yurixi Nov 14 2020 at 13:13

Не сломать, не потерять — теория шара

11 min

— Изя, вычисли объём шара
— Шара необъятна

Начальное математическое знакомство с круглым начинается с теоремы Пифагора — что круглое это одинаковое расстояние от центра во всех направлениях, а расстояние раскладывается на отдельные координаты, которые при суммировании своих квадратов дают квадрат расстояния.

Есть ещё одна форма применения теоремы на шаре: если у шара выделить диаметр, тогда точка на поверхности образует с ним прямоугольный треугольник, у которого квадраты катетов в сумме равны квадрату этого диаметра, как гипотенузы.

В этой статье я поставил цель последовательно описать своё понимание такого загадочного феномена как округлость. Что значит шар.

Задачка.

Возьмём квадрат, угловые точки которого двигаются с некоторыми ограничениями:

Площадь четырёхугольника не меняется.
Все стороны четырёхугольника не различаются между собой по длине.
Первый угол не движется.
Второй угол не смещается перпендикулярно направлению к третьему углу. (Как не смещается заднее колесо у велосипеда вбок).

Вопрос: куда движется четвёртый угол, если для второго угла из оставшихся ему движений, от третьего или к третьему, оставить только от третьего.

Это тест на базовый математический интеллект.

Простые ответы «к третьему», «от третьего», «или от третьего или к третьему» — недостаточно точны.

Ответ

Четвёртый угол движется к третьему, но в любой момент, включая начальный, может начать двигаться от третьего, после чего обратное переключение уже не выполнимо. Начальное движение это вращение квадрата по кругу. После переключения это растяжение ромба с сохранением площади, с движением второго и четвёртого угла по соответствующим гиперболам.

Вращение

Производная функции это функция отражающая скорость изменения функции в заданном направлении, вычисляется как предел различия функции с собой при уменьшения сдвига аргумента одной из различаемых функций до нуля, но без перехода в ноль, ведь тогда не будет и различия. Разницу надо поделить на величину сдвига — и получится скорость изменения функции относительно скорости изменения аргумента. Производная суммы нескольких функций и сумма производных от этих функций совпадает, так что, не важно, считать производную до суммирования или после.

Ко́мплексные числа представляет собой такое расширение действительных чисел, в которых может быть сразу два представления: одно — как соединение двух действительных чисел с дополнительными правилами парного умножения. А в другом комплексное число представлено как соединение действительного числа фиксированного знака, как модуля, с расширением понятия знака, аргументом/фазой.

В этой системе расширения вполне естественно, что корень четвёртой степени из единицы даёт четыре различных результата, два из которых в квадрате дают минус один. Одно из них это мнимая единица с обозначением $inline$ . Любое число теперь может рассматриваться как точка на плоскости. При умножении чисел их модули умножаются, а фазы складываются. При умножении на мнимую единицу происходит только изменение фазы. Четыре таких шага и мы снова в единице.

Производная простой функций, $inline$ , может быть рассчитана исходя из определения производной:

$(x^n)'_x=\lim_{d \to 0}((x+d)^n-x^n)/d=\\ =\lim_{d \to 0}((x^n + n d x^{n-1}+_{n \geq 2}d^2(...))-x^n)/d =\\= \lim_{d \to 0} n x^{n-1} + _{n \geq 2}d(...)= nx^{n-1}$

Экспоненту можно определить как функцию, производная по аргументу которой совпадает с самой функцией. Для определённости и нетривиальности функция в точке ноль равна единице. Вывести функцию можно, заметив, что производная от степенной функции понижает степень, последовательно приводя к константе, а затем к нулю. Если мы пойдём обратно, начиная с 1, затем добавляя такие слагаемые, которые в качестве производной дают предыдущее слагаемое, то мы получим функцию, которая равна своей производной. Просто потому, что производная такой суммы приводит к тем же самым членам суммирования.

