Когда вероятность встречается с реальностью: три задачки на теорию вероятностей

https://www.quantamagazine.org/the-bayesian-probability-puzzle-20180208/
  • Перевод

Оказавшись перед трудным выбором, стоит доверять интуиции или тщательно просчитать все сопутствующие риски?




Для людей с научным складом ума естественно пытаться применять рациональные методы для оценки рисков повседневной жизни. К примеру, надо ли делать прививку от гриппа, если вам нет 40 лет и вы здоровы? Нужно ли выпрыгивать из самолёта (с парашютом)? Благородная цель, применение логики для оценки рисков, однако, сталкивается с двумя препятствиями. Во-первых, в отсутствии определённости мы обычно принимаем решения на основании комбинации из интуиции и целесообразности, и довольно часто это срабатывает. Во-вторых, нас постоянно атакует множество всё время изменяющихся случайных событий. "Как случайность управляет нашей жизнью" – такой подзаголовок был у весьма поучительного бестселлера Леонарда Млодинова. Эти постоянные тычки от случайных сил красочно продемонстрированы в этом отрывке, перефразированном из гораздо более длинной детской сказки 1964 года под названием "К счастью" Реми Чарлипа, который вдохновил нашу первую задачу.

Задача 1


Человек отправился покататься на самолёте.

К несчастью, он выпал.

К счастью, у него был парашют.

К несчастью, парашют не раскрылся.

К счастью, под ним оказался стог сена, прямо на том месте, где он должен был упасть.

К несчастью, прямо под ним из стога торчали вилы.

К счастью, он не попал на вилы.

К несчастью, он не попал на стог.

Существует несколько свидетельств, утверждающих, что у людей, выпавших из самолёта, получалось выжить, упав на стог сена, или даже на деревья или кусты – такие случаи легко нагуглить. Итак, сменяющие друг друга крики в голове этого человека: «Мне конец!/Я спасён!» нельзя назвать итоговыми, пока история не закончится. (Наша история заканчивается трагически, но в оригинале герой выживает благодаря множеству других резких поворотов судьбы). Имеет ли смысл применять принципиальные методы оценки рисков в данном случае? Учитывая имеющуюся информацию, оцените шансы на выживание после каждой строчки.

Эта история ярко иллюстрирует два важных аспекта вероятностных оценок. Во-первых, вероятности могут радикально меняться с появлением новых знаний. Во-вторых, неважно, насколько сильно вы настроили шансы в свою пользу, итоговый результат выливается во что-то одно – жизнь или смерть, да или нет. В редких случаях результат может оказаться нежелательным. Как с коллапсом волновой функции в квантовой механике, продемонстрированным знаменитым мысленным экспериментом Эрвина Шрёдингера с котом в коробке, который может оказаться живым или мёртвым, вероятности теряют смысл после того, как событие происходит. Так какова же ценность подобных вычислений? Давайте рассмотрим этот момент подробнее.

Возможно, наилучшим методом рационального подхода к случайности и риску в повседневной жизни будет байесово мышление, названное в честь статистика XVIII века Томаса Байеса. Байесово мышление опирается на несколько важных принципов. Во-первых, вероятность субъективно интерпретируется, как степень доверия – разумная оценка личной точки зрения о вероятности события. Во-вторых, при наличии надёжных данных о частоте события эту степень доверия необходимо приравнять к объективно рассчитанной вероятности. В-третьих, все имеющиеся у вас объективные знания, связанные с этой темой, необходимо учесть при подсчёте начальной оценки. Наконец, необходимо обновлять вероятности при поступлении новой информации. Если вы всегда будете полагаться на наиболее надёжные и объективные оценки вероятности, сделанные на основе данных, и отслеживать возможные неточности, то итоговая вероятность окажется наилучшей из всех возможных.

Когда знаменитый математик Тимоти Гауэрс столкнулся с необходимостью принимать решение о лечении его фибрилляции предсердий при помощи рискованной медицинской операции, не дававшей гарантий успеха, он решил провести детальные подсчёты рисков и преимуществ. К счастью, для Гауэрса, который к тому же является одним из основателей проекта Polymath, всё закончилось успешно. Но большая часть рисков, с которыми мы сталкиваемся, оказываются не такими серьёзными, и величина риска бывает не такой большой. Однако следующая задача иллюстрирует долгосрочные преимущества использования байесового подхода.

Задача 2


Количество смертей на коммерческих авиарейсах составляет порядка 0,2 на 10 млрд полётных миль. Для автомобилей это число равно 150 смертей на 10 млрд миль. И хотя это число в 750 раз больше, чем для самолётов, мы [американцы / прим. перев.] всё же предпочитаем ездить за рулём на длинные дистанции, поскольку в абсолютном выражении риски малы. Но проведём мысленный эксперимент с двумя гипотетическими и, конечно, нереалистичными предположениями: во-первых, ваше ожидаемое время жизни равно миллиону лет (и вы с удовольствием проживаете каждый год), во-вторых, указанные выше риски остаются неизменными всё это время. Теперь представим, что каждый год вы можете либо пролететь 10 000 миль, либо покрыть это же расстояние на машине путём долгих переездов. Время на поездки вас не волнует – ведь вам же ещё жить миллион лет! При этих условиях, насколько и в какой пропорции укоротится ваша жизнь, если бы вы вместо полётов всё время вели машину? Как будет отличаться ответ для продолжительности жизни в 100 лет?

Из этого видно, что даже если подсчёты вероятности теряют своё значение после того, как событие произошло, на будущее они увеличивают ваши шансы в долгосрочной перспективе. Мы не живём по миллиону лет, но в течение жизни мы принимаем десятки тысяч решений по поводу того, куда и как путешествовать, что есть, заниматься ли в спортзале, и т.д. И хотя вероятное влияние каждого из этих решений на нашу продолжительность жизни будет мало, их совместный эффект может оказаться большим. По меньшей мере, для больших решений – таких, как выбор операции для борьбы с серьёзным заболеванием, будет оправданным рассмотрение деталей, выходящее за рамки интуиции.

