в платсмассовых мисках, теплопроводность которых не фонтан, много мы от этого не потеряем.
            –1
            Этот эксперимент на практике просто невозможно проделать. Остается довольствоваться только одной теорией.
              0
              А эти формулы учитывают все три канала передачи тепла: конвекцию, излучение и испарение?
                0
                Нет такой формы передачи тепла как испарение. Учитывается только кондуктивная передача тепла.
                  +1
                  А разве с верхней поверхности не происходит испарение?
                  И разве испарение не сопровождается понижением температуры жидкости?
                    0
                    Все верно, но фундаментальных способов обмена теплом три: конвенкция, излучение, теплопроводность. Испаряясь, вода теряет энергию за счет всех трёх. Пар поднимается вверх, так как теплее (конвенкция), излучает, по той же причине, и обменивается с воздухом кондуктивно, так как соприкасается с ним непосредственно. Если говорить об испарении, необходимо учесть влажность воздуха (во влажном испарение замедляется), давление (при низком испарение интенсивнее), а также обдув (при обдуве испарение интенсивнее). Верно кто-то здесь подметил, что физическая задача бесконечно сложна, и все-все учесть крайне сложно.
                      +1
                      Вот и я про то же: после смешивания мы имеем одно зеркало испарения. И скорость потери тепла от испарения будет сильно зависеть от: влажности, температуры, скорости движения окружающего воздуха.
                        +2
                        И мне кажется, что испарение может вносить заметный вклад в теплопотери стакана.

                        Плюс влияние размеров стакана — при одних его пропорциях в жидкости разовьется естественная конвекция и теплота будет переноситься от внутренних горячих слоев к холодным стенкам, а при других конвекция может и не возникнуть.
                          0
                          Будет вносить заметный вклад, да, особенно если температура горячей воды близка к точке кипения при данном давлении.
                          Это напоминает задачу: кружки с водой комнатной температуры и кипятком поставили в морозильную камеру холодильника. Вода в какой чашке превратится в лед первой?
                +1
                Следующая задача на практически ту же тему:
                На плите кипящая кастрюля (100°, 1 литр воды).
                Нам требуется два литра кипятка. Варианты: долить в кастрюлю (вместимости хватит) один литр холодной и дождаться кипения, либо взять еще одну кастрюлю, налить туда литр холодной воды и поставить на конфорку рядом.
                Если пренебрегать теплоотдачей и краевыми эффектами нагревания самой кастрюли, то варианты эквивалентны.
                Но в свое время я на спор попытался доказать теорию практикой и с треском проиграл человеку, который у плиты проводил времени больше чем я, но совершенно не знал физику.
                  0
                  И что быстрее получается?

                  Я бы (пока без особой физики) поставил на литр холодной рядом, поскольку разница между пламенем комфорки и водой будет больше, соответственно передача тепла — быстрее. И, в этом случае, греть будут две комфорки — левая будет поддерживать температуру кипятка (который достаточно много тепла отдает), а правая — нагревать свежий кипяток.
                    0
                    Я так понял что комфорка всегда одна. Либо холодная вода греется с кипятком, либо кипяток простаивает, пока холодная греется отдельно. иначе ответ очевиден.
                      0
                      Ответ вовсе не очевиден. Попробуйте в домашних условиях.
                      Хотя нужны две одинаковые кастрюли и две одинаковые конфорки.
                      Обе конфорки нагреты, на одной в кастрюле варится литр кипятка, в руках у вас еще два раза по литру.
                      Правой рукой выливаем воду в кипяток, левой рукой — в пустую кастрюлю поставленную на конфорку.
                      Смотрим что быстрее закипит :)
                      (Ну, можно обойтись одной кастрюлей, одной конфоркой и секундомером)