$\begin{matrix} &&&&&\left(1\right)'_x&=0\\ &&&\left(x\right)'_x&=&1\\ &\left(\frac{x^2}{2}\right)'_x&=&x\\ \left(\frac{x^3}{6}\right)'_x=&\frac{x^2}{2}\\ \end{matrix}$

$e[x]=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+...=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

$e[x]=1+x\left(1+\frac{x}{2}\left(1+\frac{x}{3}\left(1+\frac{x}{4}\left(...\right)\right)\right)\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

Если аргумент экспоненты умножить на независимый от аргумента коэффициент, то при вычислении производной коэффициент останется от предыдущего члена, на одну степень больше. А значит, вычисление производной для этой функции будет умножением на этот коэффициент.

$display$

Упомянуть комплексные числа и экспоненту стоило потому, что понятие вращение зависит от них: вращение это движение, в котором величина скорости как вектор на плоскости перпендикулярен вектору положения относительно центра вращения. Простейшее вращение мы получим, если умножим аргумент экспоненты на мнимую единицу, тогда скорость изменения функции как производная функции в виде вектора на плоскости будет умножена на мнимую единицу, и значит, перпендикулярна значению самой функции. И соответствующая точка на плоскости будет вращаться при увеличении аргумента.

Даже если скорость будет не пропорциональна положению относительно центра, но точно перпендикулярна ему, это будет, возможно, не равномерное, но всё же, вращение, на том же удалении, которое было изначально. Ускорению для этого нужно будет работать на соблюдение перпендикулярности скорости относительно положения.

Но если продолжать говорить о равномерном движении, сумма экспоненты с мнимым коэффициентом перед аргументом может быть разложена на отдельно реальную и отдельно мнимую составляющие.

$e[ix] = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2} + \frac{(ix)^3}{6} + ... =\\= 1 + ix - \frac{x^2}{2} - i\frac{x^3}{6} + ... =\\= 1 - \frac{x^2}{2} + ... + ix - i\frac{x^3}{6} + ... =\\=1+ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} +i \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =\\= \cos(x) + i \sin(x)$

Получились отдельные функции для координат.

Они представляют собой значения координат «вращающейся» функции при равномерном изменении аргумента. А значит, степень перемещения, длина кривой, по которой движется функция, определяется самим аргументом. При этом, так как вращение это ещё и циклический процесс, значения у данных функций повторяются, с некоторым периодом.

Чему равна площадь единичного круга? Думаю, что точно меньше четырёх, потому что круг вписывается в квадрат с площадью 4. Но если представить, что мы поделим круг на доли, то можно примерно посчитать площадь каждой. Долю можно моделировать дельтоидом, четырёхугольником с попарно одинаковыми смежными сторонами, одна диагональ которого, как и длинная сторона, единичная, другая соединяет концы дуги доли. Площадь четырёхугольника при детализации стремится к половине от длины дуги. Получается, площадь круга стремится к половине длины всей окружности.

При достижении восьмой части окружности чётные и нечётные члены разложения экспоненты дают одинаковые суммы.

$\\e\left[\frac{ix}{4}\right]=ie\left[\frac{x}{4i}\right] \qquad\cos\left(\frac{x}{4}\right)=\sin\left(\frac{x}{4}\right)$

После этого равенство сохраняется, только если двигаться в противоположные стороны.

$\\e\left[i\frac{x+y}{4}\right]=ie\left[\frac{x-y^*}{4i}\right] \qquad\cos\left(\frac{x+y}{4}\right)=\sin\left(\frac{x-y^*}{4}\right) \\0 < x < 4$

Корень этого уравнения $inline$ равен площади единичного круга, решается множеством различных способов, обозначается символом $\pi$ .

$\pi = 2 + \frac{1}{3}\left(2 + \frac{2}{5}\left(2 + \frac{3}{7}\left(2 + \frac{4}{9}\left(...\right)\right)\right)\right)=3.14159...$

Более развёрнуто будет

$\pi = 1 + \frac{2}{2}\left(1 + \frac{1}{3}\left(1 + \frac{4}{4}\left(1 + \frac{2}{5}\left(1 + \frac{6}{6}\left(1 + \frac{3}{7}\left(...\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

Видно, что числитель дроби то уменьшается в два раза, то увеличивается в два раза, прибавляя перед этим увеличением единицу. Этим непостоянством и пропуском первого, равного нулю, множителя отличаясь от разложения экспоненты с постоянным коэффициентом.