И, конечно, есть хорошо описанные ситуации, в которых наша интуиция оказывается ошибочной. Это скелет стандартных учебников по байесовым методам. Один из примеров – тест на «достаточно хороший, но не идеальный», который и приводит к третьей задаче.

Задача 3


Рассмотрим два похожих сценария, в которых необходимо дать вероятностную оценку ситуации. Перед тем, как провести расчёты, послушайте свою интуицию и запишите ответ.

Вариант А: в одном городе есть две этнических группы, Первые и Вторые. Первые составляют 80% населения. Местный госпиталь проводит стандартное обследование на наличие редкого заболевания, одинаково часто встречающегося в обеих группах. В результате она собирает 100 образцов крови, и, естественно, 80% этих образцов собраны у Первых. При тщательной проверке на заболевание положительной оказывается всего 1 проба из 100. Исследователь, незнакомый с данными по этническому соотношению, проводит некий тест этого образца и определяет, что он взят у представителей Второй группы. Однако точность этого теста на принадлежность к этническим группам составляет лишь 75%. Какова вероятность того, что проба действительно была взята у Второго?

Вариант Б: В этом варианте Первые и Вторые составляют по 50% от населения, но вероятность заболеть у Первых выше. Снова собираются 100 проб крови, причём 80% взяты у Первых, а 20% — у Вторых. Остальные условия идентичны. Какова теперь вероятность того, что положительная проба была взята у Второго?

В каком из этих случаях ваша интуиция оказалась точнее?

Мы знаем, что наша интуиция часто подводит нас при оценке вероятностей, хотя во время принятия решения оно может казаться правильным. Она может даже подводить экспертов – достаточно вспомнить шумиху по поводу "парадокса Монти Холла". Мэтр статей с загадками и задачами, Мартин Гарднер, однажды сказал: «Ни в какой другой области математики экспертам не бывает так легко ошибиться, как в теории вероятностей». Наша третья задача – пример задач, позволяющих психологам определять, какие рассуждения человек использует для принятия интуитивных решений, и что заставляет его судить точно или ошибаться.

Ответами на задачи делимся в комментариях; также читателям предлагается рассказать о том, как они использовали подсчёт вероятности для принятия решений в их реальной жизни, и какой подход к таким расчётам им кажется наилучшим.
Поделиться публикацией
Комментарии 64
    0
    Моё ожидаемое время жизни равно миллиону лет и я одеваю каску, когда выхожу купить хлеб или вынести мусор.
      +13
      Во что?
        +1

        Я собираюсь жить вечно… Пока всё идёт по плану!

        –2
        Тервер — забавная штука.
        Пример №1. Экзамен по теории вероятности. Тяну билет (один из, кажется 28). Заваливаю. Прихожу на пересдачу. Вытягиваю тот же билет. Снова заваливаю. Изучаю материал еще чуть тщательнее. На пересдаче опять вытягиваю тот же билет. На этот раз уже меня заваливают, т.к. считают, что я как-то пометил этот билет… В общем, когда я на восьмой попытке сдать экзамен снова вытянул тот же билет (а где-то в середине процесса билеты распечатали по-новой)… Вера преподавателей в тервер пошатнулась и мне поставили заветный трояк.
        Пример №2. Недавно в нашей офисной столовой мне попалась вилка с характерно загнутым зубом. Вилки вытягиваются из емкости с вилками, их снаружи не видно, если сильно не наклоняться, специально выбрать — сложно. В общем, из четырех визитов в столовую мне эта вилка попалась уже три раза… Вилок всего — сильно больше сотни. В емкости одновременно — больше 50.
        Такая вот теория вероятности.
        Вообще, из наблюдений за окружающим миром, работает тервер блондинки из анекдота про вероятность встретить динозавра на улице.
        Пока мы говорим о каком-то одиночном событии — вероятность 1/2. Или случится, или не случится. Когда начинаем подходить к сотням, а лучше к десяткам тысяч, там уже начинает проявляться влияние вероятностей.
        Еще вспоминается байка про то, почему, якобы, в системах шифрования не применяются честные генераторы случайных чисел — слишком часто чисто случайно генерят ключи из, например, 256 нулей.
          +2
          Нда…
          Вспоминается древнее «теоретически теория и практика — одно и тоже. На практике — есть некоторые отличия...»
          Молча накидали минусов… Вы против того, что я восемь раз на экзамене вытянул один и тот же билет? Или вы против того, что три из четырех раз мне попалась одна и та же из 100+ вилок?
          Или все же настолько переживаете за блондинку? Вы уж скажите что-нибудь!
            +9
            Не минусовал, у меня кажется даже минусовалка не отросла, думаю, люди просто приходят к выводу, что вероятность того, что вы лукавите сильно выше вероятности возникновения оных событий. Особенно если учесть, что в случае с экзаменационными билетами, каждая следующая неудачная пересдача повышает риск отчисления многократно. Ну или что-то изменилось в обучении в ВУЗах в сильно худшую сторону с тех времен, когда я учился.
            Кроме того, ресурс технический, врядли кто-то будет жаловать человека настолько слабого в математике, что потребовалось аж 8 пересдач.

            А про поведение честных генераторов случайных цифр и их применение в шифровании просто глупость, которую народу даже лень комментировать.
              +2
              Изменилось — 8 раз пересдавать теорвер и не быть отчисленным вполне реально. И, учитывая, что финансирование института зависит от числа студентов, вероятность сдать теорвер с каждой пересдачей как правило увеличивается.
              Но на сказочность комментария выше это никак не влияет.
              +1
              Вы против того, что я восемь раз на экзамене вытянул один и тот же билет?

              Ой, сразу не заметил, я думал у вас было 4 одинаковых билета из 8 поптыток.
              Вы знаете, вероятность вытянуть один и тот-же билет 8 раз подряд из 28 билетов — 1 на 377,801,998,336, что более в чем в тысячу раз меньше вероятности выиграть джек-пот в лотерее Powerball, у которой джек-под доходил до полутора миллиардов долларов: en.wikipedia.org/wiki/Lottery_jackpot_records
              Вы думаете в это кто-то всерьез поверит?
                0

                В 8 — нет, в 4 из 8-ми — да. Есть люди, у которых такое в жизни происходит довольно часто.

