Описание, для чего проект schema.org можно найти здесь — https://schema.org. На хабре это редкий гость, для него даже специального хаба не было.
Я знаю, что Яндекс пытался пользоваться schema.org… Они этой частью, видимо, не пользуются.
Отношения
https://schema.org/Library, https://schema.org/ExerciseGym — оба относят себя к https://schema.org/LocalBusiness.
LocalBusiness относит себя сразу к двум объектам (именно здесь и есть особенность schema.org): https://schema.org/Organization и https://schema.org/Place
Словари
https://www.oxfordlearnersdictionaries.com/definition/english/gym?q=Gym (один смысл — место, другой — организация)
https://dictionary.cambridge.org/us/dictionary/english/gym (один смысл использует неоднозначное слово "club", другой про место)
Проверку словарями можно и завалить, но я не вижу оснований для этого...