Как стать автором
Обновить

Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение2 мин
Количество просмотров169K
Всего голосов 127: ↑120 и ↓7+159
Комментарии72

Комментарии 72

Я видел уже эту статью. Но поиском не нахожу

Мнится мне, что это она и есть — издание второе, исправленное до неузнаваемости и дополненное.

Это действительно полная переработка моей старой статьй процентов на 95%

Ещё была статья не про это, а про "Is there a positive integer solution for a, b, and c if c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c)=4":
Вот (там формула с первого взгляда похожа)

Дежурный вопрос математику от не-математика:

Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным! Более того, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!

- и что нам это даёт?

Очень много, на самом деле.

Во-первых, алгоритм который будет работать с такими треугольниками, можно будет каким-то образом оптимизировать для вот таких вот углов.

Во-вторых нельзя сказать что все треугольники, образованные данным преобразованием, имеет неравнобедренные стороны, если исходный не равнобедренный

В-третьих это само по-себе интересно: особенные числа для Экливдовой геометрии, которые возможеы только в ней.

В четвертых. Наверное, самое главное, подобные геометрические утверждения могут служить наглядной интерпретацией какого нибудь факта из смежной математической дисциплины (например, алгебра и даже анализ), что позволит легко доказать ту или иную гипотезу.

Если задача кажется надуманной и бессмысленной, то стоит поискать причины ее появления в связи с криптографией. Недаром тут длинные целые числа фигурируют.
В те времена был конкурс на поиск односторонних функций для криптографии. Таких чтобы очень трудно решить в прямом направлении, но очень легко проверить решение в обратном.
Может это отголоски той гонки.

В фундаментальной науке, в отличие от прикладной, не стоит вопрос "зачем?".

Теория чисел 2000 лет не имела никакого практического применения, а потом вдруг пригодилась для криптографии.

Так что дежурный ответ: "мы (человечество) ещё немного продвинулись в математике".

Той теории чисел, на которой построена криптография — намного меньше 2000 лет. Максимум пара сотен с натяжкой. Всё потому, что любая теория намного более эффективно развивается, как известны конечные цели и прикладные задачи. Даже всем известная теорема Ферма имела геометрический смысл, о котором даже в википедии почему-то не написано.


Что касается текущий статьи — то это не чистая математика, а геометрия. А у геометрии есть одно фундаментальное ограничение по определению — все построения делаются циркулем и линейкой, и этими же инструментами их решения и ограничиваются. Потому все задачи в геометрии так или иначе крутятся вокруг треугольников, а в решениях функции сложнее синусов и косинусов не фигурируют.

Это не ограничение, это кольцо расширений какой-то там арифметики...

> А у геометрии есть одно фундаментальное ограничение по определению — все построения делаются циркулем и линейкой, и этими же инструментами их решения и ограничиваются.

А можно определение в студию?

Определение в самом слове "геометрия". "Гео" — земля, "метрия" — измерять. Измеряли тем, что доступно, а из доступного в те времена были только палка и верёвка.

Со времен Евклида понятие геометрии немного изменилось и расширилось.

Именно, что немного. То, что много — ушло в алгебру и смежные дисциплины — комплексные числа/кватернионы/матрицы/векторы/etc. Те же эллиптические кривые вы в курсе геометрии не обнаружите.

Открыл старый шкаф, достал первую попавшуюся книжку со словом "геометрия" в названии родом из 90-х, когда я ещё думал, что буду учёным, открыл на случайной странице оглавления.

Добрый вечер!
Можете сказать название этой книги?

Один из авторов - скандально известный Фоменко. Впрочем как математик он адекватен. Но потом что то пошло не так и его понесло в альтернативную историю.

Его родители математические исследовали тексты, Фоменко же расширил эту зону

с удовольствием посмотрю, как вы построите с помощью циркуля и линейки правильный семиугольник

Видимо, Вы не знакомы с теоремой Гаусса-Ванцеля.


В целом, следуя вашему определению, сама статья тоже не имеет отношения к геометрии, ведь невозможно построить треугольник по трём заданным биссектрисам, пользуясь только циркулем и линейкой.

Конечно знаком, и именно об этом и шла речь — что ограничение «Теоре́ма Га́усса — Ванце́ля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный n-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки» появилось не просто так. Ну а график в полярных координатах и абстрагирует циркуль, только с изменяемой длиной.

Используя поворотную линейку, тоже можно построить любой многоугольник, но ведь речь не об этом, верно? Речь о том, что определение геометрии никак не связано с какими-либо способами построения, коих можно придумать великое множество (расширяя инструменты, например, томагавком).

А как же стереометрия? Неевклидова геометрия? Или в вашем понимании геометрия это всего лишь раздел планиметрии, разрешимый в циркуле и линейке?

UPD: насчёт циркуля и линейки - всего лишь красивая обёртка для выразимых в радикалах чисел, не более.

Правильный n-многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины 1 можно построить отрезок, длина которого равна 

— косинусу центрального угла данного n-многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.