                  +3
                  Всё равно подсчёт неверный, т.к. мы должны считать не вероятность 8 раз именно этого билета (все билеты изначально одинаковы для нас), а серии из 8 одинаковых. Ну или, другими словами, начинаем удивляться после первого совпадения. Это даёт результат в 28 раз выше. Хотя это принципиально не меняет ситуацию.
                    –1
                    Ага. Именно 8 раз из 28 билетов (хотя, билетов могло быть и 26. Не помню уже). Я везуч там, где не надо…
                    Как-то раз в «мгновенной» лотерее советской (Спринт, кажется, где бумажку отрываешь и смотришь, что внутри написано) за рубль раз шесть подряд вытянул «1 рубль». Плюнул, рубль забрал. Больше в лотереи не играю.
                      0
                      Даже если билетов было 26 и если учесть то, что надо считать серии из 8 одинаковых, вероятность такого события 1 к 8 миллиардам.
                      Если-бы вы написали, что вы долларовый мультимиллионер и выиграли свои миллионы в лотерею, это бы выглядело примерно в 27 раз правдивее того, что вы вытянули 8 раз подряд один и тот-же билет.
                  +7
                  Тут еще срабатывает эффект избирательного запоминания. Есть очень много ситуаций, в которых может произойти очень маловероятное событие. И именно это событие запомнится.
                    +7
                    Тут еще может другое когнитивное искажение, не помню, как оно называется.

                    В первый раз ты всего два-три раза вытянул билет. Потом, когда рассказываешь — приукрашиваешь и говоришь, что 4 раза, но уже столько раз рассказывал про 4, что сам начинаешь верить в 4 раза и начинаешь приукрашивать и рассказывать про 5 раз. За лет 10 так можно дойти до 8 раз, а в старости будешь рассказывать внукам о 20-ти раз подряд один и тот же билет.
                    И, главное, верить себе
                      +1
                      Так шанс 4 одинаковых аж целых 1/21952. То есть, с учетом числа студентов и экзаменов, таких людей вагон можно найти. Допустим, 100+ человек на потоке по 5 экзаменов каждую сессию (дважды в год), 5 лет обучения — если в городе 5 таких вузов, то, в среднем, на каждом потоке будет такой человек. Удивление критикующих совершенно не понятно.
                        0
                        Так человек говорил про восемь раз подряд

                        В общем, когда я на восьмой попытке сдать экзамен снова вытянул тот же билет (а где-то в середине процесса билеты распечатали по-новой)… Вера преподавателей в тервер пошатнулась и мне поставили заветный трояк
                          0
                          А, ну да. Сути это, в целом, не меняет — есть огромное число вещей, вероятность которых мала, но они есть. Шанс существования хотя бы одного такого человека на земле не так уж мал — нам нужно всего-то ~300 миллионов выпускников за неограниченный период.
                            0
                            Но шанс того, что он есть именно на Хабре — значительно меньше. Мы берем всех выпускников, которые пишут на Хабре и считаем именно их. Значительно более вероятно, что человек преувеличивает. Ведь если бы он сказал 3-4 раза подряд — это было бы вполне допустимо, но тогда не было бы странного заключения «Вера преподавателей в тервер пошатнулась и мне поставили заветный трояк.»

                            нам нужно всего-то ~300 миллионов выпускников за неограниченный период

                            И выше пишут о необходимости 300 миллиардов выпускников, не миллионов. Сам я не считал.
                              0
                              И выше пишут о необходимости 300 миллиардов выпускников, не миллионов.
                              Они не правы. Давайте еще раз. Первое вытаскиваие имеет вероятность 1, верно? Остается еще 7 раз. получаем 28^7 = 13492928512 но это не выпускников, а экзаменов. каждый выпускник сдает их по несколько штук 2 раза в год в течение N лет. Если принять число экзаменов в сессию за 5, а время обучения в 5 лет, то мы получим 28^7 / 5 / 5 / 2 = 269 858 570.24. То есть даже меньше.

                              Шанс того, что он попадет на хабр действительно ухудшает дело, но ведь нет такого требования (это мы постфактум его имеем), а шанс того, что такой человек за время эры интернета напишет хотя бы в какую-нибудь соцсеть (включая хабр) крайне велика.

                              Таким образом вероятность того, что такой человек существует и напишет об этом в интернете, близка к единице. Сужение же до хабра эквивалентно антропному принципу.
                                0
                                Если принять число экзаменов в сессию за 5, а время обучения в 5 лет, то мы получим 28^7 / 5 / 5 / 2 = 269 858 570.24. То есть даже меньше.

                                А разве так можно делить? По-моему это неправильно, хотя я понял ваше направление мысли.

                                Тем не менее эта формула работает только если все люди все экзамены сдают восемь раз. А какова вероятность, что небольшое количество человек, которые сдают экзамен более хотябы четырех раз вытянут все разы один и тот же билет?

                                Видите ли, тут именно довольно редкая ситуация — человек много раз пересдавал один и тот же экзамен и всегда вытягивал один и тот же билет. Вытянуть на нескольких разных экзаменах билет под одним номером — значительно более вероятно.
                                  0
                                  А разве так можно делить?
                                  Конечно. Это преобразование числа испытаний в необходимое число людей.
                                  Тем не менее эта формула работает только если все люди все экзамены сдают восемь раз.
                                  Это, как минимум, не очевидно и, если честно, мне лень проверять.
                                  Видите ли, тут именно довольно редкая ситуация — человек много раз пересдавал один и тот же экзамен и всегда вытягивал один и тот же билет.
                                  Так мы это и считаем.
                                  А какова вероятность, что небольшое количество человек, которые сдают экзамен более хотябы четырех раз вытянут все разы один и тот же билет?
                                  Шанс вытянуть одинаковый билет M раз подряд равен 1/N^(M-1), где N — число билетов. 30^3=27000.
                                    0
                                    Так мы это и считаем.

                                    В ваших формулах подразумевается, что все студенты пересдают все экзамены восемь раз. Но таких случаев крайне мало.
                                    Сомнительно именно что пересдавая один и тот же экзамен будешь вытягивать один и тот же билет несколько раз подряд.
                                      0
                                      Так мы и считаем один и тот же экзамен, иначе была бы другая формула с суммой вероятностей по всем экзаменам. Если не туплю, то было бы (1 / 28 * 5 )^7. То есть 1 к 172709. Это прямо очень-очень большой шанс — 5 порядков разницы.

                                      То, что большинство студентов не доходит до 8 попытки, действительно может вносить искажения, но я не считаю, что они будут больше 1-2 порядков. То есть все еще более/менее реалистично.

                                      Давайте посмотрим на это с другой стороны. Существует бесконечное множество историй. Вероятность того, что произойдет конкретная наперед заданная стремится к нулю. Но шанс того, что хотя бы одна любая из них, близок к единице. Таким образом, преподы, усомнившиеся в теорвере сами не очень-то им владеют на практике.

                                      Другой пример. Вероятность того, что получится вот конкретно ваше ДНК близка к нулю, но вы существуете. И это справедливо для каждого человека. В этом нет ничего удивительного, если вы правда понимаете теорвер=)
                                        0
                                        Так мы и считаем один и тот же экзамен, иначе была бы другая формула с суммой вероятностей по всем экзаменам

                                        Да, посчитали вероятность вы, допустим, правильно (я все еще уверен, что так делить нельзя, но разница будет небольшая). Но вот количество студентов в мире, которые подходят под эти условия — слишком мало. Это все-равно, что считать вероятность того, что кто-то дома на компьютере сможет сделат какое-то открытие, подразумевая, что у всех дома стоят мощнейшие суперкомпьютеры, понимаете?

                                        То, что большинство студентов не доходит до 8 попытки, действительно может вносить искажения, но я не считаю, что они будут больше 1-2 порядков. То есть все еще более/менее реалистично

                                        Проблема в том, что студентов, которые доходять до шестой пересдачи — крайне мало. Если в мире наберется 300 млн студентов всего, то сколько из них хотя бы раз в жизни дойдет до шести пересдач предмета? Шанс того, что пересдавая предмет 8 раз лично вы получите один и тот же билет — 28^7, с этим вы согласны? Теперь, чтобы делить на (5 * 5 * 2) = 50 — необходимо все 50 экзаменов заваливать восемь раз. И вот допустим, что гипотетический человек заваливает все эти экзамены 50 раз и вероятность получить хоть на одном из них 8 однаковых билетов подряд — 1/300млн. Но разве в мире есть 300 млн студентов, которые заваливают 50 экзаменов 8 раз подряд? Уверен, что большинство студентов не заваливали экзамен даже больше 5 раз подряд. Ваша оценка на порядки оптимистичная.

                                        Вероятность того, что произойдет конкретная наперед заданная стремится к нулю

                                        Естественно, возможных развитий событий — бесконечное множество, а следовательно шанс развития каждого из них — бесконечно мал. Но кроме теории вероятностей есть еще и элементарный здравый смысл. Шанс того, что на Хабре напишет человек, который и правда вытянул билет 8 раз подряд на пересдаче настолько мал (да и вообще шанс, что такой человек существует, учитывая очень малое количество людей, которые когда-то доходили до 8 пересдачи) значительно меньше, чем шанс того, что этот человек — обманывает, специально или из-за игр разума.
                                          0
                                          я все еще уверен, что так делить нельзя, но разница будет небольшая
                                          Ну так обоснуйте свои сомнения)) Я допускаю, что могу ошибаться (все могут), но просто сомнений не достаточно.
                                          Если в мире наберется 300 млн студентов всего, то сколько из них хотя бы раз в жизни дойдет до шести пересдач предмета?
                                          Я не вижу такой необходимости.

                                          Давайте упростим задачу (с точки зрения формализации). Заменим студентов на «кубик» с нужным числом граней. Первый бросок дает нам референсное число. Начиная со второго мы сравниваем с ним и, если не совпадает, то вычеркиваем попытку (попытку получить 8 подряд, а не конкретный бросок). Теперь очевидно, что число бросков будет меньше, чем произведение числа попыток на 8. Верно? Если нет, то обоснуйте (математически), почему результат при таком подсчете на вылет будет отличаться от полного числа босков, и на сколько.

                                          Вернемся к студентам. Они отличаются от кубиков тем, что могут «выбыть» раньше, чем совершат следующий бросок, если сдадут. Тут все становится сложно, тк мы не знам вероятность сдачи. Пусть она будет для простоты 50%. Тогда на каждом этапе мы отсеиваем половину попыток и получаем погрешность 2^7. То есть как раз в пределах 2 порядков, как я и предсказывал. Разумеется, это будет не так, если мы предположим, что 99% ставят автоматом и тд. Если вероятность сдачи 75%, то погрешность будет уже 4 порядка — это уже много.
                                          значительно меньше, чем шанс того, что этот человек — обманывает, специально или из-за игр разума.
                                          Мой посыл лишь в том, что маловероятность не означает невозможность. Я специально привел вам пару очевидных примеров в комментарии выше. И малая вероятность уж точно не повод обвинять людей во вранье, хоть я и не отрицаю существования ложной памяти, просто ошибок и «плохих» людей.
                                            0
                                            Ну так обоснуйте свои сомнения)) Я допускаю, что могу ошибаться (все могут), но просто сомнений не достаточно.

                                            Я смутно помню формулы, потому давайте представим, что я ошибся и согласен с вашим числом в 300 млн, окей?

                                            Но, если вы не против, я пока уберу из формулы предметы. Вероятность того, что человек сдавая экзамен 8 раз получит один и тот же билет — 28^7 — 1 к 13.5 млрд, правильно? Теперь давайте посчитаем, сколько в мире человек с высшим образованием? Я не нашел хорошей статистики по миру, но, допустим, в мире есть 2 млрд людей с высшим образованием. Более двух хвостов, обычно, означает вылет без права на пересдачу. Скажем, треть людей сдает без двоек, треть с одной двой, треть — с двумя. Значит в среднем у нас 80% успешных сдач. Вероятность дойди до восьмой пересдачи на каждом предмете — 20%7 = 0.00128%. Значит смотрим, у нас 2 млрд студентов, каждый из которых сдавал 50 экзаменов — 100 млрд экзаменов. Умножаем на 0.00128% — получаем, что в мире было всего 1.3 млн случаев, когда кто-то доходил до 8-й пересдачи. Следовательно, вероятность, что когда-то такое никогда не случалось — (1 — (1 / 13.5 млрд))1.3 млн=(0.9999999999261.3 млн) = 99.99%. Следовательно, вероятность, что в мире есть хотя-бы один такой человек — 0.01%. И не факт, что он есть на хабре.

                                            Мой посыл лишь в том, что маловероятность не означает невозможность

                                            Да, вы правы. Но вероятность того, что человек лжет — значительно выше.

                                            Если я вам скажу, что я сейчас взял кубик и 100 раз подряд выкинул на нем шестерку — вы скорее поверите в то, что я говорю правду, или подумаете, что это или бракованый кубик или я лгу?
                                              0
                                              Нужно обосновать необходимость восьмой пересдачи для каждого. Это эквивалентно обоснованию необходимости продолжать бросать кубик после несовпадения. Таким образом я постулирую, что продолжать пересдавать должны только те, кто вытягивает совпадающий билет. В реальности этого не происходит, и если взять ваш шанс в 80%, это дает погрешность на 5 порядков от моего результата. То есть итог будет примерно 1 к 100 000 по отношению к моей первичной оценке.

                                              Хаброцентризм неуместен и неконструктивен. Вероятность зарождения жизни на наперед заданной планете все еще ниже вероятности найти такого студента даже если считать по вашим формулам. Но вас же это не смущает?
                                                +1
                                                Если не ошибаюсь, у того же Млодинова был описан интересный случай, когда один брокер при торговле на бирже делал ставки, основываясь на победе\проигреше своей любимо команды. На протяжении многих лет. И выигрывал. Учитывая, что по сути, от ставил рандомно — это кажется нереальным, но учитывая огромное количество биржевых брокеров, которые делали ставки на рост акций в течении длительного периода времени — тот факт, что одному из них в результате дико везло, уже вполне реален) А теперь, добавим ещё один момент — в жизни каждого человека могут случаться какие-либо события, несовпадающие с нормальным распределением вероятностей. Конкретно в нашем случае, человек рассказывает о билетах и вилках, и вы спорите о конкретной вероятности этих событий. Но, по тому же баесовскому распределению — он мог рассказать о других событиях, если бы они случились. И то, что в данном случае это были билеты — тот же антропный принцип. А какова вероятность что у одного конкретного человека, читающего хабр, на протяжении всей его жизни случались повторяющиеся события, нарушающие нормальное распределение?)
                                                  0
                                                  Еще раз. Я не утверждаю, что это невозможно. Я утверждаю, что вероятность того, что человек просто лукавит — значительно (на порядки) выше.
                                                    0
                                                    Но, по тому же баесовскому распределению — он мог рассказать о других событиях, если бы они случились.

                                                    Мог бы, кстати, т.к. они случились. Просто таких историй за мою жизнь набралось на не очень тонкую книгу. Может быть напишу ее когда-нибудь. Всякого невероятного в жизни случалось.
                                                    И, в купе с вашими замечаниями, становится видна разница между теорией вероятностей, вероятностью и реальностью.
                                                    Предположим что у нас есть, например радиоизотопный, «идеальный» аппаратный генератор случайных чисел. Для него существует не нулевая вероятность (хоть и очень низкая, конечно), что этот генератор когда-нибудь выдаст ну, пусть, триллион нулей или триллион единиц подряд. Причем, то, что вероятность такой последовательности за время жизни вселенной стремительно стремится к нулю, совсем не значит, что это не будет первая последовательность случайных чисел, которая будет сгенерирована нашим «идеальным» генератором.
                                                    Или внеочередной пример из жизни: в конце февраля этого года мужик в Мичигане заехал заправить грузовик работодателя и в ожидании купил билет мгновенной лотереи. Выиграл 10 баксов. Купил билет другой мгновенной лотереи. Выиграл 15 баксов. На этот выигрыш купил еще два лотерейных билета еще двух разных лотерей. И по одному из них выиграл джекпот в 325 килобаксов с мелочью. Итого — три выигрыша в лотерею за примерно 5 минут.
                                                    Ну или легендарная девушка, которая работала на Титанике, на Олимпике и на Британике. На всех трех была в кораблекрушениях, в которых те затонули. Во всех трех случаях спаслась.
                                                    И если посмотреть вокруг, то действительно, таких «совершенно невероятных» случаев — огромное количество. Просто друг с другом они никак не связаны. Но, благодаря склонности человеческого мозга к поиску закономерностей во всем, даже родилась «теория», что маловероятные события — группируются.
                                        0
                                        Вытянуть на нескольких разных экзаменах билет под одним номером — значительно более вероятно.

                                        Как вы делаете такой вывод?

                                          0
                                          Выразился неправильно. Значительно больше вероятно встретить такого человека, потому что все люди сдают несколько разных экзаменов подряд, но далеко не все сдают один и тот же экзамен несколько раз подряд
                              +4
                              Подозреваю, что после того как товарищ не смог повторно ответить на один и тот же 28 билет, преподаватель теорвера решил потроллить эту бестолочь на тему вероятности. На третий и последующий разы сделал все билеты одинаковыми — номер 28?!
                                0
                                Я после третьего раза иногда перепроверял, что билеты разные.
                                (теперь сижу и думаю, потратил свой великий шанс на какую-то фигню...)
                            +6
                            Пока мы говорим о каком-то одиночном событии — вероятность 1/2.