$e[x]=1+\frac{x}{1}\left(1+\frac{x}{2}\left(1+\frac{x}{3}\left(1+\frac{x}{4}\left(1+\frac{x}{5}\left(1+\frac{x}{6}\left(...\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

Экспонента от мнимого аргумента представляет собой комплексное число, домножение на которое любого другого числа обозначает поворот на величину аргумента. То есть, сложение нескольких поворотов до вычисления экспоненты соответствует перемножению между собой экспонент для отдельных чисел. Это свойство распространяется на произвольный аргумент, поэтому экспонента может быть представлена степенной функцией, некоторым числом, которое вводится в степень аргумента. Произведение нескольких таких множителей-степеней останется одной степенью с суммой их аргументов в показателе.

Основание степени, разумеется, совпадает с экспонентой единицы и равно

$e=1+\frac{1}{1}\left(1+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{4}\left(...\right)\right)\right)\right)=2.71828...$

Если мы разобьём функцию экспоненты реального аргумента на участки, то подобно одинаковому повороту у участков экспоненты мнимого аргумента, каждый участок будет преумножать вдоль аргумента величину функции в одинаковой степени, равной увеличению первого фрагмента, который, из-за равенства единице экспоненты, и значит, производной в нуле, возрастает на участке почти линейно. И в целом, выражение один плюс обратное количеству фрагментов при возведении в степень количества фрагментов приближается к числу e.

$\\\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$

Это второй замечательный предел. А первый замечательный предел показывает, что функция

$\frac{\sin(x)}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$

в области ноля близка к $inline$ , что в пределе равно единице.

Функция $\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}{x}, x\ne 0$ интересна ещё тем, что кроме суммы раскладывается в произведение.

$\frac{\sin(x)}{x}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{\pi^2n^2}\right)$

А подставив $x=\frac{\pi}{2}$ можно выразить

$\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{3}\left(1 + \frac{2}{5}\left(1 + \frac{3}{7}\left(1 + \frac{4}{9}\left(1 + \frac{5}{11}(...)\right)\right)\right)\right)$

как

$\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) = \\ = \prod_{n=1}^\infty \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \ldots$

Для

$\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\left(\frac{2}{4} + \frac{2}{5}\left(\frac{3}{6} + \frac{3}{7}\left(\frac{4}{8} + \frac{4}{9}\left(\frac{5}{10} + \frac{5}{11}(...)\right)\right)\right)\right)$

тоже есть своё выражение:

$\frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg} 1 = \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots$

И сходство между этим вариантом и более бодрым определённо есть:

$\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right)\\\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{11}\right)(...)\right)\right)\right)\right)$

Из-за того что изменение мнимой составляющей аргумента это вращение результата экспоненты по кругу, экспонента повторяет свои значения для различных аргументов.

$e^{z+2ik\pi}=e^z\qquad k\in \mathbb{Z}$

Поэтому функция обратная к экспоненте многозначна, и добавление или вычитание $2\pi$ к мнимой составляющей решения также является решением.

$\ln(e^a\cdot e^{i\varphi})=\ln(e^{a+i\varphi})=a+i\varphi+2ik\pi\qquad k\in \mathbb{Z}$

Поэтому логарифм часто используется как обратная экспоненте функция, область определения которой положительные числа, а область значений только реальные числа. Так как у обратных друг другу функций значения производных по обратным координатам обратны друг другу, то производная от логарифма равна

$(y)'_x=(\ln x)'_x=\frac{1}{(x)'_y}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}$

Подобно тому как производная степенной функции понижая степень сначала приводит к константе, а затем к нулю, интеграл степенной функции отрицательной степени сначала приводит к логарифму, а затем к последовательности, описываемой формулой

$\int x^{n-1} (a \ln(x) - b)\,dx = x^n\left(\frac{a}{n}\left(\ln(x) - \frac{1}{n}\right) - \frac{b}{n}\right)\\x\ne 0\quad n_0 = 1\quad a_0 = 1\quad b_0 = 0$

Для общности формулы, если $inline$ , то тогда $a = 0, \frac{a}{n}=-b$ . После выделения части относящейся к логарифму получим:

$(x^n (\ln(k x) - 1/n))'_x = n x^{n - 1} \ln(k x)$

Для логарифма коэффициент $inline$ действует так, что сужает реальную часть функции, но этим же самым он её поднимает, на величину $\ln(k)$ . На производную функции такое поднятие не влияет. Как не влияет действительный коэффициент аргумента логарифма на мнимую часть его значения.