UPD2: спасибо за кучу интересных статей из вашего профиля :)

А как же стереометрия? Неевклидова геометрия?… Планиметрия?
Ну вот видите. Зачем изобретать новые слова и разделять между ними границы, когда уже есть «геометрия»? Наверное затем, чтобы ограничить спектр решаемых внутри них задач. Я бы ещё топологию вспомнил, которая тоже очевидно вышла из геометрии, но чуть подальше физической применимости.

Или в вашем понимании геометрия это всего лишь раздел планиметрии, разрешимый в циркуле и линейке?
Если вас интересует моё понимание математики, то оно как раз и опирается на геометрию и физику в их историческом развитии.

насчёт циркуля и линейки — всего лишь красивая обёртка для выразимых в радикалах чисел, не более
Сдаётся мне, что задача построения многоугольников появилось несколько раньше понятия радикала. Гаусс потому и смог её решить, что рассмотрел её с точки зрения алгебры, а не геометрии.

Так геометрия и есть общее понятие, включающее в себя всё вышеперечисленное, а никак не отдельная наука про циркули/линейки. Всё же стоит опираться на общепризнанные определения, а не изобретать свои, особенно для давно известных сущностей.

К слову, радикалы были известны ещё во II тысячелетии д.н.э. вавилонянам (как минимум, квадратные корни они извлекать умели), так что вопрос про радикалы и многоугольники остаётся открытым.

Когда заканчиваются аргументы, начинаются минусы в карму? С другой стороны, можете себе позволить, пуркуа бы и не па.

С чего вы решили, что мне только плюсы в карму летят? Смысл копить карму в том и состоит, чтобы говорить то, что хочешь и так, как хочешь, а сводить любую дискуссию к карма-страданиям на хабре особо не приветствуется. Последнее слово и так за вами оставалось.

> Я бы ещё топологию вспомнил, которая тоже очевидно вышла из геометрии

Только из матана, а не из геометрии.

Эллиптическими кривыми занимается раздел под названием алгебраическая геометрия. Внезапно :)

Я уж молчу про проективную геометрию, геометрию Лобачевского, Риманову геометрию, дифференциальную геометрию... К этим наукам уж совсем не представить, какое отношение имеют циркуль и линейка.

Ну да. А потом кто-то захотел обменять своё круглое поле на равновеликое квадратное...

Той теории чисел, на которой построена криптография — намного меньше 2000 лет

Сомнительное утверждение. Модулярные числа использовали ещё во времена Месопотамии, то бишь ~6000 лет назад. Обобщённые теории понятное дело относительно недавнее событие, как впрочем и криптография как сущность, но они базируются на довольно древних концептах.

все построения делаются циркулем и линейкой

Это если речь за школьную планарную геометрию. Интегралы в общем-то тоже про геометрию. Как и более абстрактные варианты алгебраическиой геометрии. И многомерные пространства.

Ну использовать это одно (часовой циферблат под модулярную арифметику тоже вполне подходит), а вот обосновать, посчитать и доказать вычислительную сложность — уже несколько другое. Эллиптические кривые тоже были известны задолго до, только вот применить их для доказательства теоремы Ферма получилось всего лишь 30 лет назад.

Шифр Цезаря тоже про модулярную арифметику и даже про криптографию. Это уже как минимум 50 лет сверху 2000.

Криптостойкость шифра Цезаря примерно никакая, это даже дети знают.

Насколько я помню, уже в античности широко использовался метод "вставки", или линейка с засечками - что позволяет строить и трисекцию угла, и удвоение куба, и ряд других задач, сводящихся к уравнениям третьей и четвёртой степеней (скажем, "Колодец Лотоса").

с каких это пор геометрия - не чистая математика? :)

1)После миллиарда задач где ответом являются 15х углы, подобный мелкий необычный диапазон в пару градусов просто эстетически приятен

2) математика фундаментальная наука, и даже если нет ни одной конкретной причины что-то исследовать, этим занимаются. Никогда не знаешь что и где пригодится на практике. Вдруг завтра откроют подраздел физики который будет использовать такие треугы, или откроется их полезное свойство в инженерии, например. Информация как их находить= минус головная боль.

3)Да и в принципе это интересно. Матеша интересна сама по себе, разве нет?

Вспоминаю за теорию узлов где учёные просто на приколе решали странные задачки, которые неожиданно оказались сложными, а потом спустя столетие оказалось что не зря решали.

вот прям совсем навскидку, в виде развлечения, на коленке - если стоит задача получать гарантированно точный равнобедренный предмет (не важно, физический, или в виде проекции). Ну пусть это будет призма, или что там еще подобное... Китайцы придумают куда это применить))... А в руках у тебя при этом должен быть топорно сделанный с большими погрешностями китайский прибор, который стоит 10 копеек. И вот у этого китайского прибора погрешность угла может колебаться при производстве - угол будет в диапазоне (как сказано в статье) от 102,663 до 104,478 градусов, а путем взятия биссектирсс от таких криво сделанных приборов - на выходе всегда гарантированно будет нужный равнобедренный треугольник.

Итак, барабанная дробь! 