                            Не хотите ли поиграть со мной в кости на деньги? Ставим на кон одинакувую сумму. Три игровых кубика, вы ставите сразу аж на две комбинации. Если выпадает хоть одна из ваших комбинаций — вы получаете деньги, если ни одна не выпадает — деньги получаю я. Так как каждая ваша ставка имеет вероятность 1/2, в сумме получите вероятность 1. По всем расчётам дело верняк, соглашайтесь!
                              0
                              Надо как-нибудь попробовать. Но бросок — ровно один. Но надо уточнять правила. Порядок важен или нет? Бросаются три кости одновременно или по очереди? Рукой или с использованием стакана? (это уже к технике броска. Есть механические способы сильно повысить вероятность нужных цифр и комбинаций).
                              Кстати, забавная математика выбора комбинаций для максимизации вероятности выигрыша…
                              Правда, гораздо интереснее будет, если ваша ставка будет 36 к 1… Но бросок — ровно один!
                              (И да, серии из примерно двадцати подряд угадываний орел/решка — я видел своими глазами. Но это другая история.)
                                +1
                                Есть механические способы сильно повысить вероятность нужных цифр

                                Мы же собираемся играть один раз, так что неважно, какие кубики — вероятность одиночного события будет 1/2, по вашим же расчётам. Главное, чтобы была принципиальная возможность выпасть любой цифре.

                                гораздо интереснее будет, если ваша ставка будет 36 к 1…

                                Если вероятность вашего выигрыша — 2*1/2 = 1, то вероятность моего выигрыша — 0. Это я должен просить вас поднять ставку, чтобы хоть как-то меня мотивировать.
                                  –1
                                  Вы как-то странно считаете события. Событий — два: 1-е событие — выигрываете вы; 2-е событие — выигрываю я.
                                    0
                                    Событие — «выпадает комбинация номеров на кубиках». Так как бросаем всего один раз, то вероятность любой комбинации 1/2, согласно вашим расчётам. Либо выпала, либо не выпала. Вы ставите на две комбинации, получая вероятность выигрыша 1. Ну а я, соответственно, получаю 0.
                                      0
                                      Вас чему в школе учили? Чесслово!
                                      Вероятность не комбинации, а события! Большая разница!
                                      Если событие — выпадение конкретной комбиации — то для одиночного броска — вероятность 1/2 что выпадет эта конкретная комбинация. Если событие — выпадение одной из двух комбинаций то именно его вероятность 1/2.
                                        +3
                                        Ну хорошо, пусть будет по-вашему. Тогда вам без разницы, на сколько комбинаций ставить — всё одно вероятность события «выпала загаданная(-ые) вами комбинация(-ии)» будет 1/2. Так что мы можем упростить игру — вы ставите на одну комбинацию, я на остальные, наши шансы равны.
                                          –1
                                          Анекдот есть про это:
                                          Препод по терверу, отчаявшись, задаёт дополнительный вопрос:
                                          — Ну вы подумайте, например, какова вероятность, что вы сейчас выйдете на улицу и встретите живого динозавра?
                                          — 50/50. Или встречу, или не встречу.
                              +1
                              Раньше думал что после третьей пересдачи четвёртая с вероятностью 1 происходит уже в военкомате. Что касается вилки, нет никаких оснований считать, что она такая одна. Я даже могу навскидку придумать пару-тройку относительно правдоподобных причин нескольким вилкам получить одинаковые характерные деформации.
                                0
                                Видел я студента, который на 5м курсе пересдавал матан за 3й семестр… Так что нет, четвертая пересдача вовсе не обязательно происходит в военкомате.
                              0
                              Первая задача.

                              100 проб всего
                              80 — Первых
                              20 — Вторых
                              Изначальный шанс, что какая-либо проба взята у(одинакого имеющих шанс заболеть) Первых = 80% (0.8), у Вторых 20%(0.2)
                              Анализ с 75%(0.75) точностью говорит, что проба от Вторых
                              Т.е. это либо ошибочный результат для Первых(шанс на ошибку = 1-0.75), либо правильный для Вторых (шанс 0.75)

                              Вероятность ошибочно проверенного Первого 0.8*(1-0.75)= 0.2 (0.2 сферических коня в вакууме)
                              Вероятность верно проверенного Второго 0.2*0.75 = 0.15 (0.15 сферических коней в вакууме)

                              Шанс, что это был именно второй = 0.15/(0.15+0.2) = 0.4285 = ~43%

                              Вторая задача нерешаема так как неизвестно насколько у Первых выше шанс заболеть. Но шанс, что проба взята у второго становится еще меньше.
                                +2
                                Мне кажется, что в первом, что во втором случае ответ 75%. Так как количество взятых проб одинаковое, доли первых-вторых тоже. А сколько там кто составляет населения и какие у них шансы дело десятое. Мы же изучаем пробы, а не все население.
                                  +3
                                  Всё ещё веселее. Мы же изучаем всего одну положительную пробу. И заранее знаем вероятность ошибки. Как она к нам попала, сколько у кого брали и как часто кто болеет — антураж. А какой шанс, что положительной будет проба Второго — это просто другая задача, отдельная.
                                    0
                                    Позвольте с Вами не согласиться. Соотношение в изначальной выборки — это все таки дополнительная информация, и в задаче четко указано, что мы исследуем пробу, взятую из конкретной выборки, а не просто случайную пробу.
                                    А если бы все 100 проб взяли только у первой группы? Все равно шансы реальной принадлежности второй группе зависели бы только от вероятности ошибки?
                                    А логику Frenology считаю правильной, я так же решил. Только нужно добавить еще, что проба положительная, хотя в первой задаче это на ответ не влияет, т.к. вероятность заболеть у обоих групп одинаковая.
                                      +1
                                      Вы знаете, после логического, а не интуитивного анализа я с вами обоими соглашаюсь: в несимметричной выборки процент ошибки теста надо учитывать не прямо, а к каждому варианту отдельно.
                                  0

                                  Из 100 анализов на тип результат Второй появится 80×25%=20 раз ложно и 20×75%=15 раз истинно. То есть вероятность того что человек действительно относится к категории Второй 15/(20+15)=43%. То есть тест на определение Первый/Второй чуть хуже чем бесполезен.

                                  +1
                                  Кстати, насчет самолета/автомобиля.
                                  Человек подсознательно оценивает успешность поездки/перелета в целом, а не в пересчете за километраж.
                                  Мне иногда говорят, что шансов разбиться в такси по дороге в аэропорт больше, чем попасть в авиакатастрофу.
                                  С предоставленными данными получается, что самолет в 750 раз безопаснее автомобиля в пересчете на километраж.
                                  До аэропорта мне ехать 35 км. А до Нью-Йорка лететь 7500 км ( в 214 раз больше)
                                  Т.е. умереть в такси в аэропорт шанс в 3.5 раза выше чем в самом самолете.
                                  Вспоминайте это когда садитесь в такси и пристегивайте ремни :)
                                    0
                                    Это всего лишь статистика. Водители авто — в большинстве не профи и не ведают, что творят
                                    1 оценивать следует с учетом времени перевозки, тогда разница не 750, а 50
                                    2 1 не учитывает, что большинство аварий самолётов происходит при взлете/посадке
                                    3 корректное сравнение всё таки не с авто, а междугородним автобусом. :)
                                      0
                                      Время перевозки не при чём — люди используют транспорт не для того, чтобы убить в нём какое-то количество своего времени, а для того, чтобы покрыть какую-то дистанцию. Если человеку нужно преодолеть 1000 км, и его интересует безопасность, то он будет оценивать её как «вероятность погибнуть в пути от точки А до точки Б, сколько бы времени этот путь ни занял».

                                      Время перевозки влияет лишь на то, сколько путешествий человек решится сделать за свою жизнь и какую суммарную дистанцию он покроет, с учётом того, что он согласен потратить, скажем, не более 1% своей жизни на дорогу.
                                    0
                                    35%
                                      0
                                      35%

                                      I группа — 80%.
                                      II группа — 20%.
                                      Вероятность определения группы — 75%.

                                      Вероятность, что проба взята у II группы 20%*75%+80%*(100%-75%)=35%.
                                      Вероятность, что проба взята у I группы 80%*75%+20%*(100%-75%)=65%.
                                      0
                                      2-я задача с продолжительностью жизни в таком виде не решаема, мы знаем только статистику событий, но не знаем распределение СВ, особенно если считать по километражу. Если перевести статистику на поездки и предположить средний полет 1000 миль, и среднюю поездку 30 миль, получается самолет 1 смерти на 50 млн поездок, автомобиль 1 смерть на 330/150=2.2 млн поездок.
                                      За год предположим, мы совершаем 10=X авиапоездок и 500=Y автомобилепоездок.
                                      Если предполагаем, что каждая поездка независима друг от друга, то за год вероятность умереть в авиапоездке = 1 — (1 — 1/50млн)^X=0.000019%, 1 — (1 — 1/2.2млн)^Y = 0.0227%.
                                      Числа настолько малы, хотя первое в 1000 раз меньше второго.

                                      За 100 лет, надо умножить X, Y на 100: 0.0019% — авиа, 2.2% — авто.
                                      За 1000 лет: 0.019% — авиа, 20.3% — авто.
                                      За 10000 лет: 0.2% — авиа, 89% — авто.
                                      За 1000000 лет: 18% — авиа, (почти) 100% — авто.

                                        0

                                        У меня почти идеальное совпадение в обоих случаях. В первом я оценил как 50%, расчёт даёт 43%. Во втором оценил как 25%, расчёт даёт 30 — 50% при условии, что отношение вероятностей заболеть не превышает 2 (при разнице в два раза как раз и получается 30%).
                                        (Правда я не совсем уверен, что правильно интерпретировал понятие точности теста, но вроде правильно.)


                                        В жизни проводить такие расчёты крайне затруднительно, потому что отбросить эмоции нереально. В связи с этим, очень жалею, что не вулканец.

                                          0
                                          Все забыли про закон подлости, а он есть.
                                            0
                                            Задача 3.
                                            По моему скромному мнению, и там и там 75%. Так как вероятность заболеть и вероятность теста никак не связаны. А значит и расчет этих двух вероятностей должен быть в разных уравнениях. В нашей вселенной итак слишком большой клубок переменных, чтобы усложнять его еще больше, сирич результат станет еще более непредсказуем.
                                            0
                                            Во таких задачах должны быть оценки регрессии к среднему, а не оценка интуитивных предсказаний (там слишком много деталей, которые отвлекают), поэтому лучше начать с фразы «предоставьте статистику, пожалуйста».
                                              +1
                                              К счастью, он выжил.
                                              К несчастью, это очень ненадолго.
                                                0
                                                Если убрать все ненужное то от задачи останется:

                                                Исследователь проводит некий тест образца и определяет, что он взят у представителей Второй группы. Однако точность этого теста на принадлежность к этническим группам составляет лишь 75%. Какова вероятность того, что проба действительно была взята у Второго?

                                                Как мне кажется для ответа на этот сложный вопрос надо решить десятка три уравнений и ответ будет примерно между 0.38 — 0.42 :)))))))))))))

                                                Многие знания — многие печали.
                                                  –1
                                                  Я в восьмом классе. Скоро выпускные экзамены. В классе есть один сильно отстающий в развитии товарищ Щ. Вот тот самый случай, когда слово отстающий не только очень правильное, и даже верное определение. Отставал по умственному развитию от нас года на три-четыре. Да и внешне выглядел мелкотой рядом с нами. При том, что какой-то класс он уже отвторогодил. Потом, с годами, всё у него выровнялось. Всё стало хорошо. И внешне, и по мозгам. Сущий щенок среди подпёсков. Но тогда, для 8 класса советской школы, он был прежде всего безнадёжным двоечником. По всем без исключения предметам. Живое воплощение анекдота. Единственная пятёрка с 7 класса по пению. Те тройки, что были, учителя рисовали из жалости.

                                                  Выпускных экзаменов было два – русский и алгебра. Или геометрия? Вот блин, уже и не помню. Всего два письменных и два экзамена. По одной математике была письменная работа, по другой надо было устно отвечать. Билетов по каждому устному больше 50-ти. И по каждому предмету этот наглый Щ учил только один-единственный билет, первый! Учил, учил, учил. На замечания не реагировал. Рассказы о вероятности не воспринимал. Я же говорю – дебил.

                                                  Экзамен по русскому. Я зашёл, выбрал, сел. Жду. Является этот кадр. И… вытягивает первый билет! Понятное дело, после такой везухи сумел честно получить свой законный трояк.