У действительного числа всего два вида обращения: изменение знака и обращение степени. У комплексного числа добавляется обращение знака только реальной части, обращение знака только у мнимой части и обращение степени только у модуля числа, без изменения фазы. Это всё одно преобразование, различие в комбинации с первыми двумя преобразованиями. Также, добавляется поворот на i, как вид обращения, для возврата из которого нужно выполнить его не два, а четыре раза. Но остальные две степени это комбинации с другими обращениями, так что добавилось только разложение двойного обращения одного вида на одинарное другого. В итоге, четыре вида бинарного обращения, и каждое число входит в группу из 16 отражений. Если число находится на координатной оси, или на диагонали, или модуль числа единица, тогда различающихся отражений будет меньше. В итоге, пять осей симметрии.

У комплексного числа есть реальная и мнимая составляющая, а квадрат модуля числа вычисляется как сумма их квадратов.

Если обозначить

$display$

тогда у $inline$ можно выделить модуль и фазу:

$a=e^{\ln(m)+i\varphi}=e^{\ln(m)}\cdot e^{i\varphi}=e^{\ln(e^{i\theta}\cdot|m|)}\cdot e^{i\varphi}=e^{i\theta}|m| e^{i\varphi}=|a| e^{i\omega}$

Кроме того, что $inline$ может быть отрицательным — при этом фаза $\varphi$ будет сдвинута на $\pi$ — при выполнении этих равенств сами $inline$ и $inline$ могут быть комплексными числами.

И, например, при чисто мнимом $inline$ величина $inline$ может уйти в отрицательные значения, а значит, $inline$ станет мнимым. Логарифм мнимого числа это логарифм соответствующего действительного числа, с добавкой $\frac{\pi}{2}$ к мнимой составляющей. Можно обозначить модулем $inline$ такое число, у которого логарифм не даёт мнимой части, вся фаза $inline$ идёт в $\theta$ .

Как вывод, в этих условия у $inline$ может быть своя собственная фаза $\theta$ . И здесь присутствует cвязь трёх фаз: $\omega=\theta + \varphi$ . А дальше, как ни удивительно, может случиться так, что $|m|\ne |a|$ , тогда фаза $\varphi$ имеет мнимую составляющую, и фазы уже не связаны суммой.

Чуть подробнее о связях. Сложение и вычитание двух чисел дают две характеристики: удвоенную среднюю величину и удвоенную полуразность. По этим характеристикам можно получить обратно числа, путём их сложения или вычитания, с делением на два, либо на первом этапе, либо на втором. Либо делением на корень из двух на обоих этапах.

Операция совмещения, $inline$ , показывает одновременно признаки и сложения и вычитания, так как у одних составляющих вычисляется сумма, а у других разность. Но обращённая операция — с обращением знака у одного из слагаемых, $inline$ , оставляет именно те величины, которые теряются при исходной операции. Где вычислялось среднее, там считается полуразность, а где вычислялась полуразность, там считается среднее. Для получения из результата его составляющих $(a,b)\to(c,s)$ этого достаточно.

Но есть альтернатива. Фиксация суммы квадратов $inline$ даёт достаточно данных о самих величинах, чтобы вместе с данными об их сумме $inline$ можно было получить их значения, с точностью до порядка в паре. Кроме понятий «обратимого среднего» и «обратимой разности» для двух величин можно ввести характеристику их сходства по действительной части, различия по мнимой части, выражается в разнице квадрата суммы и суммы квадратов, а значит, в удвоенном произведении этих двух величин.