                      В конце же концов нас интересует не квадратный конь в стерильных условиях. А практическое решение прикладных задач. Что толку от всего матана, если чашечка кофе с молоком будет остывать быстрее/медленнее пока официант её несет к столику чем отдельно тот же кофе и то же молоко по отдельности?
                        0
                        Условия интересные, нужно подумать. Решая подобные задачи, никто не требует от вас ответа с 5-ой цифрой после запятой. Важно уловить взаимосвязи. Вы должны понять что от чего зависит и на сколько. Уверен, выводы можно применить ко многим практическим вопросам, не ограничиваясь лишь чашечкой кофе.
                          0
                          в пустую кастрюлю поставленную на конфорку.
                          важный момент в том, нагрета ли до 100+ градусов пустая кастрюля.
                            0
                            тогда важный момент на сколько массивна эта кастрюля?
                            0
                            Если цель — быстрее получить кипяток, то нужно налить часть холодной воды в горячую, оставшуюся холодную поставить на вторую конфорку. Разделить нужно с таким расчётом, чтобы обе кастрюльки закипели одновременно. Считать лень, но думаю поделить нужно примерно пополам, так как при высокой температуре пламени можно приблизительно считать скорость нагрева равномерной.
                              0
                              Мне кажется, что добавив холодную воду в кипяток — это выигрышный вариант, поскольку перемешиваясь, вода очень быстро примет среднюю температуру, так как площадь передачи тепла безумно большая.
                              А вот грея литр холодной воды в соседней кастрюле — это долго. Даже если кастрюля будет раскалена добела — не хватит её теплопроводности по сравнению со смешиванием.
                                0
                                Идея в том, чтобы разделить один долгий процесс на два более коротких и идущих параллельно. У нас две конфорки, но если смешать всё, то работать будет только одна, грея 2 литра тёплой воды. Если не смешивать совсем, то одна конфорка будет перегружена, грея литр холодной, а другая будет работать вхолостую, грея и так горячую воду. Если разделить, то обе конфорки будут задействованы — одна будет греть ~1.5 литра тёплой, другая ~0.5л холодной. Оптимум — обе конфорки заканчивают греть свои кастрюльки за одно и то же время.
                          0
                          Имхо, долив и нагрев будет быстрее, чем нагрев в другой емкости с нуля. Емнип, объемная теплоемкость воды понижается с ростом температуры.
                          0
                          Кастрюля с двумя литрами — 11:45
                          Прогретая кастрюля с одним литром — 9:20
                          Сложно определить, что такое кипение. Когда в кастрюле с одним литром поверхность уже бурлила, в кастрюле с двумя литрами, при похожем состоянии дна, пузыри никак не могли добраться до поверхности, поглощаясь водой.
                          0
                          k = k_s + k_b + k_t

                          Это неочевидно.
                            0
                            Тут. В двух словах, потеря тепла через дно, боковые стенки и поверхность происходит параллельно (независимо). Вот если бы сначала теплообмен шел через дно, потом через боковую стенку и затем поверхность, формула была бы:
                            +6
                            Вместо кучи формул нарисовали бы лучше один график — статья бы от этого выиграла намного.
                              0
                              Тут я с вами просто не могу не согласиться. Графики более наглядны.
                              0
                              Где матан?
                                +1
                                а можно автора попросить в конце статьи все-таки написать практический вывод, соответствующий поставленному условию в задаче (ну как в школе учили):
                                Вопрос: в какой смеси вода будет горячее?
                                Хотелось бы где-то в пределах "Таким образом" и "А на самом деле..?" увидеть что-то более конкретное, чем ΔT и e.
                                Например, можно указать, что при исходной температуре холодной в 15, кипятка 95 и комнатной 20 получается, что холоднее будет смесь, приготовленная через 10 минут, а не «ранняя».
                                ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры

                                вот здесь уже почти «наклевался» сколь-нибудь практический вывод.
                                В идеале, как писали выше, увидеть бы графики для сколь-нибудь стандарнтых значений, например, 15 vs 100 и при какой температуре окружающей среды получается перелом.
                                Т.е., после этого можно будет с чистой совестью говорить, что «в домашних условиях, с если нужно сохранить температуру, более выгодно смешивать раньше, чем позже»
                                  0
                                  К примеру 15 vs 100. (15+100)/2 = 57.5 — температура перелома. Таким образом если комнатная 25 градусов (25 < 57.5), ранняя смесь будет теплее. Если комнатная 60 градусов (60 > 57.5) — смесь приготовленная через 10 мин.
                                  0
                                  под катом «интересненькое» ошибка в том переходе, где появляется sqrt(e):
                                  sqrt(e) * exp(-k deltat) — это не exp(-1/2 k deltat), а exp(-k deltat + 1/2)
                                    0
                                    Тут нет мне прощения. Спасибо)

                                  Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                  Самое читаемое