                                                  Эх… воспоминания отклоняют мысль от темы «невероятная вероятность и жизнь», но раз уж понаписал, сокращать не буду.

                                                  На литературе ему одному-единственному из всей школы разрешили положить готовый текст сочинения перед собой и в наглую перекатать его. Я даже не уверен, что разрешили. Может сами учителя принесли и приказали переписать. Временами какая-нибудь учительница стояла рядом с Щ, указывала на ошибки при переписывании. А в это самое время… понаехавшие проверяющие с десяток человек выгнали с экзамена за шпаргалки и попытки переговариваться. В том числе и меня. Но не подумайте ничего плохого – меня не за мелкое жульничество. За драку.

                                                  Письменная математика – вот там Щ засудили. Какое-то задание я сам для него прорешал. Кто-то ещё остальные. Чистовик лично проверял. Там всё на 5 баллов было. Ручаюсь.

                                                  Экзамен по математике. Я зашёл, взял свой билет. Кучу оставшихся билетов тут же грубо перемешал. Не то, чтобы хотел подгадить, как видно из абзаца выше, даже помогал при случае, просто Щ нагло утверждал, что №1 по русскому он случайно вытащил. Учителя на голубом глазу вторили, что ему просто повезло. Но вся, вся только что описанная мой обстановка, каждым своим фактиком просто вопила о том, что они все лгут. Диссонанс бесил. И не только меня. Был уверен, что, если и раскрою мухлёж, Щ это не потопит.
                                                  Итого: Получил я свой билет. Перетасовал оставшиеся. Не отрывая взгляда от колоды сел за первую парту, вплотную к учительскому столу. Куча билетов прямо предо мной – руку протяни. Надо заметить, что я и любил, и умел показывать фокусы. В том числе и с угадыванием карт из колоды. Идеи где «следить за руками», и «откуда кролик родится» – были.

                                                  Следующим заходит Щ. У меня фамилия на Ш, по журналу этот Щ сразу после меня шёл. Вот он заходит, не глядя тащит билет, показывает его учителям… Первый номер! Собирается класть обратно, в общую кучу. Но я-то все варианты уже просчитал.; ) Встрепенулся, хватаю его за руку. Ага! А там… там первый билет!!! Удивился. Придирчиво изучил на предмет крапления. Прошёл по классу, всем показал. Из коридора заинтересованные рожи нарисовались.

                                                  По итогу, моя излишняя любознательность, активность и правдолюбие стоили мне потери репутации. Точнее, потери одной репутации и приобретения другой. Все, и школьники и, и учителя, остались в уверенности, что именно я эту аферу с билетом №1 и провернул. Причём в особо наглой, циничной форме. Так, чтобы всем было понятно что надругался над школой и учителями.

                                                  Мало того, одноклассниками была получена царица доказательств. Более обделённые нежной учительской любовью двоечники крепко отп…ли главного подозреваемого сразу же после экзамена. И в результате этой дружеской беседы Щ подтвердил версию подтасовки билетов, и все стрелки на Ш перевёл.

                                                  Впрочем, Ш в то же самое время тоже прессовали. На чём-то вроде малого педсовета. Просили рассказать, как оно было. Разумеется, с условием, что ничего никому не будет. Ну а если не расскажу, то кому-то не будет 9 класса. Нашим отморозкам снесло крышу, они притащили в учительскую Щ, в крови и соплях. У всех остальных, в том числе и у меня, дружно сдохли кукушки. Восприняли его признание, да и всю ситуацию, как должное. Натиск усилился. Ну а чего мне признаваться, коли не виноват? Переводил стрелки обратно на Щ, долдоня мантру «Дуракам везёт».

                                                  Кстати, мне вообще больше всех свезло. По итогу я этот экзамен так и не отвечал. Меня сначала не спрашивали: «потом», «потом». Типа устроил несанкционированное шоу, отсиди в наказание. По сравнению с современными временами лафа. Полчаса это тебе не двушечка. Но в целом, я тупо купился. Что вот это и будет вся расплата за невольную бузу. Отвечу последним и домой. Но когда всем оценки раздали, меня резко погнали на правёж. Учителей, видно, тоже разрывало от любопытства и выбешивало от негодования. Ну а потом мне уже так оценку поставили, без меня. Да и литературу тоже не переписывал. Оскорбился недоверием, хотел вообще свалить из родной школы. Но потом страсти подутихли.

                                                  Надо заметить, что «мимо 9 класса» учителя не обманули. Тогда как раз с 10 лет обучения на 11 переходили, на наш класс так пришлось, что те, кто в школе остался, из 8 сразу в 10 скакнули. Ещё на разборе по девятый все знали, но звучало, по крайней мере для меня, неопределённо и угрожающе. Тем более уже на предыдущем экзамене уже отличился. Получил последнее предупреждение. И на тебе. Вообще был в шоковом состоянии. Никак не ожидал, что на ровном месте, у всех на глазах, и попаду в такой переплёт.

                                                  Да, было время. Уже и то тысячелетие, в котором произошли эти события, глубоко в истории. И инцидент теперь кажется мелким и вроде должен был забыться. И Щ давно пропал с горизонта. Но и сейчас, бывает, на редких встречах со старыми друзьями всплывает эта чертовщина. Допытываются у меня подноготной. Вся разница, что бывшие школьники верят, что это всё было вместе с учителями устроено, и педсовет был для отмазки. А учителя божатся, что я шоу без них провернул. В лидерах ходит, выдвинутая мной же, с дуру: (, версия: Получая билет, я подсунул в условленное место второй намбе уан. Потом, во время суматохи, его незаметно скинул. Что же касается первого случая, с русским, то тут ещё загадочнее. Хотя все сходятся во мнении, что шансы явно не рука судьбы, а моя тасовала.
                                                  Ну а я… а что я, я уже резко и не возражаю. Ну а что? Умные, солидные, уважаемые, рассудительные люди. Единогласно. И, главное, я сам понимаю, что с вероятностью, как минимум 2500 к 1, они правы.

                                                  Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                  Самое читаемое