$inline$
$inline$

$\\c=\frac{x+y}{\sqrt2}\quad s=\frac{x-y}{\sqrt2}$

$\\d^2-m^2=(c+s)^2-(c^2+s^2)=2cs=2\frac{x+y}{\sqrt2}\cdot\frac{x-y}{\sqrt2}=x^2-y^2$
$d^2-m^2=x^2-y^2\qquad d^2=2x^2\qquad$
$inline$
$inline$
$\\x=\frac{d}{\sqrt2}\quad y=\pm\sqrt{m^2-\frac{d^2}{2}}$
$\\c,s=\frac{1}{2}(d\pm\sqrt{2m^2-d^2})$

Но характеристики $a=c+is,\quad m^2=c^2+s^2$ не являются парой сумма и сумма квадратов. Если заменить $inline$ на $\mp ir$ , тогда можно переписать

$\begin{matrix} a=c+is&\to&a=c\pm r \\m^2=c^2+s^2&\to&m^2=c^2-r^2 \end{matrix}$

То есть, если совмещение интерпретировать как сумму или разность, в обоих случаях сумму квадратов нужно интерпретировать как разность квадратов, а это — характеристика, показывающая сходство суммы и разности величин. И значит, закономерности будут проще: $\\\frac{m^2}{a}=c-is$

$\\c=\frac{1}{2}\left(a+\frac{m^2}{a}\right) \\s=\frac{-i}{2}\left(a-\frac{m^2}{a}\right)$

Квадрат модуля числа и квадратичная разностная характеристика совпадают — только если компоненты $inline$ уже разделены на реальную и мнимую. Иначе $inline$ и $\varphi$ одновременно содержат отклонения от пары модуль-фаза, и компенсируют отклонения при выполнении их роли.

***

Вторая промежуточная задачка.

Решим задачу о том, как получить вектор максимальной длины сложением из двух других векторов, применяя такие коэффициенты, которые содержат в себе поворот, то есть, сумма квадратов которых постоянна.

$inline$

$inline$
$inline$
$inline$
$inline$ — разница квадратов амплитуд
$inline$ — квадратичное сходство фаз
Для того чтобы найти максимум далее приравниваем нулю производную.
$0=2sd+\frac{m^2-2s^2}{c}p$

Решение

Вывод используемого далее соотношения.
$inline$
$inline$
$inline$

$\frac{d}{p}=\frac{2s^2-m^2}{2cs}$
$\frac{d^2}{p^2}=\frac{(2s^2-m^2)^2}{4c^2s^2}=\frac{m^4-4c^2s^2}{4c^2s^2}=\frac{m^4}{4c^2s^2}-1$
$\frac{p^2}{d^2+p^2}=\frac{4c^2s^2}{m^4} = \frac{m^4-(2s^2-m^2)^2}{m^4}=1-\frac{(2s^2-m^2)^2}{m^4}$
$1-\frac{p^2}{d^2+p^2}=\frac{(2s^2-m^2)^2}{m^4}$
$\frac{d^2}{d^2+p^2}=\frac{(2s^2-m^2)^2}{m^4}$
$(2s^2-m^2)^2=\frac{m^4d^2}{d^2+p^2}$
$(2s^2-m^2)=\pm\frac{m^2d}{\sqrt{d^2+p^2}}$
Знак ± будет в зависимости от того, нужно получить s или c
$s^2=\frac{m^2}{2}\left(1+\frac{d}{\sqrt{d^2+p^2}}\right)\qquad c^2=\frac{m^2}{2}\left(1-\frac{d}{\sqrt{d^2+p^2}}\right)$
$c^2s^2=\frac{m^4}{4}\left(1-\frac{d^2}{d^2+p^2}\right)$
$cs=\frac{m^2}{2}\sqrt{1-\frac{d^2}{d^2+p^2}}=\frac{m^2}{2}\sqrt{\frac{p^2}{d^2+p^2}}=\frac{m^2}{2}\frac{p}{\sqrt{d^2+p^2}}$
$r^2=m^2r_1^2+\frac{dm^2}{2}\left(1+\frac{d}{\sqrt{d^2+p^2}}\right)+\frac{pm^2}{2}\frac{p}{\sqrt{d^2+p^2}}$
$r^2=\frac{m^2}{2}(r_1^2+r_2^2)+\frac{m^2}{2}\frac{d^2}{\sqrt{d^2+p^2}}+\frac{m^2}{2}\frac{p^2}{\sqrt{d^2+p^2}}$

$r^2=\frac{m^2}{2}\left(r_1^2+r_2^2+\sqrt{d^2+p^2}\right)$
Выяснилось, что величина вариации результата в выражении для квадрата амплитуды получается сложением по пифагору разницы квадратов амплитуд и квадратичной схожести фаз.

Это значит, что для того, чтобы эллипс разложить на парочку колеблющихся векторов, нужно разницу высоты и ширины эллипса разделить — распределить, какая часть этой разницы исходит от угла между векторами, а какая от разницы квадратов длин. Это определит фазу для начального положения.

***

Вращение может быть многомерным, тогда его построение — последовательный выбор диаметров всё меньшей мерности. Относительно такого диаметра выбором угла отклонения фиксируется две величины: координата вдоль диаметра и расстояние до него, как радиус, соответствующий диаметру меньшей мерности.

Размытие

Представим, что некоторый объект может передвигаться шагами. Если объект может сделать только шаг влево или шаг вправо, мы вполне сможем предсказать, сколько вариантов позиции объекта будет после $inline$ шагов — их $inline$ . Если подсчитать количество всех комбинаций шагов, то будет $inline$ . Для конечной позиции не важно, в каком порядке делались шаги влево и шаги вправо, важна только разница количества этих шагов, так что, для одной конечной позиции будет несколько вариантов прохождения, кроме, разумеется, двух крайних.

Если отследить связь, мы увидим простую закономерность: если разница в количестве шагов разного направления небольшая, то количество вариантов порядка прохождения близко к максимуму. А если разница большая, вплоть до однозначного выбора, то и количество вариантов мало, вплоть до единственного. Осталось разобраться с промежуточными ситуациями.

Это не сложнее бинома Ньютона, прежде всего потому, что это он и есть. И если каждый шаг поделить на $inline$ вариантов, где $inline$ — шаги влево, а $inline$ — шаги вправо, то распределение вариантов отслеживается достаточно легко: к числам $inline$ и $inline$ , в степенях, равных количеству шагов данного типа, добавляется биномиальный коэффициент, обозначающий количество путей прохождения к такой комбинации.

Сумма коэффициентов с каждым шагом увеличивается в два раза. Всё количество вариантов больше суммы для предыдущего шага в $inline$ раз. Количество вариантов для заданного номера шага можно нормализовать, поделив на $inline$ .

$n=u+v\qquad k=\binom{n}{u}=\binom{n}{v}=\frac{n!}{u!v!}=\frac{(v+1)\cdot\ldots\cdot n}{u!}\qquad r=\frac{ka^{u}b^{v}}{c^n}\\$

Получить биномиальный коэффициент для следующего шага просто, если известен номер шага и оба отсчета его позиции. Для этого нужно существующий коэффициент умножить на номер нового шага и поделить на тот отсчёт, который увеличился.

Рассматривать будем только ситуацию, когда вероятность правого шага и левого одинакова. Если рядом называть распределение вероятности с одинаковым номером шага, то следующий ряд рассчитывается относительно предыдущего ряда, без учёта общей нормировки, делением на отсчёт позиции: $\frac{1}{u}$ или $\frac{1}{v}$ , направление гиперболы у распределения здесь зависит от направления шага, при этом результат получается одинаковый. Сдавливание влево при движении вправо и сдавливание вправо при движении влево даёт одинаковый результат — расширения формы, но это расширение идёт с меньшей скоростью, чем общее расширение. С сохранением пика в середине, процесс относительно всей ширины похож уже не на размытие, а на концентрацию.

У такого распределения есть предельная форма, но её масштаб не связан напрямую с количеством шагов. Пик сузился бы до ноля. Масштаб не связан и с отсчетом позиций, пик расширился бы, из-за нормировки ушёл бы по уровню в ноль. Масштаб предельной формы связан с корнем из количества шагов.

Это можно проверить: в биномиальном коэффициенте номер ряда можно указывать как квадрат динамической величины, а отсчёт задавать линейно. Так как для получения коэффициента отсчёт считается не от центра, а от края, то линейная величина будет скорректирована, она станет средним между величиной и её квадратом. Что по совпадению равно сумме всех целых величин вплоть до данной. Дробь отношения значения в позиции половины корня от количества шагов (считая позицию от центра) к значению в центре будет стремиться к константе.

$\lim_{x\to \infty}\binom{x^2}{x(x+ 1)/2}/\binom{x^2}{x^2/2}=\lim_{x\to \infty}\frac{(x^2/2)!\cdot (x^2/2)!}{(x(x+1)/2)!(x(x-1)/2)!}=\frac{1}{\sqrt{e}}$

Если распределение делать в двух координатах, чтобы каждый шаг менял положение не только вправо/влево, но и вверх/вниз, то на масштабах, когда размер шага становится не важен, видно, что распределение зависит от расстояния от начала движения, но не зависит от направления, в любую сторону от центра двумерное распределение выглядит одинаково.

Двумерное распределение является произведением распределений для отдельных координат, при этом величина сохраняется при вращении, значит, одномерное распределение является степенной функцией, и зависит своей степенью от $inline$ , произведение таких степенных функций складывает квадраты координат в единый квадрат. Только, распределение по своей степени обратно величине расстояния, а значит, используется $inline$ .

Этим условиям подходит функция $C_1e^{-\left(\frac{x}{C_2}\right)^2}$ , осталось выяснить значения констант.

Подсчитать квадрат интеграла ненормированного распределения можно через двумерное ненормированное распределение. Производная $(e^{-x^2})'_x$ равна $-2xe^{-x^2}$ , значит можно подсчитать интеграл от $x e^{-x^2}$ . Если у двумерного интеграла одну координату взять как радиус-множитель, то выглядеть применение этого будет так:

$I^2=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dx dy=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi r}e^{-r^2}dldr=\\=2\pi \int_{0}^{\infty}r\cdot e^{-r^2}dr=2\pi(1/2\cdot e^{-0^2}-1/2\cdot e^{-\infty^2})=\pi$

$I=\sqrt{\pi}$

Выясним коэффициент изменения масштаба.

$f(x)=\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}\quad\frac{f(x)}{f(0)}=e^{-x^2}=\frac{1}{\sqrt{e}}\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Нормировка масштаба производится с помощью коэффициента, сохраняющего интеграл функции, $\alpha=\sqrt{2}\sigma$ . В итоге, нормальное распределение выглядит так:

$f(x)=\frac{e^{-\left(\frac{x}{\alpha}\right)^2}}{\alpha\sqrt{\pi}}$

$e^{-\ln(\pi)/2-(x/\alpha)^2-\ln(\alpha)}=e^{-\ln(\pi)/2-(x/\sqrt{2}\sigma)^2-\ln(\sqrt{2}\sigma)}=\\=e^{-\ln(\pi)/2-(x/\sigma)^2/2-\ln(2)/2-\ln(\sigma)}=e^{-(\ln(\pi)+(x/\sigma)^2+\ln(2))/2-\ln(\sigma)}$

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi e^{\left(\frac{x}{\sigma}\right)^2}}} =\frac{e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}}{\sigma \sqrt{2\pi}}$

Многомерное размытие увеличивает степень нормировочного коэффициента $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ , для сохранения равенства интеграла единице.

Интересно и обратное направление исследования: разбор различия предельной формы распределения и промежуточной, обращение размытия с разбором структуры биномиальных коэффициентов для отрицательных шагов. Да и вообще, загадки только начинаются.

***

Это только начальная информация, дальше можно разбираться с преобразованием Фурье, волнами, теорией относительности, квантовой механикой и нулями дзета-функции. Всё это очень близко к понятию круглое.

Tags:

Hubs:

Mathematics

If this publication inspired you and you want to support the author, do not hesitate to click on the button