несколько секунд думал, почему полученную дробь назвали "барабанной", а потом поржал над собой :)

В математике много такого интересного есть. Когда-то, лет 20 назад, изучал всякие такие штуковины, и неразгаданные задачи математики... после определённой наработки опыта в какой-то узкой области начинаешь уже подсознательно определять куда надо двигаться и что как можно вычислить, даже не зная теории, почему именно так. Порой считаешь что-то, а спустя пару месяцев находишь, что оказывается есть какая-то вот методика, и по ней всё чётко и понятно, а ты уже всё каким-то чутьём посчитал и что-то интересное откопал (правда, это оказывалось уже откопано давно, просто надо было интернет пошерстить, но тогда что-то не так много в нём было).

Интересно, есть ли подобные закономерности для других многоугольников?

Вот это да! Обалдеть, что бывает!

не хотелось бы придираться, но этот треугольник точно не Шарыгина

т.к. он остроугольный... ну и соотношение сторон совсем не такое, как приведено ниже

Если кому-то интересно посмотреть как выглядит треугольник с указанными сторонами

Угол гамма 104.08, действительно попадает в указанный диапазон

Спасибо, я уже половину мозга сломал пытаясь картинку к данным прикрутить.

Собственно до самого вкусного: "а как именно получены эти длины сторон? Существуют ли другие треугольники Шарыгина с целочисленными сторонами?" в статье не дошли. Такое ощущение что автор в чем-то разобрался, а то в чем не разобрался - отбросил и оборвал статью.

Не разобрался. А местами откровенно наврал.
Если нужны подробности — переходите по ссылке. Там про нахождение треугольников с целочисленными сторонами расписано.

Интересно, почему задача не решается аналитически?

Какая именно задача? Нахождения целочисленных сторон?

Вообще-то есть треугольник Шарыгина с прекрасными углами pi/7, 2pi/7, 4pi/7, - и в нем нужный факт (равнобедренность биссектрисного тр-ка) легко доказывается. Удивительно, как можно написать целую статью и не отметить в ней этот факт.

А где про это можно почитать на русском?

И что самое интересное, в молекуле воды атомы водорода образуют именно такой угол.

всегда интересно (не в плохом смысле) как математику находят в окружающем мире не осознавая, что математика придумана как способ описания мира, поэтому было бы странно, если бы мы не находили математику вокруг нас. Но всегда интересно как на уровне молекул или простейших организмов работают простые числа, фракталы и т.п. Всегда создаётся ощущение магии.

  1. Все было вроде бы более-менее просто и понятно в мире.

  2. Находишь какой-то очень странный угол зачем-то

  3. Находишь молекулу, в которой атомы именно под таким углом

  4. Ну что, легче стало? Теперь прямо свербит задача выяснить, почему в этой молекуле атомы именно вот так, а не иначе как-то.

Не умеем мы п.1 ценить!

Видимо, электромагнитные силы, действующие на кислород и оба водорода, уравновешивают друг друга, образуя равнобедренный треугольник Шарыгина.

Прочитал сначала треугольник Шурыгиной

И смех, и грех

Поручик, картинку чур не прикреплять.

Да там же ничего такого


Заголовок спойлера

Потому что это не треугольник?

Боже право, я такой не один. Фууух

а мне пришлось гуглить, что это за мадам.

Самый классный треугольник - это треугольник Патракеева.

Почитал про это, но так и не понял почему вдруг дробление и последующее склеивание называют делением на равные части.

А вот ссылки на первоисточники, откуда взят материал, только почему-то ни на что нет ссылки. Вопрос о существовании трегугольника Шарыгина -- журнал Квант, I. F. Sharygin, About bisectors, J. Kvant 1983 (1983), no. 8, 32–36. Нахождение первого целочисленного треугольника -- S. Markelov, Diophantine... bisectors!, unpublished manuscript accepted to Kvant, 2017. Доказательство существования бесконечного числа целочисленных попарно не подобных треугольников Шарыгина и описание группы рациональных точек эллиптической кривой, параметризующей треугольники Шарыгина -- Igor V. Netay, Alexei V. Savvateev, “Sharygin Triangles and Elliptic Curves”, Bull. Korean Math. Soc., 54:5 (2017), 1597–1617, arXiv: https://arxiv.org/abs/1610.04626.

И ещё чуть-чуть про треугольники. Второй треугольник Шарыгина (для краткости стороны разложены на простые множители): (2^5 · 5^2 · 17 · 23 · 137 · 7901 · 943429^2 , 29^2 · 37 · 1291 · 3041^2 · 11497^2 , 3 · 19 · 83 · 2593 · 14741 · 227257 · 7704617), третий (5 · 17 · 29 · 97 · 17182729 · 32537017 · 254398174040897 · 350987274396527, 7 · 1093889^2 · 4941193 · 894993889^2 · 331123185233, 83^2 · 571^2 · 13873 · 337789537 · 16268766383521^2 ), у пятого есть сторона, которая делится на простое число 3646312514774768838959262707271994342627321. А начиная с шестого, даже разложить на простые множители вычислительно проблематично.ничего из этого нет в библиографии

Вот бы ещё рисуночки приложить... ))